Corollaire II. — L’équation tangentielle

Vx,P, P', = o

est réductible de huit manières différentes à la forme

^V,XÎ = o;

et les huit fonctions linéaires X*,. • . , X7, X*, propres à cette réduction, ne sont autres que celles des huit points communs à toutes les surfaces du second ordre conjuguées aux sept couples P, P', , . . . , P7 P', .

179. Théorème corrélatif. — Les surfaces du second ordre conjuguées aux sept couples de plans P, P'| , . . . , P, P1,, touchent d' elles-mêmes chacun des huit plans X = o définis par l'identité

et l'équation générale

se peut, réduire, de huit manières différentes, à la forme équivalente •

^V> XJ = o.

En particulier, les surfaces inscrites h l’hexaèdre P,...P6,

et conjuguées au dièdre AA', touchent d’elles-mèmes chacun des deux plans X = o, définis par l’identité

TRIANGLES RÉCIPROQUEMENT CONJUGUÉS.» l8l

et dont la construction entraînerait celle du cône du second ordre conjugué à l'hexaèdre P,...P6 et in sait au

dièdre AA'.

§ VI. — Application des principes précédents.

180. Théorème. — Deux triangles réciproquement conjugués par rapport à une conique sont homo/ogiques. Il en est de même d'un triangle et d'un trièdre réciproquement conjugués par rapport à une surface du second ordre, et les droites qui réunissent les sommets homologues de deux tétraèdres réciproquement conjugués par rapport i à une telle surface, font toujours quatre génératrices d'un même hjpcrboloïde.

i). Soient, én premier lieu, abc , a'b'c' les triangles considérés et A.B.C = o, A'.B'.C'=o leurs côtés respectifs. Puisque ces triangles sont réciproquement conjugués par rapport à une certaine conique, chacun des sommets a', ou o = B' = C', de l'un, est le pôle de l’un des côtés bc , ou A = o, de l'autre. Les six côtés des deux triangles donnent donc naissance à six couples '

A.B'etA.C', B.C'etB.A', C.A' etC.B'

de droites conjuguées par rapport à une môme conique, et celles-ci (n° 156, p. 160), à l’identité

Maiscette fonction, qui doit être identiquement nulle pour tous les points du plan de la figure, se réduit à son premier terme, A (B' 4- C'), pour le point a (o = B= C). Ce premier terme doit donc s’évanouir en môme temps : ce qui exige, les dimensions du triangle abc étant finies et le sommet a extérieur au côté A = o, que la droite B' -f- C'= o passe par le sommet a. Mais cette droite passe déjà parle sommet homologue a' du second triangle, elle se confond

l8a * CIIAPITItE V.

dès lois avec au' , et les droites

(H) li' + C' = o, C -f- À' = p, A' -+- B' = o,

qui figurent dans l’identité (I), ne diffèrent pas de celles

(H' J * an', bb', ce',

qui léunisscut les .sommets homologues des deux triangles. Or l’identité (1) exprime que les trois roupies de droites A (B'-b C')=o, B(C'4- A') = o, C ( A'-f- B') = o passent par les quatre mêmes points : les quatre droites de deux de ces couples formant les côtjjs opposés, elles deux droites de la dernière, les diagonales d’un même quadranglr.

Les droites

représentent donc les deux diagonales du quadrangle dont les côtés successifs seraient

Et comme la diagonale C = o ne peut contenir le sommet A. B de ce quadrangle, parce que le triangle ABC ne se réduit pas à un point; ce même sommet et le sommet opposé o= B'+C'=C'+A' appartiennent à la seconde diagonale A' 4- B'= o : et les trois droites

concourent en un même point.

2). Considérons, en second lieu, un triangle et un trièdre réciproquement conjugués par rapport à une surface du second ordre. , de telle sorte que les sommets a, l>, c du triangle représentent les pôles, relatifs à celte surface, des plans BOC, CO A, AOB des différentes faces du trièdre.

Si a' b' c' désigne la trace <Ju trièdre sur le plan abc du triangle, les triangles abc c t a'b'u', réciproquement conjugués par rapport à la section déterminée dans la surface par le plan abc , seront liomologiques; les droites au', bb' , cc' se coupent donc suivant un même point /; les plans (OA, a), (0B,&), (OC, c), suivant une même droite Or;

TÉTRAÈDRES RÉCIPROQUEMENT CONJUGUÉS. I 83

et c’est dans ce sens que le triangle abc et le trièdre (OA,OB, OC) sont dits homojogiques. On peut ajouter que les traces des côtés du triangle, sur les faces homologues du trièdre, sont trois point* en ligne droite.

3). Soient enfin abcd et a'b'c'd' deux tétraèdres réciproquement conjugués par rapport à une même surface du second ordre ; et aa\ bb' , cc ' , dd' les droites qui réunissent les sommets homologues des deux tétraèdres.

Le trièdre (da, db, de) et le triangle a' b'c' étant réciproquement conjugués par rapport à la même surface, ce trièdre et ce triangle sont homologiques ; les trois plans

[da, a'), (db, b'), (de, c') se coupent suivant une même droite

et il résulte immédiatement de la définition de celte droite qu’elle s’appuie sur chacune des proposées

an', bb', ce', dd' .

D’ailleurs, com^ie on peut définir d’une manière semblable trois autres droites

a a, b$, cy

qui présentent la même propriété, on voit, en prenant trois quelconques de ces nouvelles droites pour directrices d’un hyperboloïde gauche, que les proposées an', bb', cc', dd' en font quatre génératrices.

i 81 . Le théorème que l’on vient d’établir donne lieu à quelques remarques utiles.

î). Trois plans quelconques et leurs pôles respectifs étant donnés, la surfacecorrespondante est — impossible, si le triangle et le trièdre résultants des données ne sont pas homologiques — indéterminée, dans le cas contraire.

2). Deux plans quelconques A, B et leurs pôles respectifs a , b étant donnés, le plan polaire d’un troisième point c

CHAriTitn. v.

passe par un point déterminé, et le pôle d’un troisième plan C appartient à un plan^que l’on peut construire.

Dans le premier cas, en effet, le triangle abc est connu, ainsi que les deux premières f&ces A, B du trièdre hoinologique; et si l’on réunit par une droite les traces des côtés cb, en du triangle sur les faces correspondantes A, B du trièdre, la droite résultante ira couper le troisième côté ab en un point appartenant à la troisième face.

Dans le second cas, on connaît le trièdre ABC et les deux premiers sommets a , b du triangle homologique; et si l’on détermine la droite d'intersection des plans menés par les sommets a, b du triangle et les arêtes homologues B.C, A .Cdu trièdre, le plan mené par la droite résultante et la troisième arête A. B contiendra le troisième sommet c.

3) . Deux groupes homologiques formés de trois points quelconques et de leurs plans polaires étant donnés, le plan polaire d’un quatrième point passe par trois points en ligne droite que l’on peut construire, ou par une droite déterminée; et le pôle d’un quatrième plan appartient à une droite que l’on peut définir par troi? de ses points.

4) . Une surface du second ordre étant définie par un tétraèdre conjugué, un plan P et son pôle p : le plan polaire d’un point quelconque p' est déterminé par quatre de ses points; et le pôle d’un plan quelconque P' est au point de concours de quatre plans que l'on peut construire.

Que a, b , c, d et A, B, C, D désignent effectivement les sommets et les faces du tétraèdre donné, et soient P le plan polaire du point /;, P' celui de p'.

Les triangles et trièdres suivants

app et APP', bpp' et BPP', cpp' et CPP', dpp' et DPP'

formant autant de groupes homologiques, chacun de ees groupes fournira, par la construction 2), un point du plan polaire P', si c’est ce plan que l’on cherche; ou, s’il est donné, un plan qui renferme son pôle p'.

constructions diverses. i85

182. Notons encore que la donnée des polaires K, fs! de deux points, par rapport à une conique, détermine un diamètre de la courbe. Car, si l’on mène, par chacun des deux pôles a^a', deux droites quelconques B et C, B' et C', les quatre couples de droites conjuguées AB, AC, A' B', A' C' permettent de satisfaire à l’identité

AB -+- AC -+- A' B’ -f- A'C'ssD,

ou

A (B + C) + A'(B'-+-C')=X, et il est aisé de reconnaître, dans la seule détermination possible de la droite X = o définie par cette identité, l’expression de ce théorème : Étant données les polaires de deux points par rapport à une conique; si, par chacun de ces points, on mène une parallèle à la polaire de l’autre , la droite menée du point de concours de ces nouvelles droites au point de concours des proposées est un diamètre de ta courbe.

Le centre d’une conique définie par un pentagone conjugué se peut obtenir à l’aide de ce théorème. Et comme chacun des sommets d’un tel pentagone est le pôle du côté opposé par rapport à la courbe (fig. 24), si l'on mène par

Fie- »4*

deux sommets consécutifs

du pentagone, des parallèles aux côtés opposés

l’on aura, dans la droite menée du point de concours de ces parallèles au point de concours de ces côtés, un premier diamètre X de la courbe.

Dans l’espace, la donnée des plans polaires A, A' de deux points détermine de régime un plan diamétral de. la surface. Car si l’on mène, par chacun des pôles a , a' , trois plans quelconques B, C, D et B', C', D'; les six couples de plans conjugués AB, AC, AD et A'B', A'C', A'D' permettent accidentellement de satisfaire à l’identité

A(B + C + D) + A'(B'+ C' + D']sX;

et la seule détermination possible du planX = o défini par cette identité entraîne encore ce théorème : Étant donnés les plans polaires de deux points par rapport à une surface du second ordre, si l'on mène par chacun de ces points un plan parallèle au plan polaire de V autre, le • plan conduit par l'intersection de ces nouveaux plans et celle des deux proposés contient le centre de la surface.

183. Un tétraèdre P,PJPSP4= o et un trièdre ABC = 0, conjugués l’un et l’autre à une surface du second ordre, déterminent celte surface; et l’on peut se proposer de construire le plan polaire correspondant au sommet du trièdre donné: problème identique au fond, comme on le verra par la suite, à celui qui aurait pour objet la détermination du huitième plan tangent commun à toutes les surfaces inscrites à l’heptaèdre