TRIANGLES ET TÉTRAÈDRES CONJUGUÉS

Sommaire. — Des foyers et des tangentes dans les coniques; des foyers et des plans tangents dans les surfaces du second ordre. — Triangles et tétraèdres conjugués; théorèmes et problèmes. — Des axes principaux d'un ellipsoïde défini par trois diamètres conjugués, et de leur construction à l’aide d’une hyperbole et d’un cercle.

§ I. — Des propriétés descriptives auxquelles donnent lieu les foyers et les tangentes d'une conique, les foyers et les plans tangents d'une surface du second ordre.

187. L’évidente généralisation qu’apportent, à la notion du centre et aux propriétés des diamètres conjugués dans les courbes du second ordre, la notion et les propriétés de leurs triangles conjugués; la simplicité caractéristique de l’équation de ces courbes rapportées à l’un de ces triangles, la définition de chacun de leurs foyers par le sommet commun à une infinité de triangles conjugués, rectangles en ce sommet, montrent tout d’abord l’importance du rôle que peuvent jouer ces triangles dans la théorie des coniques, et qui se précisera mieux dans le cours de ce Chapitre. Nous aurons, en effet, à y réunir les éléments nécessaires pour la détermination, en grandeur et en direction, des axes principaux d’une ellipse ou d’un ellipsoïde définis par leur centre et un triangle ou un tétraèdre conjugués. Les belles recherches de M. H. Faure nous ont appris sur ce point beaucoup de choses fort cachées, que leur simplicité range dans le petit nombre de celles que la Géométrie doit retenir. Nous reproduirons dans ce Chapitre ceux des résultats obtenus parce géomètre qui se rapportent le mieux

DES FOYERS d’uNE CONIQUE. DÉFINITIONS. 1 97

à notre objet, ainsi que l’une des additions qu'y a apportées M. Painvin; mais nous y emploierons seulementcette analyse mixte dont on a pu reconnaître déjà la commodité, et qui nous mènera jusqu’à la lin de cet ouvra gp-

188. Une courbe du second ordre étant rapportée alternativement à divers triangles conjugués par les équations nécessairement équivalentes

les identités

nX’4- èY’==rt'X,J •+• b' Y'*=. . .

qui en résultent, entraînent l’identité des diverses courbes (2) a X5 -4- b YJ = 1,

et ce théorème : « Toutes les couples de droites conjuguées à une conique fixe (i), menées par une même origine, sont dirigées suivant les diamètres conjugués d’une seconde conique (2) qui se réduit à un cercle, si les droites de deux de ces couples sont rectangulaires; et l’origine considérée est alors l’un des foyers de la conique primitive. » On pourra donc toujours substituer, à la donnée d’un foyer, celle de deux couples de droites rectangulaires menées arbitrairement par le point donné et conjuguées à la courbe ; ou la donnée équivalente d'une seule couple, de direction inconnue ou indéterminée.

189. Si l’on cherche, par exemple, le lieu des foyers des coniques inscrites au quadrilatère P, . . . P; = o, et que l’on désigne par X, et Y,, X* et Y, les côtés de'deux angles droits ayant pour sommet commun l’un des points du lieu :

on pourra, par un théorème antérieur (n° 156, p. 160), écrire cette identité

Mais parce que les droites X, et" Y,, X, et Y2 sont rectangulaires, l’équation

fi, X, Y.+ p, X, Y,= o

ne peut représenter, quel que soit le rapport p, : pt, qu’un système de droites rectangulaires XY = o. On peut, dès lors, poser identiquement

p, X, Y, -t- p, X, Y,= XY ;

ce qui permet d’écrire, au lieu de l’identité précédente,