OH, OF

Les équations comparées

a A’-t- iB! cC!= o, o'X1 -I- b’ Y5 -f- c' = o delà courbe rapportée alternativement au triangle conju-

AXES PRINCIPAUX DE l’eLLIPSE. 245

gué ABC, ou à ses axes principaux, entraînent effectivement l’identité

dA’+ êB’+cC’-l-u'X’-t- ô'YJ + c'—o,

ou la conclusion que les droites ABCXY = o et la droite à l’infini représentée par l’équation c'= ofont six tangentes d’une même conique : une parabole dont la directrice est immédiatement déterminée pardeux de ses points, le point de rencontre H des hauteurs du triangle circonscrit ABC et le point de concours des deux tangentes rectangulaires OX, OY, ou le centre donné O ( Jig . 48). Le foyer F de

Fie-

oG

celle parabole auxiliaire se trouvera d’ailleurs au point d’intersection de deux droites symétriques de la directrice OH par rapport à deux des côtés du triangle ABC. Or, si l’on joint au centre donné O le point F ainsi déterminé, les tangentes OX, OY menées du point O à la parabole coïncideront avec les bissectrices des angles adjacents formés par la directrice OH et la droite Ob'.

La construction du numéro précédent résulterait de meme des équations

AB -t- BC -+• CA = o, a XJ -1- b Y* -t- c = o

de la courbe rapportée au triangle inscrit ABC ou à ses axes principaux. L’identité résultante

AB BG -f- CA -i- a X2 -+- 6YJ H-c = o

exprime, eu effet, que les axes cherchés coïncident avec les tangentes menées du point O à une parabole conjuguée au triangle ABC, et dès lors circonscrite au triangle médian A'B'C'. Or ces tangentes résultent du triangle A'B'C' et du point de rencontre de scs hauteurs H', comme les précédentes du triangle ABC et du point II.

Observation. — Les rayons menés, du point O, aux sommets du triangle, et les parallèles à ses côtés, issues du même point, font trois couples de diamètres conjugués de la courbe, ou trois couples de rayons conjugués d’un faisceau en involution. Deux de ces couples suffisent d’ailleurs pour définir ce faisceau dont les rayons conjugués, perpendiculaires entre eux, fourniront ensuite les axes que l’on cherche : et telle est la solution normaledu problème. Celle que l’on vient de donner, entièrement irrégulière au point de vue didactique, offre pourtant un exemple de ce que devraient être la plupart des constructions de la géométrie : une simple combinaison des données immédiates de la figure dont les points ou les lignes les plus remarquables remplaceraient les éléments étrangers que l’on y fait trop souvent intervenir. Le principe que nous y avons employé se retrouvera d’ailleurs dans le problème suivant, qui est un peu moins facile, et dont on ne connaît encore qu’un très-petit nombre de solutions.

223. Problème. — Construire les directions des axes principaux d'un ellipsoïde défini par trois diamètres conjugués O a, O b, Oc.

1). Soient

l’équation de la surface rapportée aux diamètres don-

ELLIPSOÏDE DÉFINI PAR TROIS DIAMETRES CONJUGUÉS. lt\~

nés, et

I ou

ni A3 -+- n B3 4 p C3 = i

l’équation de la même surface rapportée à trois plans diamétraux conjugués quelconques

ABC — o.

Quels que soient ces derniers, comme le terme indépendant des variables est le môme dans les deux équations (i), (V), leurs premiers membres doivent être identiques. On a donc identiquement

—7 ■+■ ~r. 4- — = m A1 4 «B’ 4 pO, a 3 b 3 c*

et les équations

représentent une seule et même surface : un cône fixe, réel ou imaginaire ; asymptote à la surface proposée, si celle-ci est un hyperboloïde, et dont la trace sur un plan déterminé quelconque est une conique fixe

(3) /nA'J4-/îB'> 4/>C'3 = o,

conjuguée à chacun des triangles A' IV G' qui résultent de la section, par le plan que l’on aura choisi, de trois plans diamétraux conjugués de la surface primitive.

Or, si l’on considère, en particulier, la trace du cône (a) ou (2') sur l’un des plans tangents

de la surface, la conique résultante est représentée par l’équation

jt’ r5

OU

Si d’ailleurs on coupe la surface proposée (1) par le plan diamétral parallèle

la section résultante est

Les courbes (3') et (4) forment donc l’un de ces systèmes de deux coniques que l’on nomme conjuguées, parce que, transportées dans un même plan et autour du même centre, les diamètres réels de l’une servent de mesure aux diamètres imaginaires de même direction dans l’autre. Et l’on peut énoncer ce théorème :

Les traces, sur un même plan tangent d’une surface du second ordre, de trois diamètres conjugués quelconques de la surface sont les sommets d'autant de triangles conjugués à une même conique ayant pour centre le point de contact du plan tangent considéré, égale en outre et homothétique à la conique conjuguée de la section déterminée dans la surface par le plan diamétral parallèle.

2) . La proposition réciproque est également vraie : les diamètres menés du centre de l’ellipsoïde aux sommets de l’un quelconque des triangles conjugués à la courbe précédente font toujours trois diamètres conjugués de la surface.

3) . En particulier, les traces de trois diamètres conjugués quelconques d’un ellipsoïde, ou d’un hyperboloïdc à deux nappes, sur le plan tangent mené par l'un des ombilicsj sont les sommets d’autant de triangles conjugués

AXES PRINCIPAUX DF. l’ ELLIPSOÏDE. 2$Ç)

à un même cercle et dont, les trois hauteurs se croisent en cet ombilic.

On sait (juc les questions relatives aux figures à trois dimensions se peuvent traiu rdedeux manières différentes : soit dans l’espace même où ces figures sont tracées; soit dans le plan, par une réduction préalable de la question en une autre où n’interviennent plus que deux des trois dimensions de l’étendue. Le théorème que l’on vient d’établir réalise cette réduction du problème solide en un problème plan, pour la plupart des questions relatives aux diamètres conjugués des surfaces du second ordre.

4). Revenons à notre problème ; et soient Oa, Ob, Ocou a, b , c les trois diamètres conjugués, réels ou imaginaires, qui définissent la surface. Dans le plan tangent de celle dernière pour le point c, et autour de ce point comme centre, imaginons la courbe C

égale et homothétique à la conique conjuguée de la section diamétrale parallèle. Et soient A', II', C' {fi g. 49) les traces, sur le même plan, des axes principaux de la surface.

D'après le théorème précédent, le triangle principal A'B'C' est conjugué à la courbe C. Et il résulte, de l’orthogonalité des axes OA', OB', OC', que le point de concours des hauteurs de ce triangle coïncide avec le pied H de la perpendiculaire abaissée du centre de la suiface sur le plan tangent en c; le carré de cette perpendiculaire OH mesurant, au signe près, la puissance du point 11 par rapport au triangle A'B'C',

HA'. Ha' = — OH*.

On pourrait s’arrêter là, et le problème que l’on s’était proposé serait implicitement résolu. O11 sait effectivement que le centre du cercle conjugué à un triangle A'B'C' est au

point de rencontre H des hauteurs de ce triangle, le carré du rayon de ce cercle étant mesuré par la puissance de ce point par rapport au triangle :

r3 = HA'. Hrt'.

On connaît donc ici le centre H et le rayon

r— s/HÂ'.H„' W- ÔH = OH du cercle conjugué au triangle principal A'B'C' : et celui-ci

l ig- 49-

n’est autre que le triangle conjugué commun à la conique C et à un cercle imaginaire donné de centre et de rayon .

5). Mais la solution effective du problème suppose la détermination effective de ce triangle. Pour y parvenir, nous remarquerons d’abord que le produit

HA'. Ha' = — OH*

mesure aussi la demi-puissance du point H par rapport au cercle circonscrit au triangle A'B'C',

- HA'.Hfl" = — OH (*j.

(*) L’une quelconque des hauteurs A' Ha' d’un triangle étant prolongée jusqu’au cercle circonscrit suivant a' a", on a

117'=^, = i ÏÏT";

HA'. lia' = - HA'.Hfl".

axes principaux de l’ellipsoïde. a5 1

On connaît donc, en premier lieu, le point de concours H des hauteurs du triangle principal A'B'C', et la puissance

(I) HA'.ÏÏn" = — 2OÏY

de ce point par rapport au cercle circonscrit à ce triangle.

6). Observant ensuite que la position, dans un plan déterminé, d'un triangle quelconque, dépend de six paramètres; de trois seulement, si ce triangle doit être conjugué à une conique C; d’un seul paramètre, enfin, si ses trois hauteurs doivent, en outre, concourir en un poinidonne H : on verra qu’il existe, dans le plan tangent actuel, une série déterminée comprenant une infinité de triangles, conjugués à la courbe C, comme le triangle principal ; assujettis, comme celui-là, à avoir, dans le point H, le point de concours de leurs hauteurs; inscrits dès lors et circonscrits, en même temps que ce triangle, à deux courbes déterminées. De là ce problème incident :

Trouver la commune trajectoire des sommets, et la commune enveloppe des côtés d'un triangle A'B'C’ dont les trois hauteurs se croisent en un point donné H, et qui demeure conjugué à une conique fixe C.

La première de ces courbes se détermine bien aisément. El comme la droite menée du point H (a, (5) à l'un quelconque des sommets (x, y) du triangle mobile doit être perpendiculaire au côté opposé, ou à la polaire même

— - — h = — 1 j de ce sommet par rapport à la courbeC ;

on a, dans la condition résultante

(*) On suppose ici, et l’on supposera jusqu’à la lin, les diamètres a, b perpendiculaires entre eux, ce qui revient au fond à substituer, à l'aide d'une construction connue, aux diamètres conjugués ia, ib de la section diamétrale z — o, les .axes mêmes de cette section.

l’équalion môme de la courbe parcourue par chacun des sommets du triangle mobile : une hyperbole équilatère

(II) (a2 — b2)xy — a2ay -P b2$x = o

passant par le point donné H, par le centre c de la conique C, ayant scs asymptotes parallèles aux axes principaux de celte dernière; identique, en un mot, comme on le devait prévoir, à l’hyperbole qui contient les pieds des normales menées, du point H, à cette conique.

Comme tous les triangles de la série actuelle, le triangle principal A' B' C' sera donc inscrit à l'hyperbole (11). Mais on peut ajouter que le cercle circonscrit à ce triangle rencontrera cette hyperbole suivant un quatrième point que l’on peut construire, et qui n’est autre que le point H', diamétralement opposé au point II dans l'hyperbole ( fig. 5o); propriété commune d'ailleurs aux cercles analogues pour tous les triangles de la série.

Il résulte, en effet, d’un théorème connu, que le cercle des neuf points d’un triangle quelconque A'B'C', inscrit à

Fig. 5o.

une hyperbole équilalère, contient le centre w de la courbe. Et comme trois de ces neuf points sont les pointsmilieux n, b, c des segments HA', IIB', HC', on voit, en doublant les rayons vecteurs menés de l’origine H anx quatre points fl, b, ce tu de ce cercle, que les quatre

axes principaux de l'ellipsoïde. a53

points A', B', C' et H' résultant de cette duplication seront encore sur un même cercle : circonscrit au triangle A'B'C’ et passant par le point H', diamétralement opposé au point H par rapport au centre o> de l’hyperbole. Comme le point H (*), le point H' appartient donc à l’hyperbole (II).

La même conclusion résulterait aussi du calcul.

On trouve, efléclivement, que le point de concours des hauteurs et les sommets i, a, 3 d’un triangle inscrit à l’hyperbole cquilatère

ont leurs abscisses liées par la relation (X) j-, JT3.r3xH = — i.

Formant ensuite l’équation aux abscisses de rencontre de l’hyperbole (b) et du cercle (i, a, 3)

■r1 -4- + 2Aj + 2B/ + C = o,

on trouve

.E3 H HîA/ + 2 h C = O

j:1 + îAjA+ C.r3 + 2B1+ 1= o; et l’on en déduit

Or les relations ( k ), (A') entraînent l’égalité

ou la conclusion que le quatrième point de rencontre d’une hyperbole équilatère et d’un cercle circonscrits à un même triangle, est le point diamétralement opposé, dans l’hyperbole, au point de concours des hauteurs de ce triangle.

(*) C'est une propriété connue du triangle inscrit h une hyperbole équi • latôre que le point de concours des hauteurs appartient à la courbe.

y). Passons maintenant à la commune cnvèloppe des côtés des triangles (A'B'C', H).

Tous ces triangles étant inscrits à l’hyperbole (II) et conjugués à la conique C, la courbe, enveloppe de leurs côtés, ou des polaires de leurs sommets par rapport à cette conique, n’est autre que la polaire réciproque de l’hyperbole par rapport à la directrice C : une conique aussi, comme cela résulte d’un théorème bien connu ; et, dans le cas actuel, une parabole P dont les éléments principaux peuvent être réunis indépendamment de tout calcul.

Comme l’hyperbole (II) passe, en effet, par le centre c de la conique directrice C; la polaire du centre c, par rapport à la directrice, ou la droite à V infini , est tangente à la polaire réciproque que l’on cherche : et celle-ci est une parabole P.

Comme l’hyperbole (II) possède, en outre, un point à l’infini sur chacun des axes ex, cy de la directrice C; sa polaire réciproque, par rapport à celte dernière, est tangente à chacun des axes cy, ex dont le point de concours c appartient dès lors à la directrice de la parabole P.

Enfin, le point donné H, où se croisent les hauteurs d’une infinité de triangles A'B'C7 circonscrits à cette parabole, est un second point de sa directrice (cü); et la polaire hh' du point II, par rapport à la conique C, en est une seconde tangente.

On connaît donc la directrice cl! et deux tangentes distinctes ex, hh' de la parabole enveloppe dont le foyer F se trouve dès lors au point de rencontre de deux droites que l’on sait construire (symétriques de la directrice par rapporta ces tangentes).

Or, tous les triangles (A'B'C', II) étant circonscrits à la parabole P, les cercles circonscrits à tous ces triangles passent d’eux-mèmes, comine l’on sait, et le cercle circonscrit au triangle principal A'B'C passe également par le foyer F de cette parabole.

DÉTERMINATION GRAPHIQUE DE CES AXES. ï55 JT8). En résumé, l’on connaît deux points F, II' du cercle circonscrit au triangle principal A'B'C', n'” 6) et y), ainsi que la puissance du point 11 par rapport à ce cercle, n° 5), formule (I); on peut donc en obtenir un troisième point situé sur l’une des droites UH' ou HF.

Construisant ensuite le cercle déterminé par ces trois points et construisant de même l’hyperbole (II), ces deux courbes se coupent en quatre points : le premier, H', qu’on laissera de côté, parce qu’il est indépendant de la situation du centre O de la surface sur la perpendiculaire menée du point H au plan tangent où se fait la construction ; les trois autres, A', B', C', qui répondent seuls au problème et déterminent les traces, sur ce plan, des axes principaux de la surface.

Le problème proposé se trouve donc résolu, et sa construction ramenée à celle des trois derniers points de rencontre d’une hyperbole équilatère et d’un cercle auxquels leur définition même assigne un premier point commun (H').

9) . On aurait pu négliger la notion relative au point H' et construire le cercle circonscrit au triangle A'B'C' d’après ces seules conditions : qu’il passe par le point F; que sa puissance par rapport au point II soit égale à un carré

donné ( — 2 OH ), et sa puissance par rapport au centre c de la courbe C, à — («’ -+- b *) ( théorème Faure). Obtenue d’après cette dernière condition , la seconde trace de ce cercle sur la droite cF reproduirait justement le point H que l’on voulait négliger.

10) . L’analyse précédente se peut résumer dans cette construction :

Les trois diamètres conjugués qui définissent la surface étant O a, O b, O c ; dans le plan tangent mené par l'extrémité c de l'un de ces diamètres , et autour de ce point comme centre, on imagine la courbe C égale, et homo-

thèlique h la conique conjuguée de la section diamétrale parallèle, et l'on construit ellcctivcment :

i° L'hyperbole éqni/atère , lieu géométrique des pieds des normales menées à la courbe C par le pied H de la perpendiculaire abaissée, du centre O de la surface, sur le plan tangent, considéré; et, dans cette hyperbole , le point H diamétralement opposé au point H;

a° Le foyer F de la parabole polaire réciproque de l'hyperbole précédente par rapport à la courbe C.

Menant ensuite par les points F et H' un cercle dont la

puissance par rapport au point H soit égale à — 2OH ; les traces, sur le plan tangent considéré, des axes principaux de. la surface se trouveront aux trois derniers points de rencontre, de ce cercle et de l'hyperbole précédente.

221. Les axes principaux étant connus de direction, on les détermine en grandeur à l’aide de la proposition suivante, dont la vérification n’olFre aucune difficulté et qui n’est autre qu’une propriété bien connue, transportée dans les mêmes termes, de l’ellipse à l’ellipsoïde : « Le produit des distances de l’extrémité d’un diamètre quelconque au plan diamétral conjugué et à l'un des plans principaux de la surface, est égal au carré du demi-axe perpendiculaire à ce plan principal-, les distances dont il est ici question se mesurant sur la normale au point considéré » ( Aperçu historique , p. 364).

On trouve dans le même ouvrage cette autre construction de la première partie du problème : « Etant donnés..., par l’extrémité A d’un des trois diamètres donnés, on mènera une droite perpendiculaire au plan des deux autres sur laquelle on prendra, à partir du point A, deux segments respectivement égaux aux deux demi-axes principaux de l’ellipse construite sur ces deux diamètres conjugués. Soit b le plus grand de ces deux axes et c le plus