DIAMETRES CONJUGUÉS COMMUNS A DEUX ELLIPSOÏDES

petit-, on mènera par la normaledeux plans, dont l’un parallèle au diamètre c et l’autre parallèle au diamètre on construira, dans le premier plan, une ellipse qui ait pour demi-grand axe le segment b et pour excentricité le segment c, et, dans le second plan, une hyperbole qui ait pour demi axe principal le segment c et pour excentricité le segment b ; on regardera le centre de l’ellipsoïde comme le sommet commun de deux cônes avant pour bases respectivement cette ellipse et cette hyperbole. Ces deux cônes se coupent suivant quatre droites qui seront, deux à deux, dans trois plans, lesquels plans se couperont, deux à deux, suivant trois autres droites : ces trois droites seront les axes principaux de l’ellipsoïde » {Aperçu, p. 365).

225. Construire le trièdre conjugué commun à deux ellipsoïdes concentriques (a, b, c), («', b\ c').

Dans le plan tangent au point c de la première surface, au point c' de la seconde, et autour de chacun de ces points comme centre, on décrit les deuxeoniques (a y' — i , b y — i ), (a' y’ — i, b' q — i) respectivement égales et homothétiques aux coniques conjuguées des sections diamétrales parallèles. Les deux cônes ayant, pour sommet commun, le centre commun des deux surfaces, pour bases respectives les deux coniques (a\J — i , 6 y — l), (fl'y — i, b'sj— i), se coupent suivant quatre génératrices ; et les trois plans diagonaux de l'angle solide tétraèdre qu'elles déterminent se coupent, deux à deux, suivant les trois diamètres cherchés (n° 223, p. 248).

226. Les directions des axes principaux d'un ellipsoïde se peuvent aussi déduire des seules directions de deux groupes formés chacun de trois diamètres conjugués, ou de la seule donnée de deux trièdres conjugués à la surface. Tous ces trièdres sont effectivement conjugués à un même cône du second ordre : le cône asymptote, dont la trace sur un plan quelconque, est ici une conique conjuguée à deux

triangles donnés, et que l’on peut regarder comme connue. La détermination des axes principaux de l’ellipsoïde se réduit donc encore à la construction du triangle conjugué commun à cette conique et à un cercle imaginaire ayant pour centre le pied de la perpendiculaire OH abaissée du centre de l’ellipsoïde sur le plan de l’épure; pour rayon, le produit decetle perpendiculaire par — i (n° 223, p. a5o).

227. Étant donnés le centre O d’une surface du second ordre, et l’un de ses tétraèdres conjugués 12 34; les directions de ses axes principaux résultent encore des équations comparées

• a X2 -f- b Y1 c Z 2 = k , ïi PJ H- • . • -+* P, — O ,

ou de l’identité

«X2 -t- b Y2 + eZ2 = X, P? \ P) -+- k.

Celle-ci exprime, en effet, que le cône asymptote de la surface est simultanément conjugué au trié dre trirectangle XYZ, formé des trois plans principaux que l’on cherche, et au pentaèdre P, . . . P*.Æ, ou P, . . . P*. P. , formé des plans des faces du tétraèdre donné et du plan à l'infini , k = o. Imaginant dès lors le pentagone gauche qui résulte des intersections successives des plans P,, . . . , P», P®) pris dans un ordre quelconque; les droites menées du point O aux sommets successifs de ce pentagone forment les arêtes successives d’un angle solide pentaèdre, conjugué au cône asymptote, et dont la trace sur un plan quelconque est un pentagone conjugué à la trace de ce cône sur le même plan. Celte trace est donc une conique déterminée dont nous serions en étal de construire le centre (n° 182), les directions des axes (n° 222) et tous les éléments. On pourra donc obtenir, comme au n° 223, les traces des axes principaux de l’ellipsoïde, ou les sommets du triangle conjugué commun à cette conique et au cercle

CENTRE ET TÉTRAÈDRE CONJUGUÉ. DIRECT. DES AXES. 25t)

imaginaire qui aurait pour centre le pied de la perpendiculaire OH abaissée du point O sur le plan de l'épure; pour rayon, le produit de celte perpendiculaire par J — î.

Les arêtes successives de l’angle solide pentaèdre que l’on aurait à employer seraient d’ailleurs, et, dans leur ordre, les droites menées successivement, du centre O de la surface, aux sommets 123, 234, et aux points à l’infini des arêtes 34, 41, 12 du tétraèdre donné.

228. Remarque. — Deux arêtes opposées quelconques du tétraèdre. 1 2 3 4, transportées parallèlement à ellesmêmes au point O, et la droite qui, menée de ce point, s’appuierait sur l’une et l’autre de ces arêtes, font trois diamètres conjugués de l’ellipsoïde. Les trois couples d’arêtes opposées du tétraèdre donnent donc naissance à trois trièdres conjugués et permettent de ramener au précédent (n” 226) le problème que nous venons de résoudre. Mais cette remarque nous peut aussi donner une proposition intéressante touchant les dépendances qui existent entre les directions des six arêtes d'un tétraèdre et celles des trois droites qui pcuoentétre menées, parun point quelconqueO de l'espace , de manière à s'appuyer sur deux arctes opposées du tétraèdre. Quel que soit effectivement le point O que l’on aura choisi, le Irièdre formé de ces trois dernières droites est homologique à un trièdre fixe , de même sommet O, et dont chacune des faces est parallèle à deux arêtes opposées du tétraèdre. C’est ce qui résulte de la remarque précédente, associée à un théorème antérieur (n° 180, p. 1 8 1 ) .