PROPRIÉTÉS DU QUADRILATÈRE

pectines d’une transversale quelconque sur ces diagonales , font trois points en ligne droite.

Si l’une des fonctions A ou A' se réduit à une constante, l’une des droites conjuguées A', A disparail à l’infini, l’autre coïncide avec la médiane du quadrilatère, et se trouve définie par une identité de la forme

X, PJ + P’ = A.

232. Les médianes des cinq quadrilatères qui résultent des côtés d'un pentagone P, . . . P5 — o concourent en un même point.

Soient, en effet,

a3= Y vp>,

êmJ-i

les identités qui définissent trois de ces médianes. Si, entre les deux premières, on élimine le terme en PJ qui figure au second membre de l’une et de l’autre, on trouve

ou

Donc, etc.

233. Dans tout quadiilatère complet les cercles décrits sur les trois diagonales comme diamètres se coupent dans les deux mêmes points.

L’identité

>, P? -K . . + >t PJ = (* - «)'-+- (y -

est effectivement déterminée et n’admet qu’un nombre fini de solutions; et si l’on imagine deux cercles de rayon nul représentés par des équations de cette forme, on reconnaît sur-le-champ que telle est aussi la forme analytique de leur axe radical, lequel n’est autre, dès lors, que la médiane du quadrilatère. Deux cercles distincts, de rayon nul, répon-

dent donc à l’identité précédente ; or la polaire, par rapport à l’un quelconque de ces cercles, de chacun des sommets du quadrilatère passe par le sommet opposé; et comme la polaire d’un point, considérée dans un cercle de rayon nul, coïncide avec le diamètre perpendiculaire à celui qui aboutit au pôle (xs + j,= o, o) : chacune

' des trois diagonales du quadrilatère est vue, sous un angle droit, de l’un quelconque de ses deux points cycliques ; cl ceux-ci appartiennent à chacune des circonférences décrites sur ces diagonales comme diamètres.

234. Les points de concours des hauteurs des quatre triangles déterminés par les côtés d'un quadrilatère appartiennent à une même droite perpendiculaire à la médiane.

Les cercles conjugués, relatifs à deux quelconques de ces triangles, ayant, en effet, des équations de la forme

(1) X,P?+...4-LPÎ = o,

leur axe radical est représenté par l’équation

(1,2) V, Pj -t- . . . -t- V, PJ = O,

cl coïncide avec la médiane du quadrilatère. Les centresde ces cercles, ou les points de concours des hauteurs de ces triangles, appartiennent donc à une droite perpendiculaire à l’axe radical de ces cercles, ou à la médiane.

O11 peut ajouter que la droite actuelle n’est autre que la directrice de la parabole inscrite au quadrilatère.

Car si l’on considère le cercle conjugué au triangle P, .P, .P3 = o et l’identité

à laquelle il donne lieu, on voit que les côtés d’un triangle quelconque et deux droites rectangulaires quelconques X.Y= o, menées parle point de concours de ses hauteurs,

DE LA FIGURE FORMÉE D I» TÉTRAÈDRE ET d’uNE DROITE. 265

font toujours cinq tangentes d’une même parabole (n° 134, p. 137). Le point de concours des hauteurs d’un triangle circonscrit à la parabole représente donc le sommet d’un angle droit circonscrit à la courbe et appartient à la directrice.

§ II. — Des surfaces contenues dans l'cqualion X, P; + aA’ 4- a'A'’ -4- 2a"AÀ' = O,

et de la figure formée d’un tétraèdre et d'une droite.

235. Théorème. — Toute surface du second ordre qui divise harmoniquement les trois premières diagonales de la figure formée d’un tétraèdre

et d’une droite

divise de la même manière la quatrième, et se trouve représentée pàr une équation de la forme

(i) ^ A. p; 4- aA» -t- a'A'» -4- 2a"AA' = o.

Telle est d’ailleurs, dans la figure formée d’un tétraèdre et d'une droite, la définition des diagonales que chacune d’elles y ait pour extrémités l’un quelconque des sommets du tétraèdre et la trace de la droite sur le plan de la face opposée.

E11 effet, le plan polaire, par rapport à la surface (1), d’un point quelconque (p, . . . p4, a , a1) étant représenté par l’équation

-f- aaA 4- a! a’ Al 4- a." (a A' 4- a'A)

le plan polaire de la trace de la droite AA' sur l’une des faces' du tétraèdre telle que P* = o (o = a — a' — p^).

l66 CHAPITRE VII.

est simplement

Le plan polaire de la trace de la droite considérée sur le plan de l’une quelconque des faces du tétraèdre passe donc par le sommet opposé : les sommets 1 , 2, 3, 4 du tétraèdre et les traces 1', 2', 3', 4' de cette droite sur les plans des faces opposées font quatre couples de points conjugués par rapport à l’une quelconque des surfaces contenues dans l’équation (i). Or il résulte des sept coefficients homogènes ou des six paramètres <x\ a.' \ a" contenus

dans celte équation que les surfaces qu’elle définit demeurent capables de six conditions nouvelles, et ne peuvent être assujetties dès lors, par leur commune définition, à plus de trois conditions distinctes. On doit donc réduire à ce nombre les quatre conditions communes qu’elles remplissent déjà en divisant harmoniquement les quatre diagonales de la figure. Et l’on peut dire, en d’autres termes, que toute surface du second ordre qui divisq harmoniquement trois de ces diagonales, divise de la même manière la quatrième.