QUADRILATÈRES ET HEXAÈDRES CONJUGUÉS

Sommaire. — Du quadrilatère conjugué à une conique et de l’hexaèdre conjugué à une surface du second ordre. — Analogies géométriques du quadrilatère et de l’hexaèdre. — Développement d’un certain mode de description des courbes et des surfaces du second ordre.

§1. — Des courbes contenues dans V équation ^ PJ = o

et de quelques propriétés du quadrilatère.

229. On doit à M. Lamé la première observation de cette propriété des surfaces du second ordre qui ne peuvent être soumises à « — 1 conditions distinctes sans remplir d’elles-mêmes une n‘imr condition de même nature : propriété singulière que la théorie des coniques 11e permettait pas de prévoir, et qui ne s’y peut rattacher par aucune analogie véritable. Le théorème de M. Hesse, que nous allons établir, offre, il est vrai, une certaine ressemblance avec le précédent; mais il est surtout remarquable en ce qu’il fait l’un des chemins qui conduisent au théorème de Pascal. Et c’est pourquoi nous l’étudierons de nouveau ici, soit en lui-même, bien que les principes déjà posés le rendent évident, soit au point de vue des analogies qui permettent de le transporter aux surfaces du second ordre.

230. Théorème. — Toute, conique qui divise harmoniquement deux des diagonales d'un quadrilatère P, ... P. = 0, divise harmoniquement la troisième ( Hesse) , cl peut être représentée par une équation de la forme

CONIQUES CONJUGUÉES A UN QUADRILATÈRE. u6l

Considérons, en effet, l’une des courbes contenues dans l’équation

. (i) >,PÎ+>sP? + ^PÎ-t-VP| = o,

et la polaire correspondante

(2) l,p,. P, ■+■ l7 pt. P, -f- X3/>3. P3 -+- \,pt.l\ = o

d’un point quelconque (/>,, . . . ,/;t) du plan de la figure. Si ce point coïncide avec l’un des sommets du quadrilatère, on devra poser, par exemple,

et l’équation (2) devenant, par cette substitution,

(2) ^3 Pi • P3 — t- X, Pk • P4 I=: o,

on voit que la polaire de chacun des sommets du quadrilatère passe par le sommet opposé. Les trois diagonales du quadrilatère donné se trouvent donc divisées harmoniquement par chacune des courbes (1). Or il résulte des quatre coefficients homogènes, ou des trois paramètres indéterminés : X, contenus dans l’équation (1), que les

courbes qu’elle définit demeurent capables de trois conditions nouvelles, et ne peuvent être assujetties dès lors, par leur commune définition, à plus de deux conditions distinctes. On doit donc réduire à ce nombre les trois conditions communes qu’elles remplissent déjà en divisant harmoniquement les trois diagonales du quadrilatère; et l’on peut dire, en d’autres termes, que toute conique qui divise harmoniquement deux de ces diagonales divise de la même manière la troisième.

Ce théorème est d’ailleurs susceptible de cet autre énoncé :

Si deux des trois systèmes de deux points formés des sommets opposés d’un quadrilatère complet font deux systèmes de points conjugués par rapport à une conique, il en est de même des deux points du dernier système. Et nous

dirons, dans ce cas, que le quadrilatère et la courbe sont conjugués.

Observation. — Il résulte de la propriété de six couples d’éléments conjugués à une conique (n° 156, p. 160) que « si n couples de points P, P',, , P„P', donnent lieu à

l’identité langentielle

Xi Pi P, ■+■ • • • -+• X„ P» P/, — o,

toute conique conjuguée à n — i de ces couples est d’cllcmème conjuguée aux deux points de la n‘fm' ». Posant n — 3, on voit que la condition nécessaire et suffisante pour que la donnée de deux couples de points conjugués 1 1 ', 22' entraine celle d’une troisième couple 33', réside dans V identité X, P, P't -f- . . . -f- X3 P3 P3 = o, que l’on peut écrire

Or il résulte de celle-ci que le système 33' peut être considéré comme une conique évanouissante inscrite au quadrilatère 12l'2'; ou que les points 3 et 3' coïncident avec les points de concours des côtés opposés du quadrilatère 121'2' : c’est encore le théorème de M. Hesse. Les démonstrations géométriques que l’on en a données paraissent moins simples (Chasles, Traité des coniques, p. 96).

231. Si l’on dispose des rapports X, : X, : X3 ; X4 de manière que l’équation (1) soit satisfaite parles coordonnées de trois points appartenant à une droite A = o prise à volonté dans le plan de la figure; la fonction (1) sera décotnposable en un produit de deux facteurs linéaires A, A'; et l’on aura identiquement

(1') X, PÎ-t-... + X,PÎ = A.A\

Il en résulte que les conjugués harmoniques, par rapport aux trois diagonales d'un quadrilatère , des traces res-