PROPRIÉTÉS DE CETTE FIGCRE

milieux dans un même plan : le plan médian de la Jigure. Et les plans médians des cinq figures analogues, dérivées d’une droite et d’un pentaèdre, se coupent en une même droite ; ceux des quinze figures, dérivées d’un hexaèdre et d’une droite, en un même point.

L'équation

1, P; 4- «A3 4- a' A'3 4- 2a"AA' = o

pouvant en effet s’abaisser au premier degré, d’une manière et d’une seule, le plan déterminé que représente cette équation divise également chacune des quatre diagonales de la figure formée du tétraèdre P, ... P» et de la droit» AA'. Et l’identité

\ pi

-t-aA’H- a' A'3 -+- 2a"AA' = M

qui définit le plan médian de la figure, traitée comme au u° 232, nous fournirait ensuite toutes les autres parties de l’énoncé.

238. Corollaire III. — Dans la figure formée d'un tétraèdre et d'une droite, les sphères dédites sur les quatre diagonales comme diamètres se coupent suivant les deux mêmes points.

L’identité

ï , P î H- a A 3 4- a'A'» -f- 2 a"A A'= (x — fl)1 -+- (/— 6 )> 4- (z — c)*

est effectivement déterminée et n’admet qu’un nombre fini de solutions. Et si l’on imagine deux sphères, de rayon nul, représentées par des équations de cette forme, on voit aussitôt que telle est aussi la forme analytique de leur plan radical, lequel n’est autre dès lors que le plan médian de la figure. Deux sphères distinctes, de rayon nul, répondent donc à l’identité précédente. Or les deux extrémités de l’une quelconque des diagonales de la figure sont polaire-

ment conjuguées par rapport à l’une quelconque de ces sphères. Et comme le plau polaire d’un point, considéré dans une sphère de rayon nul, coïncide avec le plan mené par le centre de celle-ci, perpendiculairement au rayon qui aboutit au pôle (x* +J'* -+- z* = o, xx' -4- zz' = o);

chacune des quatre diagonales est vue, sous un angle droit, de l’un quelconque des deux points sphériques de la figure : et ces points appartiennent à chacune des sphères décrites sur ces diagonales comme diamètres.

§ III. — Des surfaces contenues dans l'équation *,p; = o,

et de quelques propriétés de l'hexaèdre.

239. Théorème. — Toute surface du second ordre qui divise harmoniquement quatre quelconques des diagonales d'un hexaèdre complet, P, . P, . . . P„ = o, divise de la même manière toutes les autres, et se trouve représentée par une équation de la forme

Cet énoncé suppose d’ailleurs la restriction que les diagonales considérées ne s' appuient pas, toutes les quatre, sur une même arête de l'hexaèdre.

Si l’on considère, en effet, l’une quelconque des surfaces contenues dans l’équation

et le plan polaire correspondant

d’un point indéterminé .,p«)i on voit que le plan

SURFACES CONJUGUÉES A UN HEXAÈDRE. a 6g

polaire de l’un quelconque des dix sommets de l’hexaèdre passe par le sommet opposé. Chacune des surfaces contenues dans l’équation (t) divise donc harmoniquement les dix diagonales de l’hexaèdre. Or il résulte des six coefficients homogènes, ou des cinq paramètres indéterminés X, ; X, ; . . . : Xe contenus dans cette équation, que les surfaces qu’elle définit demeurent capables de cinq conditions nouvelles, et ne peuvent être assujetties dès lois, par leur commune définition, à plus de quatre conditions distinctes. On doit donc réduire à ce nombre les dix conditions communes qu’elles remplissent déjà en divisant harmoniquement les dix diagonales de l’hexaèdre. Et l’on peut dire, en d’autres termes, que toute surface du second ordre qui divise harmoniquement quatre de ces diagonales, divise de la même manière toutes les autres. Nous dirons dans ce cas que la surface et l’hexaèdre sont conjugués.

2 10. Remarque. — L’énoncé précédent doit être entendu avec cette restriction que les diagonales qui y figurent ne s’appuient point, toutes les quatre, sur une môme arête de l’hexaèdre. Si ces diagonales s’appuyaient sur une même arête, telle que o = P, = P6, elles dépendraient moins, en effet, de l’hexaèdre proposé que de la figure formée du tétraèdre (P, Pt P, P4) et de la droite (Pk.Pe) : figure indépendante de l’orientation des deux dernières faces PM P6 de l’hexaèdre, et dont les quatre diagonales sont divisées harmoniquement par une surface du second ordre, aussitôt qu’il en est ainsi de dois d’entre elles (n° 235, p. a65 ).

211. Si l’on dispose de trois des rapports indéterminés X, : X, ; ... : X6, de manière que la fonction (i) se décompose en un produit de deux facteurs linéaires, on que l’on ait identiquement

deux des cinq rapports demeurent arbitraires et permettent, par suite, sinon de choisir à volonté le plan A = o, du moins de le faire passer par une droite donnée. De là cette conclusion négative : « Les conjugués harmoniques, par rapport aux dix diagonales d’un hexaèdre, des traces de ces diagonales sur un plan quelconque, n’appartiennent pas, en général, à un seul et même plan » : le cas excepté où le plan que l’on considère serait tangent à une certaine surface, la surface enveloppe des plans de toutes les coniques inscrites à l’hexaèdre; comme cela résulte du théorème suivant.

242. Si un plan A coupe les diagonales d'un hexaèdre en quatre points (ou en dix) dont les conjugués harmoniques, par rapport à chacune de ces diagonales, appartiennent à un même plan A! ; chacun des plans A, A' coupe l’ hexaèdre suivant un hexagone circonscriptihle à une conique. En d’autres termes, les plans A, A'dêjinis par V identité.

et les plans des coniques inscrites à l'hexaèdre P, ... P, ont. la même enveloppe .

Si l’on prend, en effet, l’un quelconque de ces plans A pour plan des xy , ou si l’on pose

l’identité précédente devient, en explicitant les fonctions P,, . . . ,P8 relatives aux diverses faces de l’hexaèdre,

Et comme le second membre de cette identité s’annule identiquement par la substitution z = o, il en est de même du premier. On a donc identiquement

PROPRIÉTÉS DE L’HEXAÈDRE. 2"j I

et les six droites

«i ■+ b, y — pt = o, . . aeæ -i- b,y — pe = o

sont tangentes à une même conique (n° 132, p. i35). Mais ces droites ne sont autres que les traces, sur le plan considéré z = o ou A = o, des plans P,, . . . , P6 des diverses faces de l’hexaèdre. Donc, etc.

243. Réciproquement, le ]>hin A — o de toute conique inscrite à l'hexaèdre P, ... P, satisfait à /'identité

et ses traces sur les diagonales de l’hexaèdre ont leurs conjugués harmoniques situés sur un même plan A1.

Prenons encore, pour plan des xy, Z = o, le plan A de l’une des coniques inscrites; et soient encore

a, x ■+- b, y 4- c, z — p, — o , . . . , a, x + b„ y -+- cH z — ps = o

les plans des diverses faces de l’hexaèdre. Puisque leurs traces sur le plan z = o,

o, x 4- b, y — p, — o, . . . , a, x -4- bs y — pe = o,

font six tangentes d’une même conique, on peut, par une convenable détermination des rapports X, ; X, : . . . : 5.6 satisfaire à l’identité

Or, si l’on transporte ces mêmes coefficients dans la fonction

l,(rt,x + b, y + f,ï-^)! + .., + i,(«,i-t- b, y + c,z — p,}’,

les termes indépendants de la variable z disparaissent d’eux-mêmes de cette fonction, en vertu de l’identité précédente; et la première puissance de z apparaissant en facteur, on a identiquement

=== z [ai ■+■ by -y cz — p),

X, PJ 4- • • • +)•« PJ = Z..V = A. A'. C. Q. F. D.

244. Les coniques inscrites à un hexaèdre s'associent donc naturellement deux à deux, de telle manière que les plans A, A' de deux coniques associées soient conjugués par rapport à l’hexaèdre, et que chacun d’eux se puisse déduire géométriquement de l’autre.

Les coniques associées d’une conique inscrite à un système de sept plans, ou de huit, donneraient lieu à des théorèmes de collinéation qu’il est aisé d’apercevoir, et sur lesquels nous n’insisterons pas davantage.