Revenons à l’hexaèdre P, ... P, et à l’identité

qui définit deux quelconques de ses plans conjugués. Comme aucun de ces plans ne peut être pris arbitrairement, aucun d’eux, en général, ne pourra disparaître à l’infini. Supposons toutefois l’hexaèdre tel, que celle particularité puisse se produire. Le plan à l'infini c = o remplaçant, dans ce cas, le second plan A'; le plan conjugué A = o et le plan à l’infini divisent harmoniquement les dix diagonales de l’hexaèdre. En d’autres termes, chacune de ces diagonales est divisée en deux parties égales par le seul plan A = o, et celui-ci renferme les points-milieux de toutes les diagonales.

De là ce premier théorème, analogue à celui de Newton sur le quadrilatère :

Si les point s-milieux rie quatre des diagonales d’un hexaèdre sont dans un même plan, il en est de même des points-milieux de toutes les autres ; et le plan médian de l'hexaèdre coupe celui-ci suivant les côtés d'un hexagone circonscriptiblef une conique.

Cet énoncé suppose d’ailleurs une restrictio’n indiquée déjà (n° 240, p. 269).

DU PLAN MÉDIAN DE l’hEXAÉDRE CONIQUE. 2^3

246. Ii est d’ailleurs bien facile de déduire, de ce qui précède, la déünition de tous les hexaèdres présentant cette propriété.

On a vu, en effet, que deux plans conjugués quelconques sont ceux de deux coniques associées, inscrites l’une et l’autre à l’hexaèdre. Le plan à V infini coupe donc l’hexaèdre actuel suivant un hexagone circonscriptible à une conique : de telle sorte que les six plans, menés par un même point de l’espace et chacun des côtés de cet hexagone, déterminent six plans tangents à un même cône du second ordre. Or cet hexagone est tout entier à l’infini, et ces six plans ne sont autres que ceux des différentes faces de l’hexaèdre transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconqueale l’espace. De là ce théorème :

Pour que les points milieux des dix diagonales d'un hexaèdre soient situés sur un même plan , il faut et il suffit que les plans de ses différentes faces soient parallèles à six plans tangents d'un même cône du second ordre.

Cette condition est en effet nécessaire, d'après ce qui précède, et la proportion réciproque, établie au n° 243, démontre qu’elle est suffisante.

247. Corollaire I. — Si les diagonales d'un premier hexaèdre ont leurs points milieux dans un même plan , tout hexaèdre, parallèle à celui-là, présente la même propriété ,

248. Corollaire il. — Les plans médians des sept hexaèdres déterminés par un système de sept plans parallèles à un même nombre de plans tangents d'un cône du second ordre se coupent dans une même droite, et les plans médians des vingt-huit hexaèdres déterminés parhuit plans parallèles à huit plans tangents d'un cône du second ordre se coupent en un même point.

On reconnaît l’analogie de ces propositions avec celles qui concernent, dans le plan, la médiane d’un quadrilatère

ou les cinq médianes d’un pentagone. L’analogie d'ailleurs se prolonge au delà. Car de même que la médiane de ce quadrilatère est le lieu des centres des coniques inscrites, et le point de concours de ces médianes, le centre de la conique inscrite à ce pentagone : le plan médian d'un hexaèdre conique, la droite ou le point de concours de tous ces plans médians représentent aussi le lieu des centres ou le centre unique de toutes les surfaces du second ordre menées langentiellement aux plans des divers groupes considérés.

249. Observation . — Une surface du second ordre, que l’on assujettit à être inscrite à un hexaèdre quelconque, demeure capable de trois nouvelles conditions. On peut par exemple lui assigner pour centre un point quelconque de l’espace, et il n’existe d’autre lieu des centres de toutes les surfaces en question que l’espace indéfini. Il existe toutefois une exception, et l’on ne peut plus choisir arbitrairement le centre d’une surface inscrite à un hexaèdre conique, ou qui admet un plan médian; car celui-ci est le lieu des centres de toutes les surfaces inscrites.

Une surface du second ordre, que l’on assujettit à être inscrite à un hexaèdre conique, ne se trouve néanmoins soumise qu’à six conditions; mais l’une d’elles intéresse la position du centre, et ne lui permet plus de se placer arbitrairement dans l’espace. Que si l’on ajoute, aux données précédentes, celle d'un nouveau plan tangent quelconque P7 = o, la surface est soumise à une condition de plus; mais la position du centre n’en est pas particularisée davantage, et le lieu des centres de toutes ces nouvelles surfaces,

o L PJ + i, P} =£ kx -H Bj- -rC: — p,

se réduit par la substitution