RELATIFS AUX SOLIDES

Mesure de la Solidité du Prisme .

Lorsque le prisme est un cube ou iiu parallèlipipède rectangle, on mesure sa solidité en multipliant sa base par sa hauteur, qui, dans ce cas, est toujours un de ses côtés. Ainsi, on trouverait la solidité d’un cube qui aurait six pieds de côté , en prenant le carré de six , pour avoir une des faces du cube , et en mul- „ tipliant 36 par 6 ;le produit 216 serait la solidité cherchée. La mesure de la solidité d’un parallèlipipède rectangle 11e présenterait pas plus de difficulté; ce serait toujours la fcase de ce parallèlipipède multipliée par sahauteur.

Mesure d'un Parallèlipipède rectangle coupé obliquement à sa hauteur.

Pour mesurer la solidité du parallèlipipède rectangle A G , ( fig . 4 i ) dont la base À B C D est, opposée à une face oblique EF G H, il faudra commencer par multiplier cette base A B C D

S ar la moindre hauteur AE, ou c g.

>n aura, de cette manière, la solidité du parallèlipipède A g, dont les deux faces AB C D, E F g- & sont parallèles , et il ne restera plus qu’à trouver celle du coin ayant E F pour arête et h g G H pour base. La solidité de ce coin est la moitié de celle du parallèlipipède qui aurait la même base , ou en d’autres termes , la moitié de A B C D ou EF^/i multiplié par g G. Il suffira donc d’ajouter ce nouveau produit à celui du parallèlipipède A g pour avoir la mesure totale du solide A G. Ainsi , en supposant que la surface de A B C D fût 20 , la hauteur C g, 8 et la hauteur g G, 2, on aura pour mesure du solide A g , 8 fois 20 ou 160; quant à la solidité du coin g H, elle sera de la moitié de 20 rnulti-

plié par 2 , ou de 20. La solidité du parallèlipipède total À G sera donc 180.

On pourrait trouver immédiatement la solidité du parallèlipipède A G en multipliant la base A II C D par la demi-somme de la moindre hauteur B F et de la plus grande C G.

Les prismes droits , quelle que soit la figure de leur base , ont également pour mesure , le produit de cette base par leur hauteur.

Mesure de la Solidité du Cylindre droit.

Les cylindres pouvant être considérés comme des prismes d’un nombre infini de côtés, on mesure leur solidité en multipliant leur base par leur côté. Ainsi , un cylindre ou une colonne ayant une base de 46 pieds carrés de surface, et ayant i 5 pieds de hauteur, aurait pour mesure i 5 fois 46 ou 690 pieds cubes.

Mesure de la solidité, des Prismes et des Cylindres obliques.

La solidité des prismes et cylindres obliques s’obtient n multipliant leur base par leur auteur. Cette hauteur

n’est pas, comme dans les prismes droits, la même chose que le côté ; aussi doit-on commencer par la chercher , ce qui se fait en abaissant une perpendiculaire de la base supérieure sur la base inférieure qui lui est parallèle ou sur son prolongement.

Solidité des Pyramides et des Cônes.

Pour avoir la solidité des pyramides il faut multiplier le polygone qui leur sert de base par le tiers de leur hauteur; le produit seia la mesure cherchée. En comparant la solidité du. prisme qui est égale au produit de sa base par sa hauteur avec celle de la pyramide qui n’est égale qu’au produit de sa base par le tiers de sa hauteur, on en conclura que toute pyramide est le tiers d’un prisme de même base et de même hauteur.

Les cônes, comme les pyramides, ont pour mesure le produit de leur base par le tiers de leur hauteur ; et en les com-

g arant au cylindre qui a pour mesure sa ase par sa hauteur , on peut conclure que la solidité d'uu cône quelconque est le tiers de celle du cylindre qui a même base et même hauteur.

Solidité des Pyramides et des Cônes tronqués .

Pour mesurer la solidité des pyramides et des cônes tronqués, il faut multiplier l’une par l’autre leurs deux faces parallèles opposées; extraire la racine carrée du produit, ajouter cette racine à la somme des deux faces , et multiplier ce résultat par le tiers de la hauteur. Le produit est la solidité cherchée. Ainsi supposons que la base d’une pyramide ou d’un cône soit 108, et la face parallèle opposée 48, on multipliera ces deux nombres l’un par l’autre et on extraira la racine carrée du produit 5 1 84 * Cette racine sera 72 qu’on ajoutera à la somme de 108 et de 48 , et la somme totale 228 devra être multipliée par le tiers de la hauteur. Si la hauteur est i 5 , ce tiers sera 5 , et la solidité du tronc de pyramide ou de cône sera 1 i4o.

On pourrait trouver d’une autre manière, la solidité d’un tronc de pyramide ou de cône. A cet elfet, on terminerait la pyramide ouïe cône; on chercherait leur solidité après les avoir ainsi terminés, et on soustrairait de cette solidité

celle de la petite pyramide ou du petit cône qu’il aurait fallu ajouter au tronc.

La différence serait la mesure de la solidité de ce tronc.

Pour trouver quelle serait la hauteur totale d’une pyramide ou d’un cône dont on ne connaîtrait que le tronc, il faudrait poser une proportion dont les termes seraient différens selon que l’on opérerait pour un tronc de pyramide ou un tronc de cône; s’il s’agissait d’un tronc de pyramide, on dirait : un des côtés de la base inférieure du tronc, moins son homologue de la base supérieure, est à ce côté homologue, comme la hauteur du tronc est à la liautenr de la petite pyramide ; tandis que s’il s’agissait d’un tronc de cône , comme les cercles qui servent de base au tronc de cône n’ont pas de côtés, on dirait : le rayon de la base inférieure du tronc moins le rayon de la base supérieure , est à ce rayon , (tomme la hauteur du tronc de cône est à la hauteur du petit cône.

Le quatrième terme de ces proportions donnerait par son addition avec le troisième , la hauteur totale de la pyramide ou du cône ; on mesurerait la solidité de ces corps, on en soustrairait celle de la

petite pyramide ou du petit cône, et la différence serait la solidité du tronc de pyramide ou de cône.

Solidité des Pyramides et des Cônes tronqués obliquement.

Pour mesurer la solidité des pyramides ou des cônes tronqués obliquement, c’est-à-dire coupés par un plan qui n’est pas parallèle à leur base, il faut mesurer la solidité de la pyramide ou du cône entier et soustraire de cette mesure celie de la partie supérieure en suivant les règles que nous avons indiquées. Le reste est la mesure cherchée.

Solidité des Poly èdres réguliers.

On appelle polyèdres réguliers, des solides dont toutes les faces sont des polygones réguliers. 11 n’y a que cinq solides de cette espèce. Le tétraèdre, ou polyèdre à quatre faces, dont les faces sont des triangles équilatéraux ; le cube dont les faces sonudes carrés et qui en a six; l’octaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux et qui en a huit

Le dodécaèdre dont les faces sont des pentagones et qui en a douze, et l’icosaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux et qui en a vingt.

Le tétraèdre est une pyramide triangulaire que l’on a déjà appris à mesurer.

Le cube présente encore moins d’embarras, puisque c’est un parallèlipipède .dont toutes les faces sont des carrés; et l’octaèdre ne peut être non plus le sujet d’aucune difficulté puisqu’il peut être considéré comme la réunion de deux pyramides quadrangulaires égales reposant sur un carré dont le côté serait une des arêtes de l’octaèdre. Il ne reste donc plus qu’à chercher comment on pourrait mesurer le dodécaèdre et l’icosaèdre. Or , ces deux corps peuvent être considérés comme composés de pyramides égales ayant pour base les faces du polyèdre, et ayant leur sommet au centre du même corps. Leur mesure est donc la somme des mesures de ces pyramides ou la somme des faces du polyèdre multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite. Ainsi la solidité d’un dodécaèdre, par exemple, dont le rayon aurait douze pieds , et dont chaque face serait un pentagone de 5 pieds carrés de surface ,

ïoo PROBLÈMES RELATIFS

cette solidité, disons -nous, serait du tiers de 5 fois 12 ou de 20, pour chaque pyramide, et les 12 pyramides ensemble auraient pour mesure 2^0.

Cette méthode peut servir pour les polyèdres irréguliers toutes les fois que les pyramides dans lesquelles on les décompose, peuvent être considérées comme ayant un sommet commun , et que l’on connaît la distance de leur base à ce sommet, ou en d’autres termes leur hauteur : seulement il faut prendre séparément la solidité de chaque pyramide , et ajouter ensemble toutes ces mesures pour avoir celle du polyèdre entier.

Mesure de la Solidité de la sph'ere.

La sphère pouvant être considérée comme un polyèdie régulier d’un nombre inüni de faces , sa solidité est égale à sa surface multipliée par le tiers du rayon. Or, comme sa surface égale celle de 4 grands cercles, 011 peut dire encore que sa solidité est égale à la surface de * I grands cercles multipliée par le tiers du rayon, ou à un grand cercle multiplié par les 4 tiers du rayon ou les 2 tiers du diamètre.

AUX SOUDES. H>ï

Maintenant si l’on compare à la sphère le cylindre qui lui serait circonscrit el qui aurait même hauteur, on verra que la surface convexe de celui-ci étant égale à la circonférence du cercle qui lui sert de base multipliée par la hauteur ou le diamètre , cette surface est absolument la même que celle de la sphère. Quant à la solidité du cylindre, comme elle est le

Ï iroduit du cercle qui lui sert de base par a hauteur ou le diamètre, et que la ' sphère inscrite, n’a pour mesure que le même cercle multiplié par les 2 tiers du diamètre, il s’ensuit que la solidité du cylindre est à celle de la sphère inscrite comme 3 à 2.

Rapport des Solides semblables .

On peut démontrer que les solides semblables sont entre eux comme les cubes des cotés homologues, en disant :

une surface est à la surface semblable comme le carré d’un côté est au carré du côté homologue; après quoi on multiplie celte proportion terme par . terme par la proportion identique, un côté est à un côté, comme un côté est à un côté ; et on a : la surface multipliée par un

côté est à la surface semblable multipliée par le côté homologue , comme le cube d’un côté est au cube du côté homologue. Or les surfaces multipliées par un côté ou par une portion dé côté, sont entre elles comme les solides, puisqu’elles en sont la mesure; donc les solides semblables sont entre eux comme les cubés des côtés homologues. Quant aux sphères; elles sont entre eüès comme les cubes de leurs rayons

Mesure des Portions de la Sphère.

Pour mesurer la solidité d’un secteur sphérique, il faut connaître le rapport de la surface de sa base avec la surface de la sphère; après cela, on cherche la solidité de la sphère , et on en prend le quart, le cinquième, le neuvième, etc. , selon que la surface du secteur est lé quart , le cinquième ou le neuvième de celle de la sphère. Le quotient est la mesure du secteur. . .

Pour trouver la solidité cl’un segment sphérique , on commence pour chercher celle du secteur dont le segment fait partie; après quoi ou soustrait de celle-ci, celle du cône droit qui repose sur la sur-

lo3

face plane du segment. Le reste est la solidité du segment qu’on veut mesurer.

Pour trouver la solidité d’une zone sphérique, il faudra considérer si cette zone est appuyée ou non sur un grand cercle. Si eile est appuyée sur un grand cercle, comme C A il D (fg. '\ 2 J par exemple , il suffira de prendre la solidité de l’hémisphère A G B, et d’en retrancher le segment CGD; la différence sera la solidité de la zone cherchée. Si la zone n’est pas appuyée sur le diamètre, comme, par exemple, la zone E C DF, il faudra chercher d’abord la solidité du segintnt CDG, et retrancher de cette mesure celle du segment Ë G F, la différence sera la solidité de la zone E CD F.

Mesure de la Solidité d'un Ellipsoïde.

L’ellipsoïde est produit par la révolution d’une demi -ellipse autour d’un de ses axes. Pour le mesurer, il suffit de quadrupler la solidité du cône qui aurait pour base le cercle formé par le petit axe de l’ellipse, et pour hauteur la moitié du grand axe de la même ellipse. Le résultat exprime la solidité de l’ellipsoïde qu’on veut mesurer.