PROBLEME I

g 1 . Etablir les corrélations de construction et de position qui existent entre deux triangles quelconques ABC, MNP, (lig i3 et i4) de manière , qu'ayant les formules propres à l’une de ces figures, on puisse les modifier convenablement pour qu’elles deviennent applicables à l’autre.

Prenons pour ternie de comparaison le triangle ABC, par exemple, et écrivons de suite cl dans un ordre quelconque , les trois points A , B, C, qui le déterminent. Ecrivons au-dessous , également dans un ordre quelconque , les trois points M, N, P, qui déterminent le second. Par exemple , comme il suit :

i“ syst A B C

a' syst MNP.

Il est clair que la corrélation de construction se trouvera établie : d’oü il suit évidemment, qu’on peut éUiblir cette corrélation d’autant de manières différentes, qu’il y en a de faire correspondre les trois lettres M, N, P, aux trois lettres A, B,C; c’est-.i-dire , six.

La corrélation de construction ainsi établie ; celle des valeurs absolues s’ensuit sans dilhcullé : puisque pour trouver, par e.'cemplc, la droite qui dans le second système répond à la droite AC du premier, il n’y a qu’à prendre les deux points M, P, qui correspondent respectivement aux premiers A , C; c’est-n-dire,

qtie MP correspond à AC. De môme l’angle BAC a pour corres-

pondanl l’angle NMP. Ainsi des aulres.

Il reste donc à établir la corrélation de position de laquelle dépend celle des signes -, mais il est évident , que la corrélation de deux triangles quelconques, simples comme ceux que nous considérons , c’est - à - dire sans lignes accessoires ; comme seroient, par exemple, les perpendiculaires menées des angles sur les côtés opposés ; que celte corrélation , dis- je , est toujours directe, puisqu’un des triangles peut toujours se transformer en l’autre par degrés insensibles, sans qu’aucune des six choses à considérer pusse ni par o ni par oo ; car pour opérer celle mutation , il n’y a évidemment qu’à augmenter ou diminuer convenablement les côtés.

Donc les formules que donne la trigonométrie pour le calcul d’un triangle quelconque , sont applicables à tous les triangles possibles sans aucun changement de signes , pourvu que dans le calcul on ne fasse réellement entrer que les six choses à considérer dans ce triangle simple , et non les perpendiculaires, par exemple , ou les angles que forment ces perpendiculaires avec les côtés adjacens.

On peut remarquer que tout triangle est comparable à luimême de trois manières dilférentes , par voie de corrélation , car nous pouvons établir pour le triangle ABC les trois systèmes corrélatifs suivans :

i" syst ABC

a' syst BAC

syst A C B,