A CD

Ce qui s’exécute en écrivant d’abord et de suite la série de toutes les quantités du premier système que l’on veut comparer à celles du second ; et ensuite sous chacune d’elles , la série des

letlrcs corrcspoiulaates, lesquelles détermineront les quantités correspondantes du second sj^slème.

Ainsi les deux premières lettres A , B , prises dans la corrélation des points , étant écrites de suite, déterminent la droite AB ; les deux letlrcs correspondantes A', B', du second système écrites de suite , détermineront la droite A' B' corrélative avec AB. Pareillement, la seconde , la première et la quatrième lettres du premier système écrites de suite , déterminant l’angle

BAD; la seconde, la première et la quatrième du second système écrites de suite, dans le même ordre , détermineront

l’angle corrélatif B' A' D' de ce second système ; c’est-à-dire, que

BAD etB'Â'D', seront des quantités corrélatives. Ainsi des autres.

On voit par-là , qu’en général la corrélation des quantités ou valeurs absolues , ne dépend que de la corrélation de construction.

85. La corrélation de construction établie, il faudra établir la corrélation des signes : celle-ci dépend do la corrélation de position.

Par exemple, dans les deux triangles comparés ci-dessus , la corrélation de position des points étant (79),

i^syst. B D C

2' syst B' C' D'.

Je vois qu’il s’est fait une inversion entre les points D, C, et leurs corrélatifs D', C' ; c’est-à-dire, qu’ils ont changé d’ordre. J’en conclus que les deux systèmes ne sont qu’indirectement corrélatifs. On cherchera donc successivement quelles sont toutes les quantités restées directes , et quelles sont celles qui sont devenues inverses : on donnera aux premières -t- pour signe de corrélation , et aux autres — .

Quant au système pris pour terme de comparaison , j’ai déjà dit que les quantités qui le composent, u'onl par elles-mêmes

aacim signe, puisque ce sont de simples valeurs absolues, mais qu’on peut leur donner le signe + , parce qu’on peut regarder le système primitif comme le premier des systèmes corrélatifs, et j’en userai ainsi (5a).

86. La conélalion des signes établie, les valeurs de corrélation en dérivent de suite, puisqu’elles se composent des valeurs absolues prises collectivement avec leurs signes. Etablissons donc ces valeurs de corrélation successivement pour chacune des quantités qui composent les deux systèmes comparés. A^oici d’abord quel doit être le résultat , ainsi que je le prouverai immédiatement apres.

Tableau général de la corrélation des deux systèmes.

i"syst..|+Â¥,4Tc, + BC',+BD', + Cjâr,-|-ÂD; +BAC, 2' sy8t...l+TF,4TÂD',-bW,+ïfD',— ClF, + Â +B'A'C',

j +A B C,+A C B ,-l-B A D,-l-C A D ,+A B C ,+ÂBD",+A CD. [+A'B'C',+A'C'B',-bB'A'D',-C'A'D',-l-A'B'C;+A'BD',-A'C'D.

Pour démontrer ce tableau de corrélation , j’imagine que le triangle primitif ABCD se transforme en A'B'C'D' par le

mouvement du point C sur CB , et en vertu duquel il vient se placer entre B et D. Cela posé , dans ce mouvement , je vois qu’aucune des quantités AB, AC, BC, BD, AD , ne passe ni par O ni par % . Donc ces quantités sont directes dans le second système (4g); donc le signe de corrélation de chacune d’elles dans ce second système est +, ainsi que le marque le tableau. Quant àCD, au contraire , elle passe par o, pour devenir C'D', au moment où C coïncide avec D. Cette quantité peut donc devenir inverse , et le devient en effet ; car dans le sj'stème primitif ou a CD = BC — BD , et dans le système transformé , on a au contraire, C'D^ = B D’ — B'C'. Donc le signe de corrélation de C'D' est — , comme le montre le tableau.

Pareillement, il est clair que pendant tout le mouvement du

point C , aucune des quantités BAC , ABC, ACB, BAD, ABC,

AB JJ, ne passe ni par o ni par oo. Donc le signe de corrélation de chacmio d’elles dans le sj'stôme transformé est + ; mais

CAD, ACD , se sont évanouis l’un et l’autre au moment de la coïncidence de C avec D : ces deux quantités peuvent donc être devenues inverses , et cela est ainsi ; car dans le premier sys-

tème , on a CAD = BAC — BAD, et au contraire , on a dans le système transformé C'A'D'= B'A'D' — B'A'C'. De même , on a dans le premier système ACD = ABC — ABD; et dans le second, on a au contraire, A'C'D'=A'BD' — A'B'C'. Donc ces

deux quantités C'A'D', A'C'D' sont inverses; donc leur signe de corrélation est — , comme l’indique le tableau. Donc ce tableau représente exactement la corrélation des deux systèmes proposés.

Il suit de là , que si les propriétés du triangle primitif éloient exprimées d’une manière quelconque par des formules , proportions ou équations qui ne continssent que les quantités énumérées dans le tableau ; il n’y auroit, pour rendre ces formules applicables au système transformé , qu’à y substituer à la place de chacune des valeurs qui s’y trouvent, la valeur de corrélation qui lui correspond dans le système transformé (e5).

On sait , par exemple, que dans tout triangle o'ù l’on a mené une perpendiculaire de l’un des angles sur le côté opposé, si cctle perpendiculaire tombe sur le côté même, on a cette proportion.

Le côté sur lequel tombe la pei pendiculaire , est à la somme des deux autres côtés, comme la différence de ces autres côtés esta la diUcrcnce des seginens ; et l’on veut savoir <îe que devient cette proportion , lorsque la perpendiculaire tombe en dehors do l’aire du triangle , ou sur le prolongement de la base.

lia proportion énoncée me donne pour le système primitif,

BÜ

DEPOSITION. fy

EC : AB4-AC::«AB — AC:BU — CIJ. Pour appliqoer celte proportion au système transformé , j’y substitue les valeurs corrélatives prises dans le tableau ; elles ont toutes + pour signe de corrélation , excepté C'D'. Je change donc seulement le signe de OD', et ma proportion devient ,

ÏÏÔ :TB'+ÂC : : TB — AV : BU'+Clÿ ;

c’est- à-dire, que quand la perpendiculaire tombe en dehors, on a celle proportion.

Le côté sur lequel tombe la perpendiculaire , est à la somme des deux autres côtés , comme la diffcrcncc de ces autres côtés esta la somme des segmens.

Il en seroit de môme d’un nouveau triangle quelconque auquel on voudroit appliquer les mêmes formules ; il n’y auroit qu’à établir , comme on vient de le faire voir , la corrélation des deux systèmes, laquelle sera évidemment directe, si la perpendiculaire du nouveau triangle tombe sur la base même qui lui est opposée; et indirecte, si cette perpendiculaire tombe seulement sur le prolongement de cette base.

Dans ce dernier cas, onpourroit prendre ponr système primitif, celui que nous venons de regarder comme système transformé ; c’est-à-dire, prendre celui-ci pour terme de comparaison au nouveau triangle, et alors la corrélation seroit directe ; c’est-à-dire, que les signes seroient les mêmes dans les formules du nouveau système que dans celles qui auroientété préalablement trouvées pour le système A'B'C'D' que nous venons de considérer.

8y. Deux droites qui se coupent forment quatre angles différens , qu’il est très-essentiel de ne pas confondre lorsque l’on fait la comparaison de deux ou plusieurs ligures corrélatives; c’est pourquoi je vais m’occuper ici de la manière d’indiquer la distinction de ces angles dans le calcul.

D’abord, j’indique la direction d’une droite, en nommant deux points quelconques de cette droite, et mettant pour premier en ordre , celui qu’on suppose avoir tracé la ligne par son ‘ 12

mouvement. Ainsi (fig. 1 1) le point m étant supposé avoir décrit une droite par son mouvement , en allant de m vers n , mn indique ce que j’appelle la direction de cette droite , et m , ce que j’appelle son premier point ou point générateur, nm , au contraire, désigne la direction diamétralement opposée.

Je dis que deux droites sont tracées dans le même sens, lorsqu’elles sont parallèles , et que de plus, on peut faire coïncider leurs directions , en imaginant que l’une des deux se meut parai- , lèlement à elle-ménic de manière que son point générateur aille coïncider avec le point générateur de la seconde.

Par l’angle que forment deux droites quelconques partant d’un même point , j’entends le seul angle que forment réellement leurs directions, en prenant pour premier point ou point générateur de cliacune d’elles , celui qui leur est commun. Ainsi en supposant que nn, pp' , ae croisent eu un point m, et que je veuille désigner l’angle nmp, je dirois l’angle formé par rnn , mp,

et non pas l’angle formé par mn et /j/n; ni l’angle formé par nm

et mp-, et je l’écrirai ainsi (83) nmp, ou mn mp.

Au moyen de cela , les quatre angles formés par les droites nn, pp', seront facilement distingués , puisque d’après la no-

tion précédente, on aura nmp =4= mn mp, nmp =4= fnn mp ,

pmn-^mp mn , pmn ^mp mn.

Puisque les angles opposés au sommet sont égaux , on a, par

exemple , nmp = p'mn , et par conséquent mn mp — mp' mn . Ainsi ces deux angles sont identiques quant à leurs valeurs absolues, mais non quanta leurs positions.

Deux angles adjacens , au contraire, sont supplémens l’un

de l’autre. Ainsi l’on a mn mp = a-v -^mn^mp,en nommant » le quart de la circonférence ou l’angle droit.

Au lieu de désigner les angles piécédens comme on. vient de le dire, en partant toujours du point d’intersection m , on peut

généraliser l’expression comme il suit. Pour désigner l’angle nw/?.

Il lî r O s I T I O N. n'

on écrira en général n n p'p^ en prenant n à Tolonlc sur la direction de mn , et p h Tolontc sur la direction de mp ; de manière cependant que les directions n'n , p'p soient les mômes que mn, mp. Ainsi les quatre angles formés par les deux droites nn , pp', seront distingués le» uns des autres comme il suit :

nmp=^n n pp^nmp^^nn pp,pmn^pp nn,pmn^ppnn.

J’étends ces notions au cas où les droites comparées ne seroient pas dans un même plan; alors j’appelle angle formé par ces deux droites, celui qui nuroit lieu entre deux autres droites menées respectivement dans le sens de chacune des premières d’un jioint quelconque pris dans l’espace.

Ainsi , en général , deux droites quelconques tracées dans l’espace étant désignées par AB , CD , l’angle qu’elles formeront sera désigné par AB CD , l’angle égal qui lui est opposé au sommet par B A DC; et les deux angles supplémentaires qui sont aussi égaux entre eux, par AB DC et BA CD , on aura donc toujours, en nommant ■* l’nngle droit : AB CD = BA DC;

Âb'dC=BA^CD; AÊ'CD+ÂB''D5=2^;ÂirCD+B^

Toutes ces équations se forment évidemment par un simple mécanisme dans l’arrangement systématique et la transposition des lettres, et ce mécanisme, Icrnsqu’il est devenu familier, dispense de porter si souvent les yeux sur le tracé de la figure : or l’on sait que c’est un des grands avantages de l’analyse , qu’une fois les quantités désignées par des lettres ou caractères quelconques, on n’a plus à s’occuper de la chose môme représentée, mais seulement de son symbole.

Quant aux angles formés par des plans quelconques, il est clair qu’on peut leur appliquer encore les mêmes notions, en désignant ces plans par des droites menées dans ces mômes plans respectifs, d’un point de leur intersection commune, perpendiculairement à cette môme intersection.

88. Comme nous aurons souvent à parler des angles que forment les côtés d’un polygone entre eux ou avec des lignes fixes prises pour termes de comparaison , il est nécessaire de donner à ce sujet les explications convenables pour prévenir toute équivoque.

Il est reçu , qu’en partant simplement des angles d’un polygone, on entend toujours ceux que forment deux à deux les côtés adjacens , en prenant pour premier point de chacun d’eux , celui qui leur est commun. Ainsi dans le polygone ABCDE

(fig. 12) les angles du polygone sont AB AE , BA BC , &c.

Mais il faut distinguer ces angles dits du polygone de ceux que nous appellerons angles formés dans le sens du périmètre , soit par ces cotés entre eux, soit par ces mêmes eôlés avec une ligne fixe prise pour terme de comparaison.

Pour ceux-ci, il faut concevoir qu’un point mobile partant d’un des sommets du polygone comme A , décrive ce polygone en suivant toujours le même sens du périmètre , jusqu’à ce qu’il soit revenuau sommet d’où il étoit parti. Alors on attribue à chacun des côtés la direction du point décrivant; et l’angle que forment les directions de deux côtés quelconques , pris ainsi) s’appelle angle formé dans le sens du périmètre. Ainsi, par exemple, l’angle formé dans le sens du périmètre par les

côtés qui se coupent au point B, n’est pas ABC, qui est l’angle du polygone; mais celui A'BC qui est formé par les directions

AB , BC', ou ÂB^BC = a*— BA^.

On voit donc que dans un polygone qui n’a point d’angles rentrans, l’angle formé dans le sens du périmètre est le supplément de l’angle du polygone , ou qu’il est ce qu’on nomme l’angle extérieur.

La distinction que nous venons de mettre entre l’angle du polygone, et l’angle formé dans le sens du périmètre, a lieu pour toutes les espèces de polygones ; soit que les angles soient tous saillans,soit qu’il y en ait dercntrans,soit enfin que le polygone soit plan ou gauche, c’est-à-dire, que tous ses côtés soient

DEPOSITION. 9î

on ne soient pas dans un même plan. De plus, les angles, formés par deux côtés s’entendent également , soit des côtés adjacens, soit de ceux qui sont séparés par d’autres , et qui par conséquent peuvent n’êire pas dans le même plan.

L’angle formé dans le sens du périmètre par les divers côtés du polygone, et une droite quelconque fixe prise pour terme de comparaison , s’entend de celui qui auroit lieu si l’on imaginoit par le premier point ou point générateur de celte droite fixe, une autre droite parallèle à ce côté et tracée dans le mêtiie sens que l’on suppose être celui du périmètre. Ce sens du périmètre est choisi à volonté ; mais une fois déterminé , il doit être le même pour tous les côtés du polygope, de même que la ligne fixe prise pour terme de comparaison.

On peut prendre pour ligne fixe l’un quelconque des côtés même du polygone ; mais alors , il faut toujours regarder comme distincte la direction de cette ligne considérée en tant qu’elle est prise pour terme de comparaison, d’avec celte même ligne considérée en tant qu’elle forme l’un des côtés du polygone ; car on peut changer le sens du périmètre, sans changer celui de la ligne fixe, et réciproquement. Ainsi celte ligne fixe et le côté du polygone sur lequel elle est prise , peuvent se trouver à volonté, ou dans un même sens , ou dans des directions diamétralement opposées.

8g. Lorsque noos parlerons dans la suite de l’angle formé par les côtés du polygone, soit entre eux, soit avec d’autres lignes fixes , nous entendrons toujours l’angle du polygone , c’est-à-dire , l’angle formé par ces deux lignes , en prenant leur point d’intersection pour le point générateur de chacune d’elles ; et lorsque nous voudrons désigner l’angle formé par ces lignes dans le sens du périmètre , nous en avertirons expressément.

go. S’il s’agit des angles fonnés par deux faces consécutives d’un polyèdre , on concevra par un point quelconque de l’arrête commune , deux pcrpcndiciriaires tracées , l’une dans la pre-

9i GEOMETRIE

jnière face, l’aulre dans la seconde. L’ungle formé par ces deux

droites en prenant le point d'inicrseelton pour point générateur

de chacune d’elles, .sera l'angle du polyèdre , et son supplément

sera l’angle formé par ces deux faces dans le sens de l’aire du

polyèdre.

Ou ce qui revient au même, on dislinguera la paroi intérieure du polyèdre de sa paroi ejctérieure. L’angle formé par les deux parois intérieures , en prenant pour ligne génératrice leur intersection commune, est l’angle du polyèdre, et son supplément est l’angle formé dans le sens de l’aire du polyèdre.

On peut rendre cela plus sensible à l’imagination , si l’on conçoit, par exemple, que la paroi intérieure du polygone est de couleur blanche, et les faces extérieures de couleur noire; que déplus, chaque face indéfiniment prolongée conserve la même couleur du meme côté dans toute son étendue; car alors l’angle dit du polyèdre , est celui qui est formé par les faces blanches , en prenant leurs intersections communes pour ligne génératrice de l’une et de l’aulre; et l’angle formé dans le sens de l’aire du jiolyèdrc , est celui qui est formé par la face blanche de l’une et la face noire de l’autre, en supposant toujours que ces couleurs soient prises consécutivement et sans être interrompues par les plans, et que leurs intersections soient les lignes génératrices des surfaces comparées.

De celle manière, on concevra plus facilement ce que c’est que l’angle formé par deux faces non 'consécutives , soit celui du polyèdre, soit celui formé dans le sens de l’aire du polyèdre. Il en sera de racine des angles forméi par les faces du polyèdre et un plan fixe quelconque pris pour terme de comparaison. On attribuera à l’un quelconque des côtés de ce plan fixe indéûni la couleur blanche, et à l’autre la couleur noire : alors on entendra par les angles que forme chacune des faces avec le plan fixe , celui qui sera compris entre leurs surfaces blanches non interrompues par les plans, et en prenant leur intersection commune pour ligne génératrice , et les angles formés par ces faces avec le plan fixe dans le sens de l’aire du polyèdre , seront ceux

DEPOSITION. O'i

compris entre la surface blanche du plan et les faces noires du polyèdre.

Au reste, de quelque manière qu’on explique ces distinctions, elles sont indispensables, pour éviter de confondre les angles dont on veut parler avec leurs supplémens.

Voyons maintenant sur quelques exemples, l’usage qu’on peut faire des caractéristiques ou signes de convention expliqués ci-dessus, à l’effet d’exprimer les rapports de position qui existent entre les diverses parties d’une meme ligure, et ceu.x de diverses ligures corrélatives entre elles.