PROBLÈME II

^1, Etablir les corrélations de construction et de position qui existent entre deux triangles ABCD, MNPQ, (üg i5 et i6) dans chacun desquels est une perpendiculaire AD,MQ,aôawséc de l’un des angles sut‘ le côté opposé.

Prenons pour terme de comparaison la figure ABCD, et

écrivons *

écrivons de suite dans l’ordre de la construction les quatre points A,B,C, D, qui déterminent la première ligure; c’est-à-dire, d’abord dans un ordre quelconque, les trois sommets A, B, C, en commençant , par exemple , par le point A , puis B , puis C , et enfin le point D, où la perpendiculaire tombe sur le côté

opposé BC. ‘

Ecrivons au-dessous les lettres correspondantes de la figure corrélative MNPQ; c’est-à-dire, en suivant le môme ordre de construction, ou commençant par le point M duquel la perpendiculaire est abaissée , puis N , par exemple , puis P , et enfin Q, où la perpendiculaire tombe sur le côté opposé , comme dans la figure primitive.

Cet arrangement nous donnera évidemment la corrélation d® construction des deux figures comme il suit :

i" syst ABCD

a' syst MNPQ

Au lieu de faire correspondre N à B et P à C, nous aurions évidemment pu faire correspondre PàBetNàC;ce qui donne deux manières d’établir cette corrélation de construction ; et c’est au calculateur à choisir celle qui va le plus directement à son but dans chaque cas particulier.

La corrélation de construction ainsi établie , celle des valeurs absolues s’ensuit sans difficulté, puisque les parties corrélatives des deux figures sont évidemment déterminées par les points correspondans.

Il reste donc à établir la corrélation de position, ou ce qui revient au môme , celle des signes ; mais dans les deux figures comparées , il est clair que les points corespondans sont rangés dans le même ordre sur leurs lignes respectives. La corrélation est donc directe, et par conséquent, les formules qui exprimeroient les propriétés du premier système, seroient applicables sans aucun cliangcmcut de signes au second, et il n’y auroit , pour cfTectucr cette application , qu’à substituer dans ces formules les valeurs absolues du secondé leurs correspondantes du système primitif, pourvu que dans le calcul , on uo

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fasse réellcmcnl entrer que les quantités qui font partie cIc chacun de ces systèmes.

Mais si dans le système corrélatif, la perpendiculaire ne lom- * boit pas comme dans le système primitif entre les points qui correspondent à B et C; si par exemple le système corrélatif devenoit M'N'P'Q'(Cg. 17) les points correspondans neseroient plus rangés dans le inêmqiordre sur leurs lignes corrélatives, ainsi la corrélation scroit indirecte. Pour la trouver, j’établis d’abord la nouvelle corrélation de construction qui sera ,

i''syst A B C D

a' syst M'N'P'Q'.

Ensuite , pour faciliter mon opération , je trace une non vc lie ligure (fig. 18) pareille à M'N'P’Q', à laquelle j'adapte les mêmes lettres qu’à la ligure primitive, seulement accentuées, pour conserver leur distinction , quoique sous mêmes dénominations. La corrélation de construction deviendra donc.

i"syst A B C D

a' syst A' B' C' D'.

Et c’est entre ces deux systèmes qu’il s’agit maintenant d’établir la corrélation de position ou des signes ; mais c’est ce qui a déjà été fait (86).

Il ne reste donc plus, pour achever l’opération, qu’.à remettre dans le tableau trouvé (86) pour les lettres A', B', C', D', celles dont on leur a fait tenir la place, c’est-à-dire, M', N', P, Q'; donc enfin la corrélation cherchée entre les triangles ABCD, M'N'P'Q' &c.

3"syst....J^^^ +Âc,-bBC, -HRD,-HCD,-fÂD,-p BAC, 2' syst.. . . 1 -t- aTN', + ÂÏT', + NT',-t- N Q',— FQ^, + ÂTq', N'M P', + ABC, -f ACD, + B.AD, + CAJj, -|- ABC , + ABU , -f-~ÀCD + M'N'P' -b M P Q' -b N'M Q'- P'M Q'-b M'KQ'— M P Q~.

Ce tableau exprime donc les substitutions qu’il faut faire dans les formules qui donnci oient les propriétés du système primi-

tif ABCn , pour les rendre applicables nu syslcmc indircctüinent corrélatif M'N'P Q'.

Cj.O, On voit par ce tableau, que parmi toutes les quantités qui composent le système M'N P’Q', il n’y en a que trois qui deviennent inverses ou dont les valeurs changent do signes,

savoir P Q', P'M'Q', M P Q'; donc si l’on construit une nouvelle ligure ( fig. ig) absolument pareille à M'N'P'Q', et qu’on y place les memes lettres A , B, C, D qiio dans la figure primitive, chacune à la place de sa correspondante , il n’y aura, pour appliquer les formules de celte figure primitive ABCD (fig. t5)n la figure indirectement corrélative ABCD (fig. 19) , qu'à changer

dans CCS formules les signes des trois quantités CD, CAD,

ACD (a5).

. Lorsqu’une fois on aura par le simple changement de signes de ces trois quantités , les formules applicables au second système ABCD (fig. 19), il sera facile de trouver celles du sjs* tôme M'N'P'Q', puisque celui-ci et ce second système ABCD (fig. 19) se Irouv.anl alors en corrélation directe entre eux , il n’y aura pour appliquer les formules de l’un à l’antre , aucun changement de signes à faire, mais seulement à substituer les valeurs absolues du second à celles du premier, c’est-àtllre , les points de l’un aqx points correspondans de l’autre , sans aucun changement dans les signes.