SECTION VI

De la détermination d'un point dans l'espace , et du changen}ent de ses coordonnées^

363. To üTE ligne courbe peut être considérée comme la trace que décrit un point, mu suivant une certaine loi quelconque dans l’espace. L’expression de cette loi ou des conditions auxquelles le mouvement de ce point est assujetti , est ce qu’on nomme équation de la courbe. Le but de celte équation est de rapporter la courbe à d’autres objets déjà connus et fixes pris pour servir de termes de comparaison. Aîom, suivant le choix de ces objets fixes , l’équation doit avoir différentes formes.

Comme les objets les plus simples que nous connoissions , et sur lesquels nous puissions opérer, sont des points , des lignes droites , des surfaces planes ; ce sont eux ordinairement qu’on prend pour termes de comparaison, et auxquels on rapporte à chaque instant la position du point mobile qui décrit la courbe. Les distances de ces objets fixes entre eux, se nomment constantes, de même que tontes les quantités qui sont des fonctions quelconques de ces mêmes distances , parce qu’elles restent toujours les mêmes, malgré le changement de position du mobile : mais les distances de ce mobile à ces mêmes objets fixes, changent à chaque instant, et on les nomme variables, ainsi que les fonctions qui les renferment , soit seules , soit mêlées avec des constantes.

Entre lesdivers moyens qu’on a imaginés, pour rapporter une courbe tracée sur un plan à des objets fixes , celui qui a paru être généralement le plus simple, est de tracer à volonté dans ce plan deux droites ou axes fixes , ordinairement perpendiculaires entre eux, et de chercher la relation qui, en vertu de la loi sui-

ÎQi GEOMETRIE

vanl laquelle se meut le point décrivant , doit constamment exister entre les distances de ce point aux deux axes.

Cependant cet usage de rapporter la courbe qu’on veut examiner ù deux axes fixes, n’est point exclusifj et souvent il est plus avantageux de choisir d’autres objets fixes, pour servir do termes de compai'oison. Par exemple, on prend quelquefois pour ces termes de comparaison deux points fixes , et l’on cherche la relation qui, en vertu de la loi suivant laquelle se meut lo point décrivant, doit constamment exister entre les deux distances de ce point décrivant aux deux points fi.xes : ou bien , on cherche la relation qui existe entre la distance du point décrivant à un point fixe et la distance de ce môme point à une ligne fixe : ou la relation qui existe entre la distance de ce point décrivant à un point ou pôle fixe, et l’angle que fait celte distance avec une ligne fixe. Enfin il est évident qu’on peut imaginer une multitude de manières différentes, d’exprimer ainsi la nature de la courbe, par une équation entre deux variables. Ces deux variables sont ce qu’on nomme , en général , les coordonnées. Lorsqu’on rapporte la courbe à deux axes fixes , comme nous l’avons dit ci-dcssus,on appelle, comme l’on sait, l’un d’eux axe des abscisses,ctl’autre axe des ordonnées ou des appliquées. La distance du point mobile ou décrivant à l’axe des ordonnées, s’appelle abscisse, et sa distance à l’axe des abscisses, s’appelle ordonnée ou appliquée. Mais lorsqu’on veut envisager la nature de celte courbe sous ses différens a.spects, on ne se borne point à celle manière de l’exprimer : on prend successivement divers autres termes de comparaison , et l’on cherche pour chacun de ces systèmes d’objets fixes, l’équation de la courbe, c’est-à-dire, la relation qui existe entre les deux variables ou coordonnées choisies j c’est ce qu’on appelle changer le système des coordonnées.

564. L’art de trouver les propriétés des courbes, est, à proprement parler , l’art de changer le système des coordonnées, prises dans le sens général dont on vient de parler. Carpat ce moyen l’équation qui en exprime la nature, prend autant do formes différentes qu’il se fait de changemeus; et chacune de ces

formes

DEPOSITION. 4a5

formes est ane nouvelle manière de comparer cette courbe aux objets fixes pris successivement pour lui servir de termes de comparaison.

On change le système des coordonnées d’une courbe , en exprimant celles qui entrent dans l’équation qu’on a, et qu’on veut transformer, en valeurs de celles qu’on veut introduire à leur place dans le calcul et de constantes, et en substituant ces valeurs à la place de ces coordonnées qu’on veut éliminer.

Chacune des équations qu’on obtient ainsi, fait, par sa forme, c’esl-à dire, par le nombre de scs termes, leurs signes, leurs coëlficiens, l'exposant des variables, connoitre les affections de la courbe, c’est-à-dire, ses branches infinies, ses points singuliers, la somme des racines de chacune des coordonnées correspondantes à chaque point , celle de leurs carrés , de leurs cubes, de leurs produits deux à deux , trois à trois, &c. Ensuite l’analyse infinitésimale employée sous une lurme quelconque, fait connoitre les tangentes, les normales, les rayons de courbure, les quadratures, &c. et toutes ces nouvelles quantités changeant graduellement avec le point décrivant , sont autant de variables qui, deux à deux, peuvent être prises pour coordonnées.

365. le suppose que l’équation d’une courbe n’étant pas encore connue on prenne pour coordonnées deux quelconques de ces variables correspondantes au point décrivant, considéré dans une position quelconque. En regardant ces coordonnées comme des quantités connues, il est clair qu’on pourra exprimer toutes les autres variables correspondantes au même point, en valeurs de ces deux premières seules et de constantesjetsil’on en forme un tableau, il sera facile, quand l’équation de la courbe sera trouvée, de changer comme on voudra le système de ces premières coordonnées, c’est-à-dire, d’en substituer deux autres quelconques à la place de celles dont la relation est exprimée par l’équation proposée.

En effet, je suppose que les deux coordonnées entre lesquelles existe l’équation qui exprime la nature de la courbe soient X,

4fl6 GEOMETRIE

Y ; que le tableau dont nous venons de parler donne toutes les autres variables correspondantes au point décrivant chacune séparément en valeurs de ces deux premières et de constantes, et qu’on veuille substituer aux coordonnées X, Y , deux autres coordonnées J', prises parmi les variables portées au tableau.

On prendra dans ce tableau les deux valeurs de exprimées par hypothèse chacune en X, Y ; de ces deux équations, on tirera réciproquement les valeurs de X, Y, en valeurs de *, jr, puis on les substituera dans l’équation qui est donnée entre X et Y; celles-ci se trouveront éliminées, et il restera l’équation cherchée en x et Ce qu’il falloit trouver.

366. Supposons maintenant que l’équation soit donnée entre x et^, c’est-à-dire, entre deux quelconques des variables portées au tableau , et qu’on veuille changer le système des coordonnées en y substituant deux autres variables quelconques x', y' également portées au tableau , où par hypothèse elles sont toutes exprimées en valeurs des seules variables X, Y et de constantes.

On cherchera dans ce tableau les quatre valeurs de * , y , x',y\ exprimées chacune comme on vient de le dire en X, Y; des deux dernières équations, c’est-à-dire, celles qui donnent*', y', en X et Y, on tirera réciproquement X , Y en valeurs de *', y'; puis on substituera ces valeurs dans les deux premières équations, c’est-à-dire, celles qui donnent x,y, en valeurs de X, Y, et l’on aura*, y chacune en valeurs de x',y'; il ne restera donc plus pour avoir l’équation cherchée en x', y', qu’à substituer dans celle qui par hypothèse est donnée en x, y, les valeurs qu’on vient de trouver pour ces dernières en x', y.

36'7. Si de nouvelles variables non comprises au tableau, étoient exprimées en valeurs de celles qui s’y trouvent , il seroit aisé de les y comprendre ; car il n’y auroit qu’à substituer pour ces dernières leurs valeurs, telles qu’elles sont portées au tableau , dans l’expression de ces nouvelles variables.

Pour ajouter, par exemple, au tableau où plusieurs variables,

Boni exprimées toutes en valeurs de X , Y , les carrés , les cubes , les puissances ou racines quelconques de ces variables , leurs produits deux à deux, trois à trois, &c. , leurs quotients, en un mot , les fonctions quelconques d’une ou plusieurs d’entre elles, il n’y a qu’à mettre dans ces fonctions, à la place do chacune des quantités qui y entrent, son expression en valeurs de X et Y , telle qu’elle est portée au tableau.

Par exemple encore , la soutangcnte , la normale , le rayon de courbure , l’aire de la courbe , &c. sont au nombre des variables. Je suppose donc qu’on ait l’expression de chacune d’elles en valeurs des deux coordonnées quelconques X et Y, par lesquelles toutes les autres variables sont déjà exprimées ; on pourra les ajouter de suite au tableau ; mais si elles sont exprimées seulement en valeurs de deux autres variables x portées au tableau , il faudra commencer p.ar substituer dans ces expressions des nouvelles quantités qu’on vent |>orterau tableau, au lieu de x ety leurs valeurs en X , Y ; par ce moyen , ces nouvelles variables se trouveront exprimées immédiatement en X, Y , et pourront par conséquent être portées au tableau.

368. Supposons enfin que •*•', y® soient deux nouvelles variables, qu’elles soient exprimées en valeurs de deux quelconques y', de celles qui sont portées au tableau , et qu’ayant l'équation entre deux autres également portées au tableau , on veuille avoir l’équation en on pourra opérer comme if

suit. .

On tirera d’abord des valeurs de données par hypothèse en valeurs de x', y', celles de x', y, en valeurs de x",y* ; cela fait , on cherchera au tableau les valeurs de x,y , x',y' en valeurs de X , Y; de ces deux dernières expressions, on tirera réciproquement X, Y, en valeurs dex',y', et l’on substituera ces valeurs dans les deux premières ; c’est-à-dire , dans les expressions de x , y , en X , Y; par ce moyen , on aura x ,y en valeurs de x',y'; on les substituera dans l’équation de la courbe , qui se trouvera ainsi avoir lieu entre x',y'; mais on a commencé par trouver les valeurs des variables x', y', en x', y" ; substituant donc les

4j8 GEOMETRIE

valeurs dans l’équation en qu’on vient d’obtenir, on aura celle qu’on cherche en x%j’, ce qu’il fulloit trouver.

36g. L’imperfection de l’analyse ne permet pas toujours d’exécuter les opérations qu’on vient d’indiquer; ni par conséquent, d’exprimer chacune des variables, en valeurs des coordonnées qu’on a choisies, pour servir de termes de comparaison à toutes les autres variables. Alors on est obligé de se borner à une équation non résolue entre les deux coordonnées prises pour servir de termes de comparaison , et celle qu’on voudroit porter an tableau. Souvent même on est obligé de se contenter d’une équation différentielle , où ces trois variables se trouvent combinées d’une manière quelconque.

Si, par exemple, la courbe étant rapportée à deux axes perpendiculaires entre eux, et les coordonnées étant , on vouloit former un tableau où diverses autres variables fussent toutes exprimées chacune en valeurs de x,y, il pourroit se faire que l’une de ces variables comme z, ne pût être trouvée en valeurs de x, etjy, sans qu’on eût à résoudre une équation d’un degré supérieur, ou sans qu’on eût à intégrer une équation différentielle qui échape aux méthodes connues d’intégration ; alors il n’est pas possible de porter z au tableau. On se contentera donc, dans ce cas, de porter au tableau l’équation supérieure ou différentielle qui exprime le rapport de x ,y, z. C’est ce qui arrive, par exemple, lorsqu’on veut comprendre dans ce tableau les tangentes, les normales, les rayons de courbure, les surfaces des courbes , &c. dont nous avons parlé ci-dessus; puisqu’on ne peut en avoir l’expression générale en valeurs des coordonnées «, J', que par des formules différentielles.

5 J O. Supposons que le tableau général soit formé ; il appartiendra indistinctement à toutes les courbes possibles, puisqu’il est formé avant que l’équation de celle qu’on veut examiner en particulier soit connue. Maintenant , pour en faire l’application à telle ou telle courbe proposée ; prenons son équation : on pourra en tirer l’une quelconque des deux coordonnées en valeur de l’autre et de constantes.

On ponrra donc éliminer à volonté l’une des deux du tableau , en substituant à sa place son expression en valeur de l’autre et de constantes. Ce tableau donnera donc alors toutes les variables du système exprimées chacune en valeurs d’une seule des coordonnées et de constantes. Il sera donc facile, en prenant cette coordonnée pour terme de comparaison entre toutes les autres variables, de comparer celles-ci deux à deux, ou de trouver l’équation qui existe entre elles; c’est-à-dire, de les prendre pour nouvelles coordonnées.

Syi. Soit (fig. iSa) une courbe quelconque ; M le point mobile qui est supposé la décrire : prenons à volonté dans le plan de cette courbe un point A pour origine des coordonnées;

traçons une droite quelconque AB pour axe des abscisses ; et du point décrivant M, abaissons sur AB la perpendiculaire MF.

AP sera donc l’abscisse correspondante au point M, et MP l’appliquée. Ce sont donc déjà deux variables , dont la relation rendue algébriquement , peut exprimer la nature de la courbe.

Maintenant concevons par le point M une tangente. Cette tangente, la soutangente, la normale, le rayon de courbure, correspondans au même point M , seront également autant de variables, qui deux à deux pourront être prises pour coordonnées, au lieu de l’abscisse et de l’appliquée. Car la nature de la courbe est aussi complètement définie par l’équation qui existe, par exemple, entre la normale et le rayon de courbure, que par celle qui existe entre l’abscisse et l’appliquée.

Menons de plus, du point fixe A le rayon vecteur AM; ce

rayon vecteur, et l’angle M AB seront de nouvelles variables, qui, ainsi que les premières, pourront être prises pour coordonnées.

■ Prenons encore à volonté sur AB un second point fixe , pôle OU foyer B 3 et menons BM, les angles MBA, FMB, AMB, la droite PB, les aires AMP, BMP, AMB, seront encore

43o GEOMETRIE

autant de nouvelles variables correspondantes an même point M ; lesquelles avec les premières, pourront également, deux à deux, être prises pour coordonnées.

Enfin concevons que parles points A, B, M, on fasse passer la circonférence d’un cercle, qu’on prolonge MF jusqu’à celte circonférence en II, qu’on mène les deux droites AU , B II puis les perpendiculaires AG, BF sur MB, MA, et qui se croisent au point D , de l’appliquée MP, que du point M on mène un diamètre MH' au cercle, puis une droite AIH* qui coupe

l’angle AMB en deux parties égales; qu’on fasse la même cliose aux angles A, B, II , &c. les angles , les droites et leurs segmens qui résulteront de ces diverses constructions , seront autant do variables correspondantes au même point M, et dont les relations exprimées , en les comparant deux à deux , donneront autant d’équations propres à exprimer chacune en particulier, la nature de la courbe, aussi bien que celle qui existe entre l’abscisse et l’appliquée.

3 7 3. Il est évident qu’on peut augmenter indéfiniment par de nouvelles constructions, -le nombre de ces variables correspondantes au même point M, et par conséquent le nombre des équations par lesquelles on peut exprimer, d’une manière équivalente, la nature de la même courbe : or c’est ce passage de l’une de ces équations à l’autre , qu’on nomme en général la transformation des coordonnées, prise dans le sens le plus étendu. Chacune de ces équations, quoique implicitement la même que chacune des autres, peut en différer assez par la forme, pour que l’identité soit difficile à appercevoir ; alors elles expriment ce que l’on nomme les diverses propriétés de la courbe. Ainsi l’art de découvrir les propriétés des courbes, n’est proprement, comme on l’a déjà dit, que l’art de changer le système des coordonnées. Je me propose d’appliquer ici à quelques exemples , les principes que j’ai exposés ci-dessus , sur les moyens d’opérer ce changement suivant les différens cas.

DEPOSITION. 43i

D’après l’usage établi de rapporter le plus .souvent les courbes à des axes fixes , en prenant pour coordonnées les droites qu’on nomme abscisses et appliquées, le problème qui sc présente le plus naturellement à résoudre, et olTre en efiet les résultats les plus importans est celui-ci , dont la solution est très-<onnue, et dont je ne parlerai qu’aulant qu’il sera nécessaire, pour démontrer quelques nouvelles conséquences que je dois en déduire.

PRUEI.ÊME nxi.

5 "3. Une courbe étant supposée rapportée à deux axes fixes , par une équation entre les abscisses et des appliquées respectivement parallèles à ces axes ; transformer ce système de coordonnées , de manière que la nouvelle équation ait lieu entre des abscisses et des appliquées, respectivement parallèles à deux nouveaux axes donnés.

Soit M (fig. i55) le point décrivant, A l’origine des premières coordonnées , A P l’abscisse, MP l’appliquée, a l’origine des

nouvelles coordonnées, ap la nouvelle abscisse, Mp la nouvelle appliquée.

Je prolonge au besoin les deux axes des abscisses AP, ap,

jusqu’à ce qu’ils se coupent au point Q , et les appliquées MP ,

Mp, jusqu’à ce qu’elles coupent aussi ces axes des abscisses en R , r, respectivement ; cela posé ;

Je commence par distinguer les variables des constantes. Il

est clair d’abord que AP , MP , ap, Mp, dépendent de la position du point décrivant M , et sont par conséquent variables; qu’au contraire, les directions des quatre axes, savoir les deux premiers et les deux nouveaux , étant toutes indépendantes de la position de ce môme point M, sont ce qu’on nomme constantes. Que par conséquent, les quatre angles du quadrilatère MPQp

sont tous constans, ainsi que les angles MRQ, MrQ. Par la même raison , puisque les positions des points A , a « sont i: dé-

43a GEOMETRIE

pendanles de la position du point M, aussi bien que les directions des axes ÂQ , aQ , les deux droites AQ, uQ , sont aussi des constantes. Supposons donc ,

l’abscisse AP = X

l’appliquée MP = . . Y

la nouvelle abscisse ap ■= *

la nouvelle appliquée Mp = la constante AQ =

la constante uQ = a

l’angle constant MPQ = P