AE.CE

Il reste donc à trouver les angles formés par les plans deux à deux; niais c’est ce qu’on obtient facilement par la trigonométrie sphérique, dont le principe fondamental a été exposé (Ô4i). Car en considérant quatre à quatre tous les sommets du polyèdre proposé, ces quatre sommets pourront être considérés comme ceux d’une pyramide triangulaire, dont toutes les arêtes viennent d’être calculées, ainsi que les angles que ces arêtes forment entreellcs deux à deux à chacun des sommets. Considérant donc en particulier chacun de ces sommets, comme le^centie d’une sphère, les trois faces de la pyramide réunies à ce même sommet formeront sur la surface de la sphère un triangle sphérique dont les trois côtés seront connus, cl dont les angles sont préciséuienl ceux que forment ces faces deux à deux ; c’est-à-dire , les

DEPOSITION. 4n

angles cherchés. Donc on aura tous ces angles formés entre les plans du système par ce seul principe, que, dans tout triangle sphérique, le cosinus de l’un quelconque des angles est égal au cosinus du côté opposé, moins le produit des cosinus des deux autres côtés, le tout divisé par le produit des sinus de ces antres côtés.

Par exemple, dans la pyramide ÂBCE, J’angle formé au sorometEpar les deux faces EAB, EBC, se trouvera par celte équation ,

>=-- ^ cos. AEC — cos. AEB. cos. BEC . . ,

— I ainsi des

cos. EAB EBC = autres.

siu. AEB.sin.BEC

56 t. Lorsque tous les points A , B, C, D, &c. se trouvent dans un même plan , le polyèdre se réduit à un polygone. Ainsi la sol ution précédente s’applique comme cas particulier, aux polygones quelconques : cas, que nous avons déjà 'traité {Jàôj). De plus , il est clair que ce qui a lieu pour des points considérés comme sommets des angles d’un polj'gone ou d’un polyèdre, peut s’entendre de tout système de points placés , soit dans un même plan , soit dans des plans différens. Ainsi la théorie précédente s’applique à un système quelconque de points imaginés dans l’espace , quels que soient leur nombre et leur position respective; c’est-à-dire, qu’au moyen de celte théorie, on peut former le tableau général de toutes les parties, tant linéaires qu’angulaires, qui entrent dans la composition d’on système quelconque de points , joints deux à deux par des lignes droites ; toutes exprimées en valeurs de quelques-unes seulement d’entre dles, prises en nombre sulHsant, pour qu’étant supposées connues, tout le reste soit déterminé : et ce tableau est, à proprement parler, celui de toutes les propriétés de ce même système (i45). Le problème précédent peut donc être considéré comme le problème gcnér.al de la géométrie des lignes droites et surfaces planes prise dans sa plus grande universalité.

.562. La formation des tableaux expliquée dans le cours de cet ouvr.age, est aussi bien applicable aux procédés de la géomé-

GEOMETRIE trie dite analytique , qu’à ceux de la trigonométrie. Pour les appliquer, par exemple, à la reoherclie des propriétés de la pyramide par les procédés de la géométrie analytique, on imaginera dans l’espace, trois plans quelconques perpendiculaires entre eux. Alors supposant que soient les trois coordon-

nées de l’un des sommets, x',y, z', celles d’un des autres, &c. , on se proposer!^ d’exprimer toutes les quantités tant linéaires qu’angulaires, qui entrent dans le système de cette pyramide; en valeur des seules quantités x , z, x', y, z', y", x", z", &c. et de toutes ces expressions, on composera le tableau cherché.

Il est clair qu’il ne faut que six choses pour déterminer la py rare ide; et cependant le nombre des quantités x ,y y z, x', y\ &c. est de douze. Mais il faut observer que sur ces douze il y en a six d’arbitraires , qu’on peut déterminer, soit immédiatement, soit par des conditions quelconques ; parce que la position des trois plans auxquels on rapporte le système étant arbitraire, il faut) pour la déterminer, fixer à volonté six des quantités «,>■, z, &o. qui expriment les distances des sommets de la pyramide à ces plans.

Dans les résultats des calculs, c’est-à-dire, dans les formules générales qu’on en tire, les quantités arbitraires dont on vient de parler, se trouvent ordinairement des facteurs communs à tous les termes, et disparoissent ainsi d’eux-mèmes, sans qu’il soit besoin de leur attribuer des valeurs déterminées. Mais il est aussi des cas où l’on simplifie le calcul , en déterminant ces valeurs convenablement à l’objet qu’on se propose. Je suis convaincu que la formation des tableaux ainsi combinée avec les procédés de la géométrie analytique , seroit extrêmement féconde en résultats curieux et utiles ; et je pense , comme je l’ai déjà manifesté , que la théorie dont on trouve ici un essai, peut être appliquée avec un succès égal à toutes les branches dc$ sciences mathématiques et physico -mathématiques.