AS
l’angle constant MpQ p
l’angle constant MHQ= R
l’angle constant MrQ = r
l’angle constant PQ/a = q
Puisque dans tout quadrilatère chacun des côtés est égal à la somme des trois autres côtés, multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec le premier, nous aurons ces deux équations pour le quadrilatère MPQ/a :
PQ ou AQ— .AP ou A — X= Y . cos P . cos.r + (»— -o)cos. ÿ] , » v
et — a=j'.cos.^+Y.cos.R+(A-X)co8.9]
Equations dans lesquelles X , Y , , ne montent toutes qu’au
premier degré : c’est-à-dire , ne sont ni élevées à un degré supérieur au premier, ni multipliées l’une par l’autre. Donc si j’en tire les valeurs de X , Y , en a: , , et constantes ; elles seront de cette forme :
X =/*+/»^ + A ; Y = f'x+gy-k-h'.
ftgy h, f, g', h’, étant des constantes faciles à déterminer, en «ficctuant le calcul ci-dessus indiqué.
Donc
Donc quelle que puisse être l’équation de la courbe en X , Y; lorsqu’elle me sera donnée, je la transformerai conformément aux conditions du problème , en une autre enx ,jy , par la substitution des valeurs trouvées ci-dessus pour ces variables X, Y, dans l’équation qui me sera donnée entre ces mêmes variables. Ce qu’il falloit trouver.
Il n’est pas nécessaire , pour mon objet , que le calcul indiqué ci-dessus soit cfFectuc; il me sulüt que par le résultat trouvé, il soit évident que l’équation transformée, ne moulera pas à un degré plus élevé que l’équation donnée : et c’est ce qu’on voit, puisque les deux équations finales qui donnent X, Y , eu x,y , ne sont l’une et l’autre que du premier degré.
11 est à remarquer que des quatre angles constans P , p , R , r , trois quelconques étant donnés, le quatrième est déterminé; car les triangles PQll , pQr , ayant un angle égal Q , on a , P — Il = P — r,' au moyen de oetle équation de condition eulrc P, r, on pourra éliminer des formules (A) trouvées ci-dessus, celui des quatre qu’on voudra.
5 y 4. Soit entre les coordonnées x,y, une équation du degré m y il est évident qu’on pourra la mettre sous cette forme Fx“ + G y’" + Z+K = o, F, G, étant des constantes, Z l’assemblage de tous les termes où x et y se trouvent élevées chacune à un degré moindre que m, et K le terme tout constant.
Cela posé , je cherche ce que devient l’équation lorsque * = o. Il est clair que le premier terme s’anéantit , ainsi que tous les termes compris dans Z , où entre cette variable. D’équation res^ tante ne contient donc plus que y d’inconnue, et Z ne contient plus que des termes où * n’entre pas, et oùj' est élevée à des degrés inférieurs à m. Donc l’équation pourra être mise sous
cette [ormey’'+—+~ = o, dans laquelle Z' exprime la collcc- G G
lion de tous les termes de l’équation proposée , où * n’entre pas , et qui renferment les puissances de y , inférieures à y”. Donc par la théorie générale des équations, la valeur absolue du produit de toutes les racines dej', c’est-à-dire, de toutes les appli-
quées qui r<?pondent à ^ = o, ou à l’origine des coordonnées , K
est-.
Par un raisonnement semblable, on voit qu’à celle même origine des coordonnées, la valeur absolue du produit de toutes les
jf
abscisses est — ; donc à l’origine des coordonnées, le produit des
appliquées est au produit des abscisses, comme — est à — , ou
comme F esta G; c’est-à-dire, en raison inverse des cociücicns qui iniiltiplicnt les puissances respectives de ces coordonnées, marquées par le degré de l’équation.
3j5. Supposons maintenant, que sans changer la direction des axes, on transporte seulement l’origine en un autre point quelconque du plan où est tracée la courbe : cela s’exécutera, d’après ce qui a été dit ci-dessus, en mettant simplement dans l’équation, *'+«, àla place dex, et^'+^, à la place dej',- s et t étant des constantes. Mais par cette substitution dans l’équation Fx“ + Gj'" + Z + K = o } il est évident qu’elle devient Fx “+ G y'"+Z"+K' = oj F et G rcstantles mêmes que dans l’équation proposée , Z elK pouvant seuls changer. Or de celte nouvelle équation, on déduira, comme ci-dessus, que le produit des appliquées est à celui des abscisses comme F est à G. Donc ce rapport ne change pas, quoiqu’on transporte ailleurs l’origino des coordonnées, pourvu que leurs directions restent les mêmes; c’est-R-dire toujours parallèles à leurs premières positions : principe connu et très-important dont nous avons déjà parlé.
3y6. Maintenant (6g. i54) menons dans le plan d’une
courbe un axe quelconque AA' des abscisses, et diverses appliquées toutes parallèles entre elles, mais coupant l’axe des abscisses sous un angle quelconque. Nommons abscisses naturelles
correspondantes au point P, les segmens aP, o'P, a' P, Scc. interceptés sur cet axe , entre la courbe et l’appliquée qui croise la ligne des abscisses au point P ; pareillement, abscisses
naturelles correspondantes au point p , les scgmens ap , a'p , a'p, Scc. ; tandis que les abscisses proprement dites correspondantes aux points P, p, sont simplement AP, Ap; A étant l’origine des coordonnées, qui est prise a volonté. Cela posé , noos pourrons exprimer comme il suit , le principe démontré ci «dessus.
Dans toute courbe géométrique , les produit des abscisses naturelles sont entre eux comme les produits des appliquées correspondan tes.
Car nous avons prouvé , qu’en prenant successivement P,p, pour origine des coordonnées , les produits des abscisses correspondantes à ces deux origines respectivement, sont entre eux comme les produits des ordonnées correspondantes.
Ôyy. Les mûmes raisonnemens pouT-ant s’appliquer à toute surface courbe , nous pouvons en conclure , que
Si ayant une surface courbe quelconque géométrique , on prend à volonté, dans l’espace , deux points A , B ; qu’on mène par ces points deux droites ou transversales parallèles entre elles; puis deux autres transversales aussi parallèles entre elles, mais différentes des premières : les produits des segmens respectivement interceptés entre les points A , B , par la surface , courbe sur les deux premières transversales , sont entre eux comme les produits des segmens interceptés sur les autres transversales, entre les mêmes points et la surface courbe.
Cor si par les points A, B on mène une nouvelle droite, les produits des segmens de cette droite respectivement interceptés entre la surface courbe et ces points A, B , seront entre eux , d’une part, comme les premiers produits dont nous avons parlé ci-dessus , et de l’autre, comme les seconds. Donc ces premiers produits seront entre eux comme les seconds. Ce qu’il fiiUoit prouver.
378. Soit (fig. i55) une courbe quelconque géométrique tracée dans un plan ; prenons à volonté , dans ce plan , trois
points A, B, C, et joignons ces points deux n deux par des
droites indéfiniincnt prolongées. Cela pose, représentons par
( A'B) le produit des seginens interceptés sur AB entre le point A et les différentes brandies de la courbe , par (B'A') celui des seginens interceptes sur celle même droite , entre le point B et les différentes branches de cette courbe ; pareillement ,
par ( A'C' ) , les produits des segmens interceptés sur AC, entre le point A cl les branches de la courbe ; par (C'A') , le produit des segmens interceptés sur la même ligne entre le pointe et les branches delà courbe; enfin, par (B'C‘) le produit
des segmens interceptés sur BC, entre le point B elles branches de la courbe, cl par (C'B'), le produit des segmens interceptés sur la même ligne BC, entre le point C et les branches de la courbe. Je dis qu’on aura
Pour le prouver, menons par l’angle A, par exemple, la
transversale AK parallèle à BC, et nommons, d’après le même principe de notation que ci-dessus, (A'K') le produit des segmens , interceptes sur AK entre le point A et les différentes branches de la courbe. Nous aurons , pur la proposition établie précédemment (3y5) ;
Multipliant ces dciix proportions , et effaçant de part et d’autre les deux termes (A'K') qui se détruisent, ou aura
Ce qu’il falloit prouver.
Ce résultat , auquel nous sommes déj.à parvenus (aô5), par une marche très-différente , a cela de très-remarquable, qu’il ne suppose absolument rien de fixe dans les objets , c’est ii-dirc dans les points et les lignes droites auxquels on rapporte la courbe , et que par conséquent , l’équation de celte courbe ainsi V
exprimée, ne doit renfermer aucune arbitraire, mais seulement les paramèlres qui dclcrniiiicnt la forme de la courbe , et non sa position dans l’espace absolu ; il en est de meme du theorême suivant , qui n’est que ce meme principe exprimé d'une manière plus générale.
THÉORÈME 3CXXVIIJ.
5yg. Un polygone quelconque ABCDE (6g. i56) étant tracé dan H le plan d’une courbe quelconque géométrique , et ses côtés indéfiniment prolongés , soient désignés par (A'B'), (B'A') ,
les produits des segmens interceptés sur la droite AB entre chacun des points A , B respectivement , et les différentes branches de la courbe i par (B'C'), (C'B'), les produits des segmens
interceptés sur BC entre chacun des points'^, C respectivement, et les différentes branches de la courbe , par (C'D ), (D'C'), &c., on aura
En effet, par la proposition précédente , si l’on mène les diagonales AC, AD,&c. etqucd’après le système de notation adopté, on nomme ( A'C'), (C'A'), les produits des segmens interceptés
sur AC entre chacun des points A, C respectivement, et les dilfércntcs branches de la courbe (A'D'), (D'A'), les produits
des segmens interceptés sur AD, Sic. , on aura
(A'D') (D'E') (E'A') = (D'A') (E'D') (A'E'). AluUipliant toutes ces équations, et ciïaçant les facteurs qui sa détruisent, on aura la formule donnée par l’énoncé de la proposition. Ce qu’il falloit démontrer.
58o..Les memes raisonnemens ont lieu pour une surface courbe géométrique quelconque, le polygone ABCDE étant
plan ou gauche , et d’un nombre quelconque de côtés. Nous
pouvons donc établir la proposition suivante.
théoh£m:b XXXIX.
Si ayant une surface courbe quelconque géométrique, on décrit dans l’espace un polygone quelconque plan ou gauche ABCDE , et qu’ayant prolongé ses côtés indéfiniment , on désigne par
(A'R), (B'A'), les produits des segmens interceptés sur AB’ entre chacun des points A , B respectivement , et les différentes régions de la surface courbe, parifi' G') , (C' B') les produits, &c. on aura
