A'B') (B'C') (GD') (D'E') (EA
58 1 . Lorsque les côtés du polygone , ou quelques - uns d’entre eux deviennent tangens à la courbe ou à*la surface courbe, les segmens formés sur les côtés du polygone devenus tangens , se trouvent égaux deux à deux. Supposons , par exemple, qu’il s’agisse d’une section conique/'g: A il: (fig. i5j) , et que cette courbe soit inscrite dans un polygone quelconque, de manière que les points de contingence soient f, g, h, i,k { on aura, d’après le système de notation établi ci -dessus,
(A'B') = Â7‘, (B'A') = Bf‘, (B'C') = (% ) , (C-B-) =Cg\ &c. Donc l’équation deviendra , en tirant la racine carrée de chacun des deux membres, A/'.Bg.CA.Di.EA=Al:.£i.DA.Cg‘.^ Nous pouvons donc établir la proposition suivante.
THÉOnâUE XE.
Si dans le plan d’une ligne du second ordre on décrit un polygone quelconque , dont tous les côtés soient tangens à la courbe , le produit de la moitié des tangentes, c’est-à-dire des segmens interceptés sur les côtés du polygone , entre la courbe et les angles de ce polygone, comme facteurs, est égal au produit de
toutes les autres , en les prenant alternativement pour chaque produit , c’est-à-dire de manière qu’il n’en entre jamais deux dans le même , qui aient pour extrémités un point commun.
382. La même chose a Jiea éviilemment pour les tangentes du volume de la surface de révolution formée par la rotation d’une section conique, et qui formeroicnl par leur assemblage , un polygone quelconque, plan ou gauche.
385. Si le nombre des côtés du polygone se réduit à trois ; c’est-à-dire, si la section conique fgh (fig. j58)se trouve inscrite dans un triangle ABC: en menant de chacun des angles A, B, C, do ce triangle, une droite au point de contingence
opposé, on aura par le théorème précédent , Af.Bh.Cg =
Ag.Bf Ch. Donc ces trois transversales Ah,Bg, Cf, se croiseront toutes en un même point D ( 334 )• Proportion que nous avons déjà démontrée (a37), cl de laquelle il suit qu’on peut appliquer aux sections coniques les nombreuses propriétés que nous avons trouvées appartenir à un quadrilatère complet
Par exemple , en menant fg, et supposant que celte droite coupe Ah au point H, on aura (aaS) AH: DH:: AA : DA. En prolongeant g/ jusqu’à la rencontre de BC au point l, on aura Bl : Cl :: BA : CA. Ainsi des autres.
fllOBLâMB Xti.
384. L’équation d'une courbe étant donnée entre l’abscisse AP oulAp (fig. i5g), et l’ appliquée ou Ap prise parallè-
lement à deux axes AP , Ap donnés de position ; transformer ce système de coordonnées , en prenant pour coordonnées nouvelles , les deux segmens MQ , My formés par le point décrivant'M., sur une transversale ijq, menée sous un angle constant Aijq entre les deux axes proposés AB .Ap.
iio
Supposons Vabsciise AP =
l’appliquée MP = j'
la nouvelle coordonnée MQ = «
la nouvelle coordonnée My = p
l’angle donné PA p = a
l’angle donné AQy = Q
l’angle par conséquent aussi connu AyQ q
Il s’agit donc d’exprimer la nature de la courbe par une équation entre u, p; au lieu de celle qu’on a entre x, y,
Eans le triangle PQM, nous avons
MP ; MQ :: sin. PQM : sin. QPM , on ” sin. Q : sin. a. Donc ^'.sin.a = «.sin. Q. Pareillement , le triangle p'Slq donne f^.sin. q = a:. sin. a. De ces deux équations , nous lirons
p.ûn.q «.sin.Q
sin. a sin. a
Donc pour opérer la transformation demandée , il n’y a qu’.â substituer dans l’équation donnée entre x et y, leurs valeurs qu’on vient de trouv'er en u et p. Ce qu’il falloit trouver.
Celle transformation des coordonnées, ainsi qu’on le voit, ne change point le degré de l’équation. Par conséquent , si la ligne considérée est droite , l’équation entre les nouvelles coordonnées MQ , Mq, sera du premier degré; elle sera du second degré , si c’est une section conique, &c.
Au lieu de prendre pour coordonnées MQ, M^, on pourroit prendre QM, Qy. Pour cela, nommons z cette nouvelle coor-
donnée Qÿ, nous aurons z = u+i>, ou p= z — u ; il n’y a donc qu’à substituer dans la valeur trouvée ci-dessus pourt'j sa valeur z — u } ce qui donnera , au lieu des valeurs trouvées
ci-dessus pour x etj, en u et p, les suivantes en « et x.
sin.y
x = (x — «) i , ' ' sin. a
sin.Q sin. a
Cette
DEPOSITION. 44i
Celte manière de considérer les courbes , en les rapportant à deux axes üxes , et prenant les coordonnées sur une même transversale toujours parallèle à elle-même , et comprise entre ces deux axes , au lieu de les prendre sur deux droites différentes respectivement parallèles à ces mêmes axes , peut être avantageuse dans plusieurs cas, parce qu’au lieu d’un quadrilatère à considérer , elle n’offre qu’un triangle, et qu’il en résulte la facilité d’appliquer aux courbes les règles familières de la trigonométrie. On en a un exemple dans l’hyperbole ordinaire rapportée à ses asymptotes.
PROBLÈME LXIIL
ô85. Une courbe étant rapportée à deux axes fixes AB,
AC (fig. 160), au moyen des abscisses et des appliquées menées de chaque point parallèlement à ces axes soient pria à volonté sur ces axes , deux points fixes quelconques B , C , et de ces points fixes , soient menées par le point décrivant M , deux
droites BG, CF, qui coupent respectivement en G et "F les axes
AO, AB. Cela posé , on demande que le système des premières coordonnées soit changé , et que les nouvelles coordonnées soient
A F , A G , de manière que la nouvelle équation ait lieu entre ces deux nouvelles coordonnées et les constantes.
Menons M/r parallèle à AB; parallèle à AC : Ap ou
sera l’abscisse, et Aq ou Mp, l’appliquée dans le premier système des coordonnées. Supposons donc
l’abscisse Ap =
l’appliquée Mp y
la nouvelle coordonnée AF = ■ u
la nouvelle coordonnée AG = v
la droite donnée AB = b
la droite donnée AC = : c
44a GEOMETRIE
Les triangles semblables BAG, B^M donneront
ÿM : By :: AG : B A , ou x : b — y ;; v ib.
Donc bx — A vy. Par la même raison , on a par les triangles semblables CAF, CpM,
cy — eu — ux.
Tirant de ces deux équations les valeurs de x et y, on aura,
bev — cuv
oc ut>
beu — huv
Oc U V
Substituant donc dans l’équation donnée entre x , y , leurs valeurs en « et v qu’on vient de trouver , ou aura l’équation cherchée entre ces nouvelles coordonnées u, v. Ce qu’il falloit trouver.
Si au lieu de prendre AF, AG pour coordonnées , on veut prendre BF , CG en faisant BF = t , CG = x , on aura
Xf = ÂB — BF, ÂG = ÂC — CG,ou u=b~t,v^c — z. Mettant ces valeurs de u et v dans celles trouvées ci-dessus pour on aura
c't — ctz
c/+Ax — tz b'z — btz bz-^ct — tz’
rnOBIiÊMB LXIV.
386. Une courbe étant tracée dans un ■plan, prenons à volonté dans ce plan, trois points fixes A, B , C , et joignons ces points deux â deux par des droites pour fiormer le triangle ABC (160). Du point décrivant M soit menée à chacun des angles de ce triangle, une transversale prolongée jusqu’à la rencontre du côté opposé. Cela posé , la nature de la courbe étant
exprimée par une équation entre les distances AF, âG, de l’un
des angles aux intersections F, G, des côtés AB , AC adjacens
à cet angle avec les transversales CF, BG , menées des angles opposés , changer ce système des coordonnées , en y substituant
pour nouvelles coordonnées , les distances BF, BH, de l’un B des autres angles aux points d’intersections F, IL Nous avons d’abord évideramcnt ces troia équations,
ÂF==ÂB'— BF, CG = ÂC — ÂG, CÏI = BC — BH (A). De plus (aa4), nous avons
ÂF.BH,CG = ÂG.BF.CÏI (B).
Mettant dans cette dernière équation les valeurs de AF, CG, CH tirées des premières , on aura
(ÂB — Bf) BÏÎ (ÂC— Âg) = ÂG.BF (bC— BÏl) (C).
Cette équation , jointe à la preuiièro dea équations (A) , résout la question proposée ; car elles ne contiennent que les deux
premières coordonnées AF, AG , combinées avec les deux
nouvelles BF, BH et des constantes; et par conséquent, elles donnent les premières en valeurs des dernières et des constantes. Ces valeurs sont , comme on le voit ,
ÂF=: ÂB— BF,
ÂG= (ÂB — ^’) BH.ÂC.
ÂB.BÏi — BC.BF
Il n’y a donc, pour opérer la transformation demandée, qu’à substituer dans l’équation proposée , pour les coordonnées
AF, AG, les valeurs qu'on vient de trouver en BF, BH, qui
sont les nouvelles coordonnées, et les constantes AB , AC , BC. Ce qu’il falloit trouver.
FROBnéMEIiXV.
38y. Un triangle ABC (fig. 161) étant donné , concevons une courbe BMC ; telle qu’ayant abaissé du point décrivant M
une perpendiculaire MP sur le côté BC du triangle proposé , et prolongé cette perpendiculaire jusqu^à ce qu’elle coupe les deux autres côtés de ce triangle aux points q , r respectivement,
on ait MP moyenne proportionnelle entre Mq etMr. Cela posé, on demande l’équation de cette courbe en la rapportant à la
droite BC comme axe des abscisses ; et prenant le point B pour origine des coordonnées ( i).
Les coordonnées entre lesquelles existe l’équation actuelle de la courbe , sont MP, et M^.Mr, ou plus généralement
A.M^.Mr, A étant une constante, et ce produit A.M^.Mr étant considéré comme ne faisant qu’une seule et même variable. Il s’agit donc de changer ce système de coordonnées MP, h.Mq.Mr ; et de lui substituer celui des deux variables BP,
MP, dont l’une MP est commune aux deux systèmes.
J’observe d’abord , que la courbe quelle qu’elle soit , a nécessairement pour tangentes aux points B , C respectivement , les
deux côtés AB , AC du triangle proposé. Car au point où la
ixturbe rencontre AB, le segment Mq devient o. Donc MP
devient aussi o ; donc le point M est dans la ligne BC ; donc il
est le point d’intersection de AB et B C ; donc B est ce point
d’intersection. De plus, de l’équation MP = A.Mÿ.Mr, on
Mo MP . ,
tire - = — : donc la dernière raison de M y à MP est o.
MP A.Mr
(■) Ce problème n’e«t qn’un eu particnlier de ce]oi que l’on connoll août le nom de Problème de Pappue , résoin per Oescirtes ( voyez m Géométrie , livre II, partie ii). Ce problème, fameux antreiôis par sa difficnlté, n’en a plus aniourd’hoi : je ne le donne qne comme exemple do cfaangement des coordonnées , et parce qne j’ai i en tirer diverses conséqnences cnnenses que je crois n’ètre pas connues.
Donc non-scalement la courbe passe par le point B ; mais de
plus , elle a ponr tangente à ce mén e point B , la droite AB. On prouveroit par un semblable raisonnement , que la même
courbe passe par le point C , et y a pour tangente AC Cela posé , faisons
l’abscisse BP =
l’appliquée MP = y
la constante BC a
l’angle constant aSc= 6
l’angle constant ACB c
Pai donc par les conditions du problème yy = Â.M^.Mr, ou à cause de ilf » PjJ^ — y» nar = jrr — jr, j*ai
yy = A. (Pç- —y) (Pr — y) , ou ,
(i — A)yy+A.(P9’+Pr) jr — A.Pÿ.Pr= a (A).
Il reste donc à trouTCr Pg, Pr.
Le triangle ÿB/>donnePÿ=B^.tang.^Bp, ou Pjr=a;.tangA,*
et par la même raison , Pr = Ça — x) tang.c. Substituant ces
valeurs de Pÿ , Pr, dans l’équation (A) trouvée ci-dessus, on aura
(i — A)^y+A.[jf .tang. 5+(a — x) lang.cly — A.x.tang. 5.(a — x) tang. c = o.
Equation qui étant du second degré, appartient en général aux sections coniques. On peut donc en tirer diverses propriétés particulières à ces courbes.
Eu effet , il suit d’abord que dans toute section conique, si
l’on mène deux tangentes AB , AC , à deux quelconques de ces points B J C ; et qu’on joigne ces points de contingence par une
corde BC, tonte transversale perpendiculaire à BC sera telle,
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que le carré de son segment MP intercepté entre cette corde BC et la courbe, sera en raison donnée , avec le produit des seg-
inens BD , CD , interceptés entre le même point de la courbe et les deux tangentes ; car nous venons de voir qu’on peut toujours tracer une section conique qui satisfasse à cette condition. Mais on ne peut tracer qu’une seule section conique qui
soit tangente des deux droites AB, AC , aux points B , C, et qui passe en même temps par le point décrivant M; donc c’est la section conique effectivement tracée , qui seule satisfait à cette condition.
