Si la transversale rqV, au lieu d’etre perpendiculaire

à BC, avoit une toute autre direction , chacun des nouveaux segmens interceptés sur celte transversale , seroit fn raison donnée, avec celui qui avoit lieu lorsque la transversale étoit perpendiculaire ; donc , dans ce cas , le carré du segment intercepté entre B C et la courbe , seroit encore en raison donnée , avec le produit des segmens interceptés entre la courbe et chacune des deux tangentes. Donc en général ,

TUéORÉME XLI.

Dans toute section conique , si l’on mène à volonté une transversale sous une direction donnée , le carré de la portion de cette transversale interceptée entre la courbe et une corde quelconque fixe , est en raison donnée avec le produit des deux portions de cette transversale interceptées entre le même point de la courbe et les deux tangentes menées aux extrémités de la corde.

58q. Soient menées par les points B, C, deux nouvelles cordes à un autre point D : la même propriété aura lieu pour chacune d’elles. Donc si l’on nomme Y , Y', Y", les segmens de

la transversale interceptés entre la courbe et les cordes BC,

Bp, CD, respectivement, Z, Z', Z"; les segmens interceptés

sur la même transversale entre la courbe et les tangentes BA , CA, DG, respectivement, on aura

.Y Y = KZZ', Y'Y' = K'ZZ", Y" Y' = K'Z'Z”,

K , K', K' étant trois constantes ; multipliant ccs trois équations, et tirant la racine carrée, on aura

Y.Y . Y" = Z.Z'Z" V/K.K'.K"; c’est-à-dire , que le produit des trois segmcns interceptés sur la transversale, entre le point décrivant et chacun des trois côtés du triangle inscrit à la section conique, et en raison donnée avec le produit des trois segmens interceptés sur la même ti'ansversale , entre le point décrivant et chacun des côtés du triangle circonscrit , AIK.

3^0. Soit pris sur la courbe un nouveau point E, et joignons deux à deux les quatre points B, C, D, E., par des droites. Menons de plus, une tangente à chacun de ces points; il en résultera d’abord un quadrilatère inscrit BDEC avec ses diagonales ; et un autre quadrilatère circonscrit AIGH, ayant ses points de contingence aux angles du quadrilatère inscrit.

Cela posé , ces nouvelles cordes et ces nouvelles tangentes auront toutes les mêmes propriétés que celles qui composoient le triangle ABC. Donc si l’on nomme Y, Y', Y", Y", les segmens interceptés sur la transversale entre le point décrivant M et les

côtés BC, DE, BD,CEdu quadrilatère inscrit respectivement; Z, Z', Z', Z"', les segmens interceptés sur la même transversale

entre le point décrivant M et les tangentes AB , AC , G1 , GH respectivement, on aura

K, K', K', K" étant quatre constantes. Multipliant ccs quatre équations et tirant la racine carrée; on aura

Y.Y'.Y’.Y" = Z.Z'.Z'.Z'" t/K.K'.K".K"; c'est-à-dire, que le produit des quatre segmens interceptés entre

le point décrivant M , et chacun des quatre côtés du quadri* latère inscrit , est en raison donnée avec le produit des quatre scgmens interceptés sur la même transversale, entre le point décrivant et chacun des quatre côtés du quadrilatère circonscrit.

Enfin , il est évident que le même raisonnement qui vient d’être {ait sur les triangles et les quadrilatères inscrits et circonscrits à la section conique , est applicable à deux autres polygones quelconques, l’un inscrit, l’autre circonscrit, et ayant ses points de contingence aux angles du premier. Donc en général ,

THÉOBÉHE XI.il

3^1. Dan» toute section conique , si l’on inscrit un polygone quelconque , et qu’on en circonscrive un autre d’un même nombre de côtés , qui ait ses points de contingence aux angles du poly-^ gone inscrit ; qu’ensuite on mène une transversale quelconque sous une direction donnée , c’est-à dire parallèlement à un axe fixe, le produit de tous les segmens interceptés sur cette transversale, entre le point décrivant et chacun des côtés du polygone inscrit, est en raison donnée , avec le produit de tous les segmens interceptés sur la même transversale , entre le point décrivant et chacun des côtés du polygone circonscrit. i

Celte théorie fournit aussi plusieurs conséquences particu-r lières. Far exemple; nous avons trouvé (38g) pour le quadrilatère inscrit

Multiplions d’une part les deux premières, et de l’autre, les deux dernières de ces quatre équations , nous aurons Y.Y.Y'.Y' = K.K'.Z.Z'.Z'.Z"; Y'-Y'-Y^'-Y'" = K".K"',Z.Z'.Z*.Z".

Divisant ces deux nouvelles équations l’une par l’autre, tirant la racioc carrée, et mettant en proportion, nous aurons

Y.Y': Y' Y"::/ÎCk7:

' c’est-

DK F O S I T 1 O N. 44()

c'est-à-dire, que dans le quadrllalérc BDKC, inscrit à la section conique , le produit Y . Y ' des segmens interceptés sur une transversale quelconque parallèle à un axe fixe, entre le point décrivant M,et les deux côtés opposés BC, DE, est en raison donnée avec le produit Y". Y" des segmens interceptés sur la même transversale entre le point décriv'ant et les deux autres côtés

BD, CE, du quadrilatère. Propriété connue, mais qu^on peut étendre , ainsi qu’on va le voir , à des polygones cPu'n plus grand nombre de côtés. ^ .oiooi-.i ■■■■■■,

5(^2. Soit un polygone quelconque ABCDEF, (fig. iGa) d’un nombre pair de côtes, inscrit dans une seclion conique.

Menons parallèlement à un axe donné , une transversale MN , qui coupc cette courbe et tous les côtés de ce polygonc,prolongcs

s’il est nécessaire; prenons l’uii dc ces côtés AB, par exemple,

pour premier; BC pour second; CD pour troisième, &c. en suivant le périmètre du polygone , soit eniln M un des points où la courbe est coupée par la transversale. Cela posé , je dis que le produit de tous les segmens interceptés sur la transversale, entre le point M et chacun des côtés pairs du polygone, est au produit de tous les segmens interceptés entre ce même point M et les côtés impairs, en raison donnée; c’est-à-dire dans un rapport qui reste toujours le même, quel que soit le point M, tant que la transversale reste parallèle à elle-même ou n l’axe fixe. ‘

En e£fet, je suppose que le polygone soit de six côtés : je mené

la diagonale AD de manière que ABCD, AFED soient deux quadrilatères : représentons par (MA'B ) le segment intercepté

sur la transversale entre le point M et le côté AB, (MB'C') le

segment intercepté entre le point M et le côté BC , &c.

Il suit de la proposition précédente, qu’on a

(MA'B') (MC'D' = K (MB'C') (MA'D'), et (MA'F') (MD'E') = K' (ME'F) (MA'D')

45o GEOMETRIE

K et K' étant deux constantes. Multipliant en croix ces deux équations , ou aura

K' tMA'B') (MC'D') (ME'F)

= K (MB'C') (MA'F) (MD'E') ce qu’il falloit prouver.

Le principe étant prouvé par l’hexagone , se démontrera de même pour l’octogone , en le décomposant par une diagonale en deux polygones , dont l’un soit un hexagone , et l’autre un quadrilatère. Donc en général :

théorAue xliii.

3 93. Si l’on inscrit dans une section conique un polygone quelconque , d’un nombre pair de côtés , et qu’on mène une transversale parallèle à un axe fixe, laquelle coupe cette courbe et chacun des côtés du polygone prolongés au besoin : le produit de tous les segmens comme facteurs , interceptés entre un des points où la courbe est coupée par la transversale , et chacun des côtés pairs du polygone , est en raison donnée avec le pro~ duil de tous les segmens comme facteurs , interceptés entre le même point de la courbe et chacun des côtés impairs.

394. Si le nombre des côtés du polygone étoit impair, on pourroit appliquer la proposition précédente, en regardant l’un quelconque des angles de ce polygone , comme un côté infiniment petit. Ce côté infiniment petit, seroit l’élément du périmètre , et par conséquent sa direction seroit la tangente de la courbe à ce point.

396. Il est h. remarquer que tontes ces propositions s’appliquent aux polygones pris dans le sens le plus général ; c’est-àdire , par exemple , au quadrilatère pris dans l’acception générale que nous lui avons attribuée (yq ) , et qu’il en est de même de tous les autres polygones considérés avec leurs diagonales.

396. La proposition précédente est féconde en conséquences curieuses.

DEPOSITION. 45i

Soient par exemple, six points A, B, C, D, E, F, pris à ■volonté sur le périmèire d’une section conique (fig. i65) quelconque. Joignons ces points pour former l’hexagone ABCDEF.

Prolongeons les côtés AB, AF adjacens à l’angle A , et les côtés

DC , DE adjacens à l’angle opposé D , jusqu’à leurs rcnconlivs respectives avec les premiers en M, N j et menons les deux

diagonales BE, FC ; je dis que ces deux diagonales et la droite MN, se croiseront toutes en un môme point R.

En effet, soient p, ÿles deux points d’intersection de MN avec le périmètre de la courbe proposée. Soit menée à MN une parallèle quelconque mn qui coupe ce périmètre en f, g; les deux droites AM, AN, en m,n ; les deux droites DM, DN,

en s et t, et les deux dlagnnalf?» HÆ. J?G, «a r et r'. D’après la remarque; précédente (5g4), ABEDCFA, formera un nouvel hexagone, et l’on aura (3ga) fm.ft.fr' = K.fr.fs.fn, K étant une constante.

Concevons maintenant que mn se meuve parallèlement à

elle-même , et vienne se confondre avec MN ; les points s et m se confondront avecM ; les points t et n avec N , et l’équation se

réduira par conséquent à F A' = K. F A, en supposant que r, r deviennent A , A'.

Far la même raison , l’autre intersection g de MN avec la circonférence , donnera ^A' = K.^A. Multipliant en croix ces deux équations, nous aurons pA .^A = pR.ÿA'. Supposons donc AA' nous aurons pA'=pR-fx, yA'ï=ÿA — x. Substituant ces valeurs de pA', ^A' dans l’équation précédente, elle deviendra pA.yA -f ÿA.* = pA.yA — pR.x, ou

X (pA-l-ÿA) = O, ou *=o; c’est-à-dire, que rr' = o, ou que les points A , A' se confondent. Donc , en effet, les trois droites

MN , BE, FC, se croisent toutes trois en un même point. Ce qu’il fulloit prouver.

Concevons maintenant que les points A, B, C, D, E, F, se meuvent à volonté sur le périmètre de la courbe, et que l’ordre dans lequel ils étoient d’abord rangés vienne à être interverti d’une manière quelconque , la propriété n’en subsistera pas moins dans chacun des systèmes corrélatifs j c’est-à-dire, qu’en général ,

THÉORÈME XLIVi

Si sur le périmètre d'une section conique quelconque , on prend à volonté six points A , B , C, D , E, F , qu’on prolonge

au besoin les droites AB , kV, jusqu'à ce qu’elles rencontrent les

droites DC, DE, en M, N respectivement ; les trois droites MN , BE , FC se croiseront toutes en un même point.

3()8. Supposons , par exemple , que les six points en quesliou pre.nncnt la position indiquée (fig. 164) , les droites BE,

CF, qui étoient diagonales, deviendront côtés, et les points M,N, R restent toujours en ligne droite 5 nous en pourrons conclure, que