THÉORÈME XLVII

Si à une section conique on inscrit un quadrilatère , et qu'on en circonscrive un autre , dont les points de contingence soient placés aux quatre sommets du quadrilatère inscrit : les deux points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit, et les deux points de concours des côtés du quadrilatère circonscrit, se trouvent toujours placés tous quatre sur une même ligne droite.

4o 1 . Menons les deux diagonales AD , BC du quadrilatère inscrit, et les deux diagonales ad, bc du quadrilatère circons-

454 GEOMETRIR

crit: je dis qne ces quatre diagonales se croiseront toutes quatre

en un même point K.

En effet, au lieu du quadrilatère ABDC, considérons le quadrilatère ABCD , qui a les mêmes sommets d’angles que le premier, mais qui est formé des deux triangles opposés par le sommet ABK, CDK, la proposition précédente appliquée au cas présent , prouvera que les quatre points b , c , K , M , doivent se trouver sur une même ligne droite; de même que les quatre points a, d,K,N. Donc

théorAms xlviii.

Si à une section conique, on inscrit un quadrilatère , et qu‘on en circonscrive un autre dont les points de contingence soient placés aux quatre sommets du quadrilatère inscrit, les quatre diagonales de ces deux quadrilatères se croiseront toutes en un même point-

4o2. D’où suit évidemment (iig. i65) , que si à une section conique on circonscrit un quadrilatère ubdc , les deux diagonales de ce quadrilatère, et les deux droites menées par les points de contingence des côtés opposés , se croiseront toutes quatre en un même point,

4o5. Cette tliéoric des points de concours dans les quadrilatères inscrits on circonscrits aux sections coniques, s’étend avec facilité aux polygones d’un nombre quelconque de côtés. Soit, par exemple (166) , un octogone ABCDEFGH. En menant les

deux diagonales BD, FH, j’en tire l’hexagone ABDEFH, et de

même , en menant les diagonales BH , DF, j’en tire l’hexagone BCDFGH. Donc, d’après ce qui a été dit ci-dessus (3g6) , si l’on

mène les deux diagonales BF , DH , et qu’on prolonge tous les côtés jusqu’à leurs points de concours M , N , P, Q , comme le

ipontre la figure ; i“. les trois droites BF, DH , MN , se croiseront au même point; lestrois droites BF, DH, PQ, se croise^

robt aassi au même point. Donc les droites MN, PQ se croise.- Tont au même point que les deux droites BF, DH; donc les

quatre droites BF, DH, MN, PQ, se croiseront toutes quatre au même point ; et comme la même chose doit constamment avoir lieu , quelles que soieut les positions respectives des huit points A,B,C,D,E,F,G,H sur le périmètre, on peut conclure qu’en général , si sur le périmètre d’une section conique , on prend à volonté huit points Â, B, G , D , E, F, G , H rangés

dans quel ordre ou voudra , qu’on prolonge AB et DE jusqu’à leur rencontre en un point M; AHetEF, jusqu’à leur rencontre en on point N ; CD et GF, jusqu’à leur rencontre en un point P; CB, GF, jusqu’à leur rencontre en un point Q; et qu’enfin on mène les droites BF, DH , prolongées au besoin ,

les quatre droites B F, DH, MN , PQ se croiseront toutes quatre en un seul et même point.

D’après la notation que nous avons indiquée (8i), cette proposition peut s’exprimer simplement comme il suit.

théorAub xlix.

Huit points quelconques A,B,C,D,E,P,G,H étant placés à volonté sur la circonférence d’un cercle , on aura

BF DÏÎ =f=> ÂB Î5Ë ÂH EF CD FG BC GH.

4o4t Tout ce qu’on vient de dire sur les sections coniques en général, est applicable au cercle comme cas particulier; ce qui fournit une série de nouvelles propositions infiniment curieuses à la géométrie élémentaire.

4o5> La même théorie est également applicable comme cas particulier, à l'assemblage de deux lignes droites, considérées comme asymptotes d’une hyperbole , ou comme une hyperbole même infiniment alongée. Par exemple, si ayant tracé dans un

plan deux droites MN, PQ (iG7),qui se coupent au même point R, on prend à volonté un certain nombre de points comme A , A', A" sur l’une, et autant de points corresponduns B , B', B'

sur l’autre; qu’ensuite on mène les droites AB, BA', A'B',

B' A", A" B", B"A, l’assemblage de ces droites formera un polygone AB A'B' A"B'' inscrit dans la Bgure composée des droites

MN, PQ , considérées comme une hyperbole. Donc si l’on mène

une transversale ab qui coupe la première de ces droites en u, la seconde en b, et les côtés du polygone prolongés au besoin en c , c', c‘, c", c", c', on aura

ae.ae’ .ac" : ac' ,ac" . ac’ V.bc. bc“ .bc^ : bc' - bd ' . ôc',

ainsi des autres , quels que soient le nombre des côtés du poly-^ gone et la position de la transversale.

De même de ce qui a été dit (3<j6), on peut conclure

que le point de concours des droites AB, B'A"; celui des droites

BA', A'B", et celui des droites A'B', B'A, doivent se trouver tous trois sur une même ligne droite

4o6. Il suit visiblement de ce qu’on vient de dire (4o5), que si ayant un quadrilatère ABCD avec deux de ses diagonales AD, BC, on mène une transversale quelconque mp qui coupe AB en m, AC en p, BD en q, CD en n, BC en L, AD en K, on aura

Km.Kn : Lm.Ln::Kp,Kq : Lp.L^ ; c’est-à-dire que

THÉORÉHE U

Un quadrilatère f avec deux de ses diagonales, étant coupé par une transversale quelconque, les produits des segmens interceptés

ceples sur cette transversale entre l'une des diagonales et les^ côtés opposés pris deux à deux , sont entre eux comme les produits des segmens interceptés sur cette même transversale , entre l’autre diagonale , et ces mêmes côtés respectivement opposés.

Cette proposition est une généralisation de celle qui est énoncée (aa5); cette dernière étant pour le cas particulier oùla transversale mp ae confondroit avec la troisième diagonale FG du quadrilatère proposé ABDC.

4.0 J. De ce qui a été dit (4o5) , nous pouvons encore conclure cette autre proposition très-curieuse , que pour abréger, je mécontenterai d’exprimer symboliquement au moyen de la notation proposée dans la seconde section.

THÉOHÊllELI.

Cinq droites quelconques indéfinies ,désigaies par a,b,c, d,e, étant tracées eUtns un même plan, les six droites suivantes se croiseront toutes en un même point, savoir :

b c de

êP. e b d c a b e c d a

ÎP. d a c b e b d c a e.

Formules qui-subsistent , quelque substitution qu’on fasse des lettres a,b,c,d,e , les unes à la place des autres.

La première représente, comme on voit, la droite désignée par a ; la seconde, celle qui joint le point de concours des deux

droites b ,c, avec le point de concours des droites , e ; la troisième , celle qui joint le point de conconrs de la droite e, et de la

droite a b e d, avec le point de concours de la droite c, et delà

droite h e a di ainsi des autres.

Au surplus, toutes ces propositions peuvent sc démontrer directement et plus simplement môme, sur un système de lignes droites, sans considérer ces droites comme des sections coniques , et je ne les ai déduites du principe énoucé (3g3) que par occasion , et pour montrer la fécondité de ce principe.

ri^OBLÊME LXVI.

4o8. Une courbe quelconque tracée dans un plan, étant rapportée à deux axes perpendiculaires entre eux, par une équation entre l’abseisse et l'appliquée t le tableau des princi-

pales variables oomspoudautes au point décrivant , toutes exprimées en valeurs de ees deux ceordonstéee et de constantes.

Les principales variables correspondantes au point décrivant d’une courbe; outre l’abscisse et l’appliquée sont , comme on le sait, le rayon vecteur, l’angle formé parce rayon, et l’axe des abscisses, l’angle formé par la tangente et les appliquées; la soutangente , la normale , le rayon de courbure , &c. Cette énumération peut être étendue indéfiniment, car, ainsi qu’on l’a déjà vu par les exemples précédens , il est beaucoup d’autres quantités dépendantes de la position du point décrivant , et qui varient avec elle. Je me bornerai dans le tableau suivant , à comprendre celles qu’oq vient de mentionner, at quelques-unes des autres que je vais indiquer.

Soit donc M le point décrivant d’une courbe quelconque (Cg. i6g), A l’origine des coordonnées, AP l’abscisse, MP l’appliquée ; et par conséquent, A>I le rs^yon vecteur, et l’angle ibnipé par ee aayon vootenr et Va» dcB«iM«ii»tÿMQT la tangente, ÎP la soutangente, AQ la pcri>CTidi«trtàlre abaissée de

^ by Goow:

DEPOSITION. 4fî9

l’origine des abscisses snr la tangente; MN la normale, MR le rayon de courbure.

Prenons de plus à volonté snr cet axe un point B , formons le triangle MAB, et des angles M, A , B , soient abaissées des perpendiculaires sur les côtés opposés de ce triangle. Je me borne à celte construction à laquelle il est facile d’ajouter tant d’autres lignes qu’ou voudra. Cela posé, il est évident qu’à mesure que

le point décrivant M changera de position , les droites MA , MB, MT, MN, MP, AQ, MR, &c. ainsi que leurs segmens

AK, MK, RK, &c. et les angles MAB, A]^B, AKB, &c. changeront de valeurs. Ce sont donc autant de variables qu’on peut prendre deux à deux pour les coordonnées de la courbe. Le tableau que je me propose de former comprendra donc ces variables, et celles dont nous avons parlé ci-dessus. Mais on sait que parmi celles-ci , plusieurs , telles que la soutangente, le rayon de courbure, &c. ne peuvent être exprimées d’une manière générale que par des formules infinitésimales qui deviennent finies par l’application qu’on en fait à chaque cas particulier : nous sommes donc obligés d’en user ainsi , et nous emploierons pour cela les formules différentielles ordinaires , comme le mode le plus simple de comparer les quantités infinitésimales. Suppo-

sant donc

l’abscisse AP = x

l’appliquée MP = y

la distance AB de l’origine A des coordonnées au point B pris arbitrairement sur l’axe des abscisses — a

et laissant à chacune des antres variables sa désignation indiquée par les lettres de la figure , je me propose de les exprimer toutes en valeurs des seules premières x,jr , a. Cela posé, le tableau demandé sera tel qu’il suit :

4Co

Tableau des principales pariables correspondantes au point décrivant d’une courbe plane quelconque , exprimées en valeurs de l’abscisse , de l’ appliquée et d’une droite comprise sur Taxe des abscisses , entre l’origine et un autre point pris à volonté sur cette ligne. '

Valeurs des angles.

i'. tang. AMP = 2'. tang. BMP = 3'. tang. AMB = 4'. tang. BAK = 5'. tang. MAK = 6'. tang. MAB = 7'. tang. ABK = 8'. tang.MBK = 9'. tang. MBA = 10'. tang. AKP = 11'. tang.BKP = 1 a', tang. AKB = a 5'. tang. MTP =

y* — x{a — x) ay

y' — X (a — a:) ay

ydx — xdy xdx +ydy

»4'. tang. TMA =

Valeurs des lignes.

i5'. ÂB = a

i6'. ÂP r=

i8*. BP = a — x

.9'. KP = iiÇinf)

ao'. KG = x.y-*(g-x)j

21'. KH= (g-x)

sa'. AM =

. a3”. BM = ..... l/(a —

a4'. ÂH = -■

V^(g— xZ+j'*

36'. MK= r^.4:(a-x)

37'. AK = -\/y+(^a — xy

38'. BK \/ÿV^

39'. MG= /-X(g^

3o'. ÂG = --?■*■—

\/{a—xy+y‘

3a‘. BH = y)

53*. GH = o.[y— ar(a — x)]

34*. GP = Ay'y+i^—*)*

55*. HP = ..... (a~x)l/^ZZIZI 36*. TP = —

^ dy

57*. TQ = xdxdy-~-ydx‘

Vdx‘ + dy‘

58*. PN = y - ^

^ dx

oy*

4o*.ÂQ = ..... 5^^-ydx V'dx'+dy

4a*. MR = Z^dy

v^rf**+c(y

Valeur» des aires, 43*. AMB = i oyr 44*. AMP = i ry^

46*. BMP — j (a — x)y 46*. (<»—*)

4;'. AKP =