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6o'. BMK = i a (a—*).

4og. Le nombre des variables de ce tableau est de cinquante , y compris l’arbitraire a ; et il est clair qu’on peut l’augmenter indéfiniment ; mais ce nombre suffit pour montrer l’avantage qu’on peut tirer de ces sortes de tableaux, dans la recherche des propriétés des courbes.

Chacune des formules donne l’une des variables exprimée en valeurs des coordonnées ou seulement de l’une d’entre

elles : c est par conséquent en général un*^t»wiioB entre trois variables. M«is de ces équations premières à trois variables chacune, on peut en déduire autant ia. même genre qu’il est possible de combiner trois à trois les cinquante variables qui y entrent; car pour chercher celle qui doit exister entre trois quelconques prises à volonté parmi ees cinquante, il n’y a qu’à chercher la valeur de chacune d’elles au UbJean ; on aura ainsi trois équations qui renfermeront ces trois variables dont on cherche la relation , les deux coordonnées », y , et l’arbitraire a. Eliminant donc ces deux coordonnées par la combinaison de ces trois équations , il en restera une qui ne contiendra pins que ces trois nouvelles variables.

Or voit par-là quelle immense quantité de formules peuvent se déduire du petit nombre seulement de celles qui sont portées au tableau. Mais comme les rapports des cinquante variables qui s’y trouvent porléc.s, prises deux à deux, de même que leurs produits on des fonctions quelconques où elles seroient combinées ainsi deux a deux, et ensuite trois à trois , quatre à quatre, seroient autant de notrvcHes variables, toutes exprimées comme les premières , e» valeurs des mêmes coordonnées

X ,y, cl de l’arbilraire a, on voit qu’il n’y a aucunes bornes aux diverses forniulcs ou résultats qu’on peut ainsi obtenir.

4 1 0. On voit également comment il est possible de changer d’une infinité de manières le système des coordonnées. Car si aux coordonnées x,^ , on veut en substituer deux autres quelconques prises parmi les cinquante variables portées au tableau, il n’y aura qu’à chercher dans ce tableau ces nouvelles coordonnées qui s’y trouvent exprimées en x , y ; de ces deux formules , on tirera réciproquement * , y , en valeurs des nouvelles coordonnées , et on substituera ces valeurs dans toutes les autres formules.

La même chose auroit lieu, si au lieu de deux quelconques de ces variables, on vouloit prendre pour coordonnées deux fonctions quelconques de ces mêmes quantités combinées deux à deux, trois à trois, &c.

4 1 1 • Supposons maintenan t que l’équation delà courbe soit donnée , entre deux autres coordonnées quelconques prises parmi les cinquante variables portées au tableau , on l’aura de suite , si l’on veut en x et y. Puisqu’ayant en effet chacune de ces cinquante variables exprimée en valeurs de x et y, il n’y aura qu’à substituer dans l’équation donnée ces valeurs des coordonnées qui y entrent.

Ayant ainsi l’équation en x ,y , on pourra de chacune des formules éliminer au moyen de cette équation en x,y , celle de ces deux variables qu’on voudra. Chacune des cinquante formules ne contiendra donc plus que deux variables avec l’arbitraire a et de la même manière que ci-des-sus. De ces cinquante premières formules à deux variables, on pourra en tirer autant d’autres de même genre qu’il y a de manières de combiner les cinquante quantités deux à deux.

On pourra ainsi introduire encore dans le calcul , une nouvelle classe de variables , savoir la somme des racines de ces premières variables, la somme de ces racines multipliées deux à deux, trois à trois, 6ic, , puisque les quantités sont déterminées par la

forme

4GJ

DE POSITION, forme des équations ; et de même , la somme des carrés de ces racines , celle des cubes, et généralement do toutes leurs fonctions symétriques. Appliquons ces réflexions générales à quelques exemples particuliers.

FROBLâUELXVII.

4x2. U équation de la courbe étant donnée entre l’abscisse AB (fig. 169) et l’appliquée MP, trouver l’équation de la même

courbe entre le rayon vecteur KM., et l’angle MAB pris pour nouvelles coordonnées.

Soient t, z, ces nouvelles coordonnées, c’est-à-dire le rayon vecteur = t, et l’angle formé par ce rayon vecteur et l’axe des abscisses = z.

Les formules 6 et 22 donneront tang. r = ^ , t = t/ x'+y'. Il

^ JC — -

n’y a donc pour avoir l’équation cherchée , qu’à tirer de ces deux formules les valeurs dex ,y en valeurs de * et t, et substituer dans l’équation donnée entre x ety.

Or en tirant de ces formules x , et y , on ax = X.cos. r, y = t.sin.z, comme il est d’ailleurs évident que cela doit être. Ce sont donc les valeurs qu’il faut substituer pour x ,y dans l’équation donnée, afin d’avoir celle qu’on cherche entre t, z, ce qu’il falloit trouver.

PnOBL^UE LXVIIl.

4x3. L’équation d’une courbe AMB (fig. i6ÿ) étant donnée

entre l’abscisse AP et l’appliquée MP, supposées perpendiculaires entre elles ; changer ce système de coordonnées , de manière

que la nouvelle équation ait lieu entre les deux variables AP , K P , dont la première AP est la même abscisse que ci-dessus ,

et la seconde RP, est la perpendiculaire abaissée sur l’axe AB des abscisses J du point K où se croisent les perpendiculaires ,

menées des points A , B , sur B M , A M , respectivement.