Z CO

, . , . ûa

tout par ».(o — *j, et multipbant par on aura

c’est-à-dire que le lieu géométrique cherché est une nouvelle ellipse ayant pour petit a» AB, et pour grand axe, la quatrième proportionnelle ^ aux deux i,a,dc l’ellipse proposée, ou le paramètre de son petit axe.

BAO BLÂME LXIX>

4 1 5« L'équation étant donnée entre les angles MAB, MBA , (ûg. 169) pris pour coordonnées , trouver V équation de la même

courbe entre l'abscisse AP et l’appliquée MP, prises pour nouvelles coordonnées. ■■ ■■

, on aura,

'-JW •

Nommons w, v, les coordonnées MAB, MÊA ; nous aurons

par les formules 6 et g du tableau tang. u='^, tang. p = — — ;

il n’y a donc qu’à substituer ces valeurs de u et v dans l’équation proposée, pour obtenir celle qu’on cherche entre les nouvelles coordonnées x,y, ce qu’il falloit trouver.

4 1 6. Supposons , par exemple , que l’équation proposée de

la courbe, entre u et p soit u+p = m , m étant une constante.

, tang./n — tang.i'

tin transposant v, on a u= tr— s', ou tang. u — ,

° i + tang/n.tung.v

on tang.u+tang.m tang.u tang.v = tang./n — tang. p.

Mettant donc dans cette équation pour tang.u, et tang. v leurs

valeurs trouvées ci-dessus ; c’est-à-dire , , — — —

•près avoir tranapos* ■* m ■' *- ju. ^ ^

** tang./n+y* tang.m — a«tàng.m+a^ s Equation au cercle.

4 1 y. Supposons que l’équation entre les coordonnées u , p soit u — p = m,o\xu = m+t», on aura donc,

tanff.mH-tane.i'

tanff. u = — — — , oa

1 — tang. m tang. tf ^

tang.u — tang.m tang. u tang.<^ = tang.m 4- tang* ÿ'. ;

Mettant donc dans celle équation pour tang.» et tang. v, leurs

valeurs trouvées ci-dessus, c’est-à-dire, - , — - — , on aura,

après avoir ti^posé et réduit , ,

X* tang.m — y* Ung.m — ox tang-m-fay = o;

équation à l’hyperbole ; ce qae noos avons déjà va (io5) lorsque l’angle m est droit. - ^ '

4l8. Si au contraire l’équatiôn étoit donnée entre x, y, et qu’il fallût la trouver entre u, p, pris pour nouvelles coordonnées ; il n’y auroit qu’à tirer des équations trouvées ci-

dessus (4iS) les valeurs de s;, en valeurs de u , v , et substituer dans l’équation donnée. On auroit donc

« tang. U = J' , a tang. « tang.f , ce qui donne

a tang.y a . tang.u. tang. v

tang. u + tang. </ ’ ^ tang. u tang. v ’

Ce sont donc ces valeurs qu’il faudrait substituer dans l’équation donnée entre pour avoir l’équation cherchée entre

U et

Si l’on cherchoit , par exemple , l’équation de la ligne droite supposée décrite par le point M, en la rapportant à deux points

fixes A, B, et prenant pour coordonnées les angles MAB,

MB A , (fig. 17 1) , on auroit pour l’équation de cette ligne entre X , y ,y = m-\-nx ,m^n étant deux constantes. Substituant donc dans cette équation les valeurs de x trouvées ci-dessus en valeurs de u et , on auroit

a.tong.u tung.v = m tang.u-pm. tang. <'+raa. tang. v, ou m. m-f-rao

tang. U tang. v= — tang. u — — - — tang.v = 05

c’est-à-dire, que l’équation de la ligne droite rapportée à deux points fixes quelconques pris dans le même plan , et prenant pour coordonnées , les angles formés entre la ligne qui joint ces deux points fixes et leurs distances au point décrivant, est en général de cette forme, tang.u tang. v+Atang.u-l-B tong.s' = o; A et B étant deux quantités constantes.

4 1 ^ . On voit par cet exemple , que telle ligne , dont l’équation est d’un certain degré en prenant tel ou tel système de coordonnées , peut devenir d’un degré plus élevé , en la rapportant à tel ou tel autre système ; l’équation de la ligne droite n’est que du premier degré, en la rapportant à deux axes fixes , par ses abscisses et ses appliquées ; elle devient du second, en la rapportant à deux points fixes A B , et prenant pour système de

coordonnées les angles MAB, MBA; réciproquement, l’équa-

lion du cercle est du second degré , en la rapportant à deux axes fixes par ses abscisses et ses appliquées , et n’est plus que du premier, comme on le vient de voir (4i6), en la rapportant à deux points fixes A, B, pris sur sa circonférence, en prenant

poni' coordonnées les angles MA B, MBA. Il en est de même de l’hyperbole équilatère, comme on l’a vu ci-dessus. Il en est do même encore pour toutes les sections coniques, dont l’équation est du second degré , en les rapportant à deux axes fixes quelconques, et qui n’est plus que du premier, quand on les rapporte à leurs foyers , en prenant pour système des coordonnées les distances du point décrivant à ces deux points fixesjou lorsqu’on les rapporte à un de leur foyer et à leur directrice ; en prenant pour coordonnées les distances du point décrivant à ce point , et à cette droite. Il est une infinité d’autres cas semblables, tels que ceux de la conchoïde et de la cissoïde dont les équations sont du quatrième degré, en tes rapportant tcdeux axes fixes , et ne sont plus que du premier, en prenant pour coordonnées celles qn’on emploie ordinairement à leurs constructions. On n’a donc pas toujours l’équation d’une courbe dans sa pins grande simplicité, en la rapportant à deux axes fixes. Ce mode est, ce me semble, le meilleur terme de comparaison entre les courbes en général , mais non pas toujours le moyen le plus facile de trouver les propriétés de chacune d’elles en particulier.

PnOBLiH£ IiXX.

420. L’équation de la courbe étant donnée entre les droites M .4., MB (fig. 169), prises pour coordonnées, trouver l’équation

de ta même courbe entre l’abscisse AP et l’appliquée MP prises pour nouvelles coordonnées.

Nommons u, , les coordonnées MA , MB , nous aurons par les formules , 33 , a3 ,

Il n’y a donc qu’à substituer les valeurs de u et v dans l’équation

470 G K O xM E T R I E

donnée , ponr obtenir celle qu’on cherche entre les nonTclU:i

coordonnées x , y. Ce qu’il ialloit trouTer.

Supposons , par exemple , qne l’équation proposée entre les coordonnées u , v, soit u = mu, m étant une constante quelconque, l’équation entre x, y, sera donc

t/ ar*+^* = m V^(a — " xy+y*, ou élevant tout au carré,

x'+y' = m*(a — *)‘+m'y', ou *-’(i — m')-i-y' (i — m')+amax — m'a* = o. Equation au cercle.

FROBL3ÊME LXXi.

4 3 1 . i 'équation de la courbe étant donnée entre les coordonnées AG, BG (fig. >69), trouuer celle qui doit auoir lieu entre AP, MP prises pour nouuelles coordonnées.

■ Soient u, v, les coordonnées AH, BG, nous aurons par les 34* et a5* formules du tableau

|/(o — :e)*+y Vsé^+y'

Il n'y a donc qu’à substituer ces valeurs de u, dans l’équation proposée , pour avoir l’équation cherchée entre lea nouvelles coordonnées de s ,y. Ce qu’il falloit trouver.

FRoni.âuB nxxii.

433. L’équation de la courbe étant donnée entre les aires AMK, BMK (fig. 169) , prises pour coordonnées, trouuer celle

qui doit auoir lieu entre AF, MP, prises pour coordonnées

nouuelles.

Soient u,v, les coordonnées AMK, BMK, noos aurons par les 49* et 60* formules du tableau

Les derniers membres de ces deux équations sont donc les expressions qu’il faut substituer pour u, v, dans l’équation proposée entre ces deux yariables, pour obtenir celle qui doit avoir lieu entre * ,jr. Ce qu’il falloit trouver.

paOBL^ME LXXllI.

425. L’équation de la courbe étant donnée entre les coor^ données MA, MB, trouver celle qui doit avoir lieu entre les angles MAB, MBA, jsris pour nouvelles coordonnées (fig. x6g).

Nommons f, U, les coordonnées MA, MB; * , v, les nouvelles coordonnées MAB, mÊA.

Les formules aa , 33,6,9, donnent

Eliminant au moyen de ces équations les variables x,j', on aura deux équations entre t, u, z, v; on en tirera les deux valeurs de t, u; ce seront celles qu’il faudra substituer dans l’équation donnée, entre ces deux variables , pour obtenir celle qu’on cher* che entre s, V. Cette opération donne

a tang. v.séc. X

a tang.z séc. v

tang.x + tang. V ’tang.x + tang.

Telles sont donc les quantités à substituer pour t, u, dons l’équation proposée. Ce qu’il falloit trouver.

fboblême

424. L’équation de la courbe étant donnée entre le rayon vecteur AM , et le rayon de courbure MR pris pour coordortf

nées, trouver celle qui doit avoir lieu entre l’abscisse AP, et

l’appliquée MP, prises pour nouvelles coordonnées (fig. 169).

Soit t le rayon vecteur , et r le rayon de courbure , l’équation étant donc donnée entre t et r; il s’agit de la trouver entre x , y. Or les formules aa' et 4a‘ du tableau, donnent

<= Vx'+y',

V dx'-\-dy*

. Il n’y a donc qu’à substituer , dans l’équation donnée , les valeurs de < , r , pour avoir l’équation cherchée entre x ,y, ou leurs différentielles. Ce qu’il falloit trouver.

FROBnâME I.XXV.

426» U équation de la courbe étant donnée entre les deux

produits AP. MB, BP. MA considérés chacun comme une seule variable et pris pour coordonnées , trouver l’équation de cette

courbe , en prenant pour nouvelles coordonnées , l’abscisse AP et l’ appliquée MP (ilg. 16g).

Soient», vies deux produits AP. MB, BP. MA, pris pour coordonnées actuelles. Les formnles 16 , aa , 17, a3, donnent

u = x V {a — xf +y' , V =y V **+j'*.

Les seconds membres de ces équations sont donc les expressions

qu’on doit substituer à u et v, ou AP. MB, BP. MA dans l’équation proposée pour obtenir celles qu’on cherche entre fs , ^. Ce qu’il falloit trouver.

426. Les exemples précédens suffisent pour faire juger que rien n’est plus important dans la théorie des courbes, que la transformation des coordonnées prise dans l’acception la plus générale; c’est-à-dire, en comprenant sous cette expression de coordonnées, non pas seulement deux droites menées du point décrivant do la courbe parallèlement à deux axes donnés; mais

en général , deux variables quelconques dépendantes de la position de ce même point.

Cependant il est une observation essentielle j c’est que de quelque manière qu’on transforme le système des coordonnées , en rapportant la courbe, soit à des points, soit à des axes fixes, on fait nécessairement entrer dans l’équation, des considérations qui sont étrangères à la nature de cette courbe; car la nature de cette courbe consiste dans sa forme ou la position respective de ses points , et non dans leur position absolue à l’égard des objets fixes de l’espace. Or quand on rapporte cette courbe à des axes fixes, les équations que l’on trouve donnent la position absolue de ces points ; elles font donc entrer dans l’expression des conditions ou des propriétés de la courbe , des arbitraires , et par conséquent des considérations qui .ne tiennent pas essentiellement à sa nature ; et pour pouvoir ramener l’expression de ces pmpriété«à conn’gll^- .11.. .. I :i pouvoir en élfminer ces rapports superflus. Mais puisque la ligne droite est essentiellement le terme de comparaison auquel on est obligé de rapporter toutes ces courbes ; il est clair que parmi ces rapports , on ne peut chasser les unes sans en admettre d’autres successivement , et c’est précisément cette comparaison successive de la courbe à divers objets fixes qu’on nomme changement des coordonnées , et qui constitue ce qu’on nomme les propriétés de la courbe.

4îy . On peut cependant dégager la courbe des objets fixes pris dans l’espaice; c’est eu considérant ces objets fixes comme devenus eux-mêmes mobiles, et ne composant plus qu’un seul système avec la courbe elle-même. Par exemple , lorsqu’une courbe est rapportée à deux axés fixes pris dans l’espace, on peut supposer que ces axea deviennent inhérens à la courbe et mobiles avec elle t mais dans ce cas , la première difficulté est remplacée par une autre ; c’est qu’à la vérité, le nouveau système est débarrassé de la considération des objets fixes qui délermi» noient sa position dans l’espace absolu ,• mais que le nouveau système lui-même est plus compliqué que no l’exige la nature

(Je la question ; car le sysiâine à considérer réellement, est la courbe seule isolée, et l’adjonction des deux axes inhérens en fait un système complexe.

428. Mieux on réussit à dégager l’équation d’une courbe des arbitraires, qu’y fait entrer sa position à l’égard des axes fixes dans l’espace ou inhérens à celte courbe, moins celte équation est restreinte dans sa forme. Par exemple , la propriété des cordes qui se coupent dans le cercle , présente la nature de cette courbe sous un point de vue plus général, que son équation à l’égard de deux axes fixes pris arbitrairement dans le même plan ; car les distances de ces axes au centre, devant entrer dans cette équation , les propriétés qu’elle exprime donnent bien le moyen de comparer cette courbe successivement à tous les axes possibles, en attribuant successivement à ces distances diverses, des valeurs arbitraires; mais non pas avec tous ces mêmes axes simultanément; au lieu que la propriété des cordes est indépendante d’aucune position d’axe ou de point fixe, et se trouve même dégagée du paramètre qui est le rayon.

42t). Par la même raison , les propriétés connues (376) des abscisses naturelles comparées aux appliquées correspondantes, sont plus générales que celles des abscisses prises dans le sens ordinaire; c’est-à-dire, à partir d’un point fixe , comparées à leurs appliquées ; car les premières sont dégagées de la considc- 1 atioD du point fixe , et par conséquent, des arbitraires que cette considération introduit dans l’équation , en prenant les absci.->scs dans le sens ordinaire.

Mais quoique la position de l’origine des coordonnées n’entre pour rien dans l’équation entre les abscisses naturelles et les appliquées correspondantes , la direction de ces axes reste toujours la même ; et par conséquent , il faut que l’équation renferme encore quelque chose d’arbitraii'e pour exprimer cette direction ; la forme de ces équations n’est donc pas encore aussi indépendante qu’elle pourroit l’être.

C’tsl pour faire disparoitre les arbitraires qu’entraîne cette

•Oigi iz&JJx. JJoQole

direction ou ce parallélisme constant des coordonnées, que j’ai établi les théorèmes (377, 578). Ainsi ces propositions expriment les propriétés des courbes d’une manière encore plus générale.

450. Les axes , les points , ou autres objets fixes , pris addilionnellement au système qu’on veut considérer, ne sont que des moyens auxiliaires, qu’on prend momentanément pour terme de co|pparaison , et qu’on doit éliminer ensuite pour avoir les rapports immédiats qu’on veut obtenir. Ces tenues de comparaison servent à décomposer les questions compliquées en questions simples, et leur emploi est souvent indispensable; mois il ne faut pas oublier que ce ne sont que des auxiliaires , et qu’il seroit toujours plus élégant, si on le pouvoit, d’opérer directement sur les quantités même qu’on veut comparer.

45 1. Dans toute courbe^ il existe pauE-cbaque.point nne certaine ligne qui ne dépend d’aucune hypothèse particulière, d’aucun terme de comparaison pris dans l’espace absolu ; c’est le rayon de courbure , qui est uniquement déterminé par la forme de la courbe. La soutangente, la normale, le rayon vecteur n’ont point cet avantage , puisqu’ils dépendent de la direction des axes et du point pris pour origine des coordonnées.

S’il existoit pour chaque point une seconde variable du même genre que le rayon de courbure; c’est-à-dire, indépendante comme lui , d’aucun axe ou point fixe pris pour servir de terme de comparaison, on pourroit, ce semble, exprimer la nature de la courbe de la manière la plus générale , en prenant cette nouvelle variable et le rayon de courbure pour coordonnées. Le périmètre de la courbe paroitroit pouvoir remplir cet objet ; mais il laisse encore quelque chose de fixe, c’est le point duquel il faudroit commencer à compter ce périmètre.

45î. Je crois cependant qu’il est possible de trouver diverses variables qui auroient la condition demandée. Je proposerois, par exemple, l’angle que forme au point décrivant la tangente avec la droite qui partage en deux parties égales les sécantes

infiniment petites menées dans la courbe, parallèlement à celte

tangente.

Imaginons par le point décrivant M (fig. 17a) une tangente

MT, et une sécante mm qui lui soit parallèle. Du point M, et par le point milieu n de cette sécante , imaginons la droite indéfinie MF : concevons maintenant que m m' se rapproche continuellement de MT et finisse par se confondre avec elle. Cela

posé , c’est la dernière valeur ou la limite de l’angle TMF que je proposerois de prendre pour seconde coordonnée ; en prenant pour première le rayon de courbure.

Il est clair que cet angle est indépendant de tout point ou axe fixe qui pourroit être pris dans le plan de la courbe; et que si l’on avoit l’équation qui doit exister entre ces deux coordonnées, savoir cet angle et le rayon de courbure, la nature de la courbe seroit exprimée par celle équation d’une manière indépendante de toute hypothèse. On pourroit également prendre

l’angle K MF compris entre celte droite M F et le rayon de courbure. De même, si de l’extrémité K du rayon de courbure, on

menoil KF perpendiculaire à MF; on pourroit prendre pour coordonnées les droites MF, KF , perpendiculaires entre elles ,

on MK, MF; ou MK, KF; toutes ces quantités étant autant de variables uniquement dépendantes de la figure de la courbe , abslraation faite de tout objet fixe.

Soi! T le rayon de courbure répondant au point m -, z l’angle TMF, et supposons une équation quelconque entre r, x; ce seroit celte équation qui exprimeroit la nature do la courbe.

Dans la parabole, par exemple , si l’on nomme p le paramètre, 71 la normale, on aura, comme l’on sait,

r = ^ , et cot. X — 2 -, on à cause de ;i =

(jK’ + ip*) ■

cot. * = 3 K “•

Tirant de ces deux éqaations les valeurs de et substituant daus l’équation de la courbe jy = px, on aura l’équation cherchée entre r et a , qui se trouve être r — ^p. coséc. a’.

Si l’on avoit ainsi l’équation de chaque courbe, et qu’on voulût revenir à celle qui existe entre l’abscisse et l’appliquée, il faudrait chercher les valeurs des Coordonnées r, z en valeurs de x,y, et les substituer dans l’équation donnée. On connoît

déjà celle de r, qui est r .11 resteroitdonc

^'V'dx‘ + dy\

à trouver celle de a également en *, y, ou leurs différentielles; c’est ce que je me suis proposé dans le problème suivuit.

PROBLâMC LXXVI.

4.33. Trouver Vangle que forme la tonganta d’une courbe , avec la droite qui partant du point de contingence, divise en deux parties égales la corde infiniment petite , menée parallèlement d cette tangente ; trouver , dis- je , cet angle exprimé en valeurs de l’abscisse et de l’appliquée, supposées perpendiculaires entre elles.

Soient mMm' (fig. 172) une portion infiniment

aîa

courbe proposée ; M le point décrivant, TP l’axe des abscisses, MP l’appliquée, MT la tangente, mm' une corde infiniment

petite parallèle à MT; MF la droite qui divise cette corde

mm' en deux parties égales au point n ; o le point où cette même corde est coupée par l’appliquée MP; mp, m'p' les appliquées correspondantes aux pointa m , m! ; g , h ,\ca points d’intersection de CCS appliquées avec la tangente MT; mrr la droite menée perpendiculairement du point m à MP, et à m’p'-, MF la

perpendiculaire menée du point M sur m ", enfin MK le rayon de courbure,

/i7S GEOMETRIE

Nous aurons évidemment,

mr=dx , Mr = djr , Mr = dx+ddx , r'm' = dy-\-ddy, mr = adx+ddx , m'r' — ady+ddy.

Cela posé, les triangles semblables mro, Mrh, donnent

mr: ro"Mr': rh, ou mr: ro::Mr'—mr: r'h — ro , ou dx : dy — Mo : (rW+m'A) — (Mt — Mo) , ou à cause de m'h = Mo ,

dx:dy — yiov.ddx :ddy \ x'^o. Donc

dx ddy\-adx Mo = dy ddx — rfÉÎA.Mo.

Négligeant le dernier terme comme infiniment petit par rapport

dy ddx — dx ddy

aux autres, nous aurons Mo ^

%dx

Maintenant, je cherche ma ou 7 mm'. Or dans le triangle rectangle mm'r , j’ai

mm' =^mr‘ +m'r* = {^dx-\ddxf-ir{'xdy ddyY , ou en négligeant les infiniment petits de l’ordre supérieur,

J mm' on mn = dx'+dy‘ + dx ddx+dy ddy. (B)

De plus, le triangle rectangle mro donne

mo s= dx +ro = dx + (Mr — Mo) , ou mo = dx‘+dy‘ — ady.Mo. (C)

Retranchons celte valeur de mo , de celle trouvée ci*deasus (B) pour mn , nous aurons

mn me oa (om+mô) (m»—mo) = dxddx-i-dy ddy+ a(ly Mo. Mettant donc dans cette équation la valeur de Mo trouvée (A) , nous aurons, à cause de mn — mo = no,

Divisant par {mn-\-mo) , qui en négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs , est évidemment aV^ dx' -f on aura

no= V dx' dy‘. (D)

aar

A présent que nous avons on, noos parviendrons facilement

à la valeur de l’angle cherché TMn.

En effet , le triangle Mno donne Mo : no :: sin. Mno : sin. nMo,

ou Mo : no sin. TMn : sin. ( TMn — TMo) , ou

Mo : no:: sin. TMn ;(TMni cos. TMo) — sin. (TMo cos. TMn) j donc

no.sin.TMn = Mo . sin.TMn. cos.TMo — Mo . sin. TMo cos.TMn.

Di Vison l tout par «ân .TWw, et observant que -sscotTMff^

siu.IM/i '

on aura

no = Mo. cos. TMo — Mo. sin. TMo.cot. TMn, ou Mo.siu. TMo.cot. TMn = Mo. cos. TMo — no,

ou cot. TMn = cot. TMo —

Mo. sin. TMo

Mettant dans cette équation les valeurs de no, Mo trouvées

ci-dessus, et observant que sin. TMo ;

cos.TMo =

V dx‘ + dy'

\/ds‘+dy' dy

cot. TMo = -f- , on aura a»

COL TMn = -.+ ,

dx'.d.

dy ddx.(dx‘+dy')

ou cot. TMn = -^ + , . . ■ — j-r 3 — 33-:.

dx dx‘ ( dx ddy — dy ddx)

48o GEOMETRIE

434. Dans le cercle , par exemple , pour qae mm' soit parallèle , comme on le suppose è la tangente MT , il faut que

les arcs mM, m'T soient égaux , ou que dt/s = o. Diilerentiant donc l’équation ds* = dx'-hdy’ , on aura ds dds = dx ddx + dy ddy.

Donc puisque dds = o , on aura aussi , dx ddx + dy ddy = o ; ce qui donne ddy = — ' Substituant celle râleur de ddy

dans la formule ( E ) , on aura

cot. TM/J =

ddx (c/i* + dK*)

dx‘ ddx — dy' ddxy

ou cot.TMn ou cotTMn

^ dy {dx'Jrdy')

dx dx +

dx dx