CONCLUSION

435. Quoique les vérités mathématiques soient tontes d’une certitude parfaite, elles n’ont pas toutes le même degré d’évidence : ce sont sur-tout les notions premières qu’il est difficile de porter au point de clarté désirable; mais on seroit arrêté dans la carrière , dès les premiers pas , si parce que certains principes fondamentaux restent enveloppés de quelque obscurité, on refusoit d’aller plus avant. Ainsi les anciens , parce qu’ils n’avoient pu parvenir à éclaircir entièrement la théorie des parallèles , n’ont point été pour cela retardés dans leurs recherches.

Ainsi , quoique la notion de l’infini présentât aux modernes des difficultés , ils n’ont pas laissé de donner à l’analyse infinitésimale tout le développement qu’on pou voit attendre de leur sagacité. Ainsi, enfin l’obscurité dans laquelle est restée la notion

des

DEPOSITION. 48i

(1e.4 quantités négatives , n’a nullement entravé la marche des algébristcs. Anssi, disoit d’Alcmbert, à quelqu’un qui se plaignoit des nuages que certaines démonstrations avoient laissés dans son esprit : allez en avant, et la foi vous viendra. Cela n’a pas empêché d’Alembert lui-même, de s’occuper plus peut-être qu’aucun autre géomètre de la métaphysique des sciences. Il A successivement travaillé particulièrement sur les trois questions dont nous venons de parler ; la théorie des parallèles , la notion de l’infini, et eelle des quantités négatives ; et s’il n’a pas tou~ jours rempli complètement son objet | il a au moins jeté paivlont des traits de lumière extrêmement précieux. Ses réfiexions ont excité l’esprit de recherche des Géomètres qui l’ont suivi. Bertrand et Legendre ont donné, chacun a leur manière, une théorie lumineuse des parallèles (i). D’autres, et particulièrement Simon Lhuillicr, ont éclairci la notion des quantités infinitésimales. Il jjjlait sidtsnrtiia~iiwwtiltffintégiiKTri1 • qnftpnTrdi pexsomieS'&'nressayé d’approfondir, et qui cependant le méritèj d’autant plus, qu’elle sert de base à toutes les opérations dé l’algèbre, et que celles de ces notions qui sont admises ordinairement sans examen, sont non- seulement obsenres en elles-mêmes, mais fausses et capables d’induire en erreur. C’est donc ce point de doctrine que j’ai entrepris de discuter, et les idées que celle discussion m’a lait naître ont produit , par leur développement , l’ouvrage que je soumets au public. J’ai tâché d’y mettre dans tout son jour Tioutilité de ces fausses notions et de faire voir

(i) La théorie àt$ paralUlea tient i nne notion première qni me paroît éire à-pen-près du même ordre de clarté que celle de l’égalité parCaite on de la «uperpoailion ; c’est la notion de timilituda. Il me semble qu’on pent regarder comme un principe de première évidence , qne ce qui existe en grand , comme nne boule , une maison , an detsin , peut être fait en petit et réciproquement ; qne par conséquent , quelque figure qu’on venille imaginer , il est possible d’en imaginer d’autres de toutes grandeora et semblables à la première , c'està-dire dont tontes les dimensions aient entre ellee les mêmes proportions qne ccljas de la première. Celte notion nne fois admise, il est tàcile d’établir la théorie dea parallèles , sans reconrir à la notion de l'infini.

fil

i8a GEOMETRIE

qu’en excluant octte métaphysique obscure dont ou a coutume de les étayer, toutes les diülcultés s’évanouissent d’elics-niènies, sans que rien soit changé aux procédés ordinaires du calcul.

En donnant plus d’étendue à ces réflexions , et cherchant à expliquer le» propriétés de la mutation des signes + et dans les formules, j’ai vu que leur véritable emploi, sous ce point de vue , devoil être de rapporter à une même figure primordiale, sur laquelle on suppose que les raisonnemens ont été établis elles formules trouvées, toutes les figures de même genre, c’est-à-dire , dont la construction est essentiellement la même,et qui n’en diflerenl que par la transposition d’une ou plusieurs de leurs parties correspondantes. C’est sur cela qu’est fondé ce que j’ai nommé corrélation des figures , qui fait l’objet de l’essai que je publiai l’année dernière sur celte matière. Celuici n’en est que l’extension : j’y ai non-seuleme»it considéré le» rapports des figures entre elles , mais encore les propriétés particulières de la figure primitive, c’est-à-dire, de celle qui est prise pour servir de terme de comparaison ; et j’ai cherché à repré- .senter ces propriétés par un tableau général qui les renfermât toutes iniplicilemcut, et qui modifié suivant les principes de la corrélation dont on vient de parler, fût successivement applicable à toutes les figures de même genre. De tout cela enfin , j’ai formé, ou plutôt ébauché, un corps de doctrine que je nomme Géométrie de position.

La géométrie de position ou par tableaux, proposée dans cet ouvrage, me paroît devoir être, lorsqu’elle sera perfectionnée, un moyen fécond d’obtenir des résultats, les uns curieux, les autres utiles. Chaque ligne d’un tableau est, comme je l’ai déjà observé ailleurs, un théorème tout rédigé en formules; il no s’agit que de les ordonner de manière à pouvoir retrouver au besoin chacune d’elles. De ces formules primitives, il est également aisé d’en tirer une quantité innombrable , d’autres souv«mt très-simples, en les combinant de manière à ce que le* quantités qui y entrent se détruisent en partie les unes par le* autres ; opérations que le seul rapprochement de ces formules et leur dis-

tjibation en tableaux facililuiit infiniment. On a vu(i38ct suiv.) quelques exemples de ce procédé, et les applications peuvent en être multipliées autant qu’on le veut. Il scroit certainement impossible et inutile de comprendre toutes ces propositions particulières dans un cours de géométrie, encore moins d’en surcharger sa mémoire ; mais il ne pourroit être que très-utile et très-agréable pour les élèves, de s’exercer à en trouver euxmêmes un certain nombre, de former le tableau analytique d’une figure tracée par eux, d’y rapporter les figures corrélatives , et de comparer toutes ces formules pour en déduire des conséquences particulières, qui leur offriroient souvent des résultats extrêmement piquans dont ils seroient les créateurs.

De ce genre, sont les propositions que les anciens appeloient l'orismes. Privés du secours de l’analyse, ils tiroient un grand avantage de ces propositions qui souvent leur fournissoient des solutions aussi simples qii’élégnntea de. trjg diffitljlfi

pour cea temps-là, et qui le sont même encore aujourd'hui. Cette géométrie des anciens paroit être plus en faveur chez les Anglais que parmi nous. Robert Simson a démontré les porisraes recueillis par Pappus , et en a généralisé plusieurs dans son livre intitulé Opéra quœdam reliqua , &c. Mathews Stewart en a inventé un grand nombre , la plupart trèscurieux, qu’il a publiés dans deux ouvrages intitulés l’un, Propositiones geometricœ more veterum demonstratee . L’autre , Some general theorems of considérable use in the higher parts of malhematics. Ces ouvrages, très-peu connus en France, et que le hasard m’a fait tomber dernièrement dans les mains , mérileroicnl d’être soigneusement traduits, et même commentés, au moins le dernier; parce que l’auteur y a seulement énoncé ses propositions sans les démontrer. Les démonstrations de plusieurs d’entre elles en seroient en effet souvent fort longues et fort difficiles , si l’on s’en tenoit aux principes de la géométrie ordinaire ; mais en employant la théorie des centres de moyennes distances ou de gravité , on en vient facilement à bout ; ce qui prouve , ainsi que je l’ai dit, combien il est important de ramener à la

le

géométrie cette branche de science qu’on a coutume de renvoyer

à la mécanique.

La formation des tableaux que ;’ai proposée dans cet ouvrage, donne un moyen extrêmement facile d’obtenir une infinité de ces porismes ; j’en ai donné un grand nombre , j’en ajouterai encore deux ici pour exemples, que je tirerai comme cas particuliers des principes énoncés (ai8 et 3ga}.

i"'. Soit ABC un triangle inscrit au cercle (fig. 173), et dont

lescôtésKÜ, AC, hC, prolongés au besoin soient coupés respectivement aux points m , n , p , par une transversale quelconque

mn p. Nommons m', n', p', les tangentes qui seraient menées des points m,n,p, à la circonférence ; je dis qu’on aura

m'n'p' == An. B/n. C/7 — A/n.B/j.C/*.

2*. Soit une circonférence A/nB /n' (fig. 1 74). Menons une corde

quelconque AB, par ses extrémités A. ^ B, deux tangentes Ap,

"Rq ; et enfin une transversale quelconque pqmm' que je suppose

couper la circonférence en m , m', et la corde AB au point K : je

tUs qu’on aura mi : m'i’.’.mp.mq : m'p.m'q.

Si les points p, q se confondoient au point o où se coupent les tangentes ; la proportion précédente se réduiroit à

mi : m'i’.'.mo : m'o,

qui est un des porismes démontrés par Robert Simson.

Je ne pense pas qu’il soit nécessaire de démontrer toutes les propositions de celte classe à la manière des anciens. Quelquesunes sont susceptibles à la yérilé d’être prouvées fort simplemcnt,ct même découvertes par la seule synthèse; mais puisqu’on possède dans l’algèbre un moyen plus facile d’arriver aux mêmes résultats, il est convenable de s’en servir. Je crois qu’on ne doit point faire un étalage inutile d’analyse, qu’on ne doit employer le calcul qu’au besoin , et non pour démontrer péniblement ce qui peut se déduire facilement des premiers principes, parce que la synthèse a toujours quelque chose de plus lumineux cl de plus

salisfalsant que l'analyse , toutes choses ^(‘gales d’ailleurs. Mais il ne faut pas se priver par une afieclation déplacée, des secours bien supérieurs que fournit ordinairement la méthode analytique.

Je terminerai cet ouvrage par quelques réflexions, sur le mode que j’ai proposé dans la section seconde pour établir la corrélation des figures.

On sait combien il est plus facile , en général , de saisir une proposition un peu compliquée, et do l’appliquer à chaque cas particulier, lorsqu’elle est rédigée en formule algébrique, que lorsqu’elle est seulement énoncée en langage ordinaire : cependant les caractères algébriques ne représentent que les valeurs absolues des quantités ; et quant à ce qui regarde leurs positions respectives ou autres relations non susceptibles d’étre directement traduites par des équations, on y supplée par le langage ordinaire. Or il me semble que de même qn’on r.vprime par la notation algébrique" les rapportTdes valeurs absolues des quantités, on pourroit, par une autre notation, exprimer leurs rapports de position, et qu’il devroit en résulter un nouvel avantage, c’est-à-dire, une nouvelle facilité à saisir et appliquer les formules. C’est le but de la notation que j’ai proposée dans la seconde section et dont je me suis servi dans le reste de l’onvragc : cette notation pourroit être étendue davantage pour éviter encore un grand nombre de circonlocutions j mais j’ai cru devoir m’arrêter, quanta présent, à ce que j’en ai dit, parce que ces expressions n’étant pas familières, peuvent ne point obtenir l’assentiment des Géomètres. Je me bornerai donc à quelques développemens sur ce que j’ai déjà dit à ce sujet.

J’appelle/ormn/e technique une expression quelconque symbolique, propre à exprimer la position respective de plusieurs quantités, tandis que les formules algébriques e^\^x\meTiX. leurs rapports de grandeur.

Une. formule peut exprimer tout à-la-fois les rapports de grandeur et les rapports de position. Alors elle est en même temps technique et algébrique. Telles sont celles que nous avons

données (aaS). Il scruit aisé tl’y ramener de même toutes colles qui ont élé trouvées dans les problèmes xvi, xvn, xviii, &c. Four rendre techniques, par exemple, celles du problème xvi, il n’y aurait qu’à l’énoncer comme il suit.

Soit un triangle quelconque ABC; de chacun des angles soit abaissée une perpendiculaire sur le côté opposé ; et supposons

BAC = A , ABC = B, ACB = C , fe rayon du cercle circonscrit = R , /e point de concours des trois perpendiculaires =+= D

ÂD BC=#>H, BD ÂC#=G, CD ÂB=^=F, BC

ÂC FH =1= M, ÂB GH #= N, Âïî FG 4= /, BG ÏÜ 4= m

CF GH 4= n, on aura