ÂF, + BF, + DF, + ÂG^ — CG^— DG, + BAD, — CAD
+ ABD, +CBD, -t-ACD, +BCD
— ABD, + CBD, — ACD, + BCD + ABD, +CBD, + ACD, —BCD + ABD,— CBD, +ACD, +BCD
Au moyen de ce tableau général de corrélation entre 1rs
iS
ii4 GEOMETRIE
quatre systèmes , les formules de l’un quelconque d’entre eux
étant données , on verra de suite quelles sont les mutations
à faire dans les signes pour les appliquer à un autre , puisqu’il
n’y aura qu’à changer ceux des signes qui ne se trouvent pas
les memes pour les deux systèmes comparés dans le tableau
précédent.
Quelqn’autre triangle qu’on puisse proposer, il sera toujours facile d’établir sa corrélation directe avec l’un des quatre systèmes précédens, et par conséquent de trouver les formules qui lui seront immédiatement applicables.
PnOBI/ÉME V.
gg. Quatre points quelconques A , B, C, D, étant placés sur un même plan ( fig. 34) , ef joints deux à deux par des droites prolongées jusqu’à leurs rencontres respectives ; établir les corrélations de construction et de position qui existent entre toutes les figures qui résultent de V assemblage de ces six lignes droites , suivant les diverses positions que peuvent prendre les quatre points A , B , C , D,
Il est aisé de voir qu’on peut réduire à trois les figures proposées j car les points ABCD peuvent être disposés, i°. de manière que les quatre droites consécutives AB, BD,DC, CA forment un quadrilatère à quatre angles saillans (hg. 34), et contenant entre elles un espace continu ; a°. de manière qu’il y ait un angle rentrant (fig. 36); 3°. de manière que les quatre droites AB, Bl5, DC,CA, forment deux triangles ABG, CDG , opposés au sommet (fig. 38). Mais on peut toujours donner à ces figures le nom de quadrilatères, parce qu’elles sont toutes formées par l’assemblage de quatre droites, et qu’on peut passer de l’une à l’autre par le mouvement continu des quatre sommets A, B,C,D.
Cela posé , je prends l’un quelconque de ces trois quadrilatères; par exemple, celui de la (fig. 54) pour terme de comparaison, et j’établis successivement sa corrélation ayte chacun
DEPOSITION. iif)
(les (leux anlres. Commençons par le qundrilalèrc à angle rentrant (fig. 56). J’acccnlue (fig, 55) les lettres de ce système corrélatif , pour les distinguer de celles du système primitif ABCDFGH.
D’après ce qui a été dit dans les exemples précédens , il est aisé de voir que les mêmes lettres sont placées dans les deux figures aux points correspondans ; car, par exemple , on a dans
le premier système F=f=AB CD, et pareillement on a dans le
second F'=#=A B' C'D'jdemême G=f»AC'BD,etG'"4=A C' B'D',&c. Nous avons donc déjà la corrélation de construction connue il suit :
syst ABCDFGH
a' syst A' B' C' D' F' G' II'.
La corrélation de construction ainsi établie, celle des valeurs absolues suit sans difficulté, puisque les parties corrélatives des deux figures sont évidemment déterminées par les points correspondans. Il reste donc à établir la corrélation de position ou celle des signes.
Pour cela, je fais d’abord l’énumération des quantités que je veux faire entrer dans le tableau de corrélation. Bornons-nous
aux suivantes : AB , AC , AD , BC , BD , CD , AF , BF, AG , CG,Âil, DÏÏ, BÏÏ, CÏÏ, BG, ÏÏG, CF, DF, BAC,BAD, C^,ABC, ABD,CBD,CBF,DBF, ACB, ACD,BCD,BCG, DCG, BDA, CB A, BDC, BDF, CDG, ADF, ADG, FDG, AHB, AHC, AFD, AGD.
Cela fait, j’imagine dans le système primitif un mouvement graduel en vertu duquel ce système se transforme dans le système corrélatif. Par exemple, j’imagine que le point D se meuve vers A jusqu’à ce qu’il ait passé le point H, les points A, B, C, restant fixes. Il est clair que F et G se mouveront en même temps vers A sur les droites respectives FA, GA, qu’ils coïncideront avec B, C, au moment où D se trouvera sur BC, et
Ii6
GEOMETRIE qu’cnfin ils viendront se placer respectivement entre Â, B, et A , C; après cela , il n’y a plus qu’à supposer une mutation graduelle dans les valeurs absolues, pour que la figure primitive coïncide entièrement avec la figure corrélative ; ce qui ne change plus rien à la corrélation des signes.
Je suppose donc , en effet, ce changement opéré de manière qu’il y ait superposition entre les deux systèmes, et j’examine premièrement, quelles sont dans ce mouvement celles des quantités ci-dessus énumérées , qui n’ont passé ni par o ni par 00 J car celles-là seront restées directes, et l’on saura déjà que le signe de corrélation de chacune d’elles est -b.
Or en suivant la marche indiquée dans les exemples précédens, il sera facile de voir que les quantités qui n’ont passé ni par O ni par oc , au moment de la coïncidence de D sur BC sont • ÂB, ÂC,ÂD, BC, BD, CD, XF, ÂG , ÂH, BÏÏ, CH, BG, DG, CF, DF, BAC, B AD, CAD, ABC, ABD, CBF, DBF, ACB, ACD, BCG, DCG, BDA , CBA, BDC, ADF, ADG , FDG , AHB , AUC, AFD, AGD. Il ne reste donc que les sept
quantités BF, CG, Ï5h, CBD , BCD, BDF, CDG qui ayant passé par o , puissent être inverses dans le nouveau système. J’examine donc ce que devient chacune en particulier.
1°. Dans le système primitif , on a.... BF=AF — AB,
et dans le système transformé B'F'= A'B' — A'F' j
donc B F' est inverse , et son signe de corrélation — .
2°. Dans le système primitif , on a ... . CG=AG — AC ,
et dans le .système transformé C'G’= A'C' — A'G' ;
donc C'G' est inverse , et son signe de corrélation — .
5°. Dans le système primitif, on a. . . . D H = A D — AH ,
et dans le système transformé D'H'= A'IF — A D'j
donc D'H' est inverse , et son signe de corrélation — .
4*. Dans le système primitif, ona C^D=ABD — ABC,
et dans le système transformé C'B'D'= A'B'C' — A'B'D';
donc C'B'D' est inverse , et son signe de corrélation — .
5®. Dans le système primitif ,ona BCD = ACD — ACB,
et dans le système transformé ’• B'C'D'= A'C'B' — A'C'D' j
donc B'C'D' est inverse, et son signe de corrélation — .
6°. Dans le système primitif, ona BUF = a6f — ADB,
et dans le système transformé B'D'F'= A'I3'B' — A'D'F';
donc B'Ü'F' est inverse , et son signe de corrélation — .
7”. Dans le système primitif, ona CDG=AüG — ADC,
et dans le système transformé C’D'G'= A'D'C' — A'D'G';
donc C'ü G' est inverse , et son signe de corrélation — .
Voilà donc la corrélation des signes entièrement établie entre les deux systèmes ABCDFGH (fig. 34) et A'B'C'D'F'G'Il' ( fig. 35) ; ainsi l’on aura sans difücalté le tableau général de corrélation cherché.
100. Si l’on adapte les mêmes lettres aux deux systèmes , ou qu’on supprime les accens du second , on verra, que pour rendre les formules du système primitif (fig. 34) applicables au système corrélatif (fig. 36) , il n’y a qu’à changer dans ces formules les signes des sept quantités BF, CG, DH, CBD,BCD,
bi5f, dJG.
101. Tai maintenant à examiner le cas où les quatre côtés consécutifs du quadrilatère AB, BÜ,BC,CA, (fig. 38) forment deux triangles opposés au sommet.
Je procède comme ci-dessus , jusqu’après l’énumération des quantités qui doivent entrer dans le tableau de corrélation. Cela fuit, j’imagine dans le système primitif, un mouvement graduel
rn vertu duquel ce syslèiiie se transforme dans le système corrélatif (lîg. ,77). Par exemple, j’imngine qu’il y a échange de position entre C etD parmi mouvement continu de C vers Fjusqu’an-delii du point D, les points A, B, D, F, restant fixes. Après cela, il n’y a plus qu’a supposer une mutation graduelle dans les valeurs absolues, pour que la figure primitive coïncide entièrement avec la figure corrélative; ce qui ne change plus rien à la corrélation des signes.
Je suppose donc en effet ce changement opéré de manière qu’il y ait superposition entre les deux systèmes, et j’examine dans ce mouvement quelles sont celles des quantités ci-dessus énumérées qui ont passé par o, ou par 00 ; car ce sont les seules qui puissent être inverses. El l’on saura déjà que le signe de corrélation de chacune des autres est -f-.
Or en suivant là marche indiquée dans les exemples précédens,il sera facile de voir que les seules quantités qui ayant passé paro ont pu devenir inverses sont les sept suivantes: CD ,
CG, J)H, CH, DG, CAD, CliD. J’examine donc ce que de-
vient en particulier chacune d’elles.
1°. Dans le système primitif , on a CD = CF — FD,
et dans le système transformé C'D'— F'D' — C'D' ;
donc C'D' est inverse, et son signe de corrélation —
a®. Dans le système primitif, on a CG =AG — AC,
et dans le .système transformé C'G'= A'C'— A'é';
donc C G' est inverse, et son signi de corrélation — .
3®. Dans le système primitif, on a.... DH=AD — AH,
et dans le système transformé D®= A'H'— A'D' ;
donc D'H' est inverse , et son signe de corrélation — .
4°. Dans le système primitif, on a CH=BC — BH,
et dans le système transformé C'H'= BH' B'C';
doue C'H' est inverse , et son signe de corrélation — .
Déposition. 119
5®. Dans le système primitif, on a DG=BG — BD,
et dans le système transformé D'G'=B'D' — B'G';
donc DG' est inverse, et son signe de corrélation — .
6“. Dans le système primitif , on a CAD=BAC — BAD,
et dans le système transformé C’A'D'= B'A'D' — B'A'C'j
donc C'A'D' est inverse , et son signe de corrélation — .
7". Dans le système primitif, on a CBD=-AB D — ABC,
et dans le système transformé C'B D'=A'B'C' — A'B'D';
donc C'B'D' est inverse, et son signe de corrélation — .
Voilà donc la corrélation des signes entièrement établie, entre les deux systèmes ABCDFGH (f»g. 34) et A'BC'D'FG'H' (fig. 07) , ainsi l’on aura sans difficulté le tableau général de corrélation cherché.
102. Si l’on adapte les mêmes lettres aux deux systèmes (fig. 34 et 38), on qu’on supprime les accens du second, on verra que pour rendre les formules du système primitif (fig. 34) applicables au système corrélatif (fig. 38), il n’y a qu’à changer dans CCS formules les signes des sept quantités CD, CG, DH, CH, DG, CAD, CBD.
On peut donc établir entre les trois systèmes représentes (fig. 34, 3G, 38) la corrélation suivante, dans laquelle on a, pour abréger, supprimé les termes qui conservent le même signe dans les trois systèmes.
Corrélation générale des trois systèmes représentés (fig. 34, 56,38). 1*^ syst. d* CD , d“ BF , -t- CG , d- DH , d“ CH , d* DG ,
3' syst jd- CD,— -M, — CG,--DH, + CH, d- DG,
5' syst (—CD, d-W^,— CG,— ÏÎH , — CH, — DG,
id- CAD , d- CBD , + BCD , d- BDF, d- CDG + CAD, — CBD, — BCD,— BDF, — CDG — CAD , — CBD , d- BCD , d- BDF , d- CDG
GEOMETRIE Au moyen de ce tableau général de corrélation entre les trois systèmes ; les formules de J’un quelconque d’entre eux , étant données, on verra de suite quelles sont les mutations à faire dans les signes pour les appliquer à un autre, puisqu’il n’y aura qu’à changer ceux des signes qui ne sc trouvent pas les mêmes pour les deux systèmes comparés dans le tableau précédent.
Quclqu’aulre quadrilatère qu’on puisse proposer , il sera toujours facile d’établir sa corrélation directe avec l’un des trois systèmes précédens, et par conséquent, de trouver de suite les formules qui lui sont immédiatement applicables.
lo3. Nous avons donné la dénomination commune de quadrilatères aux trois figures (fig. 34,56,58) formées chacune
par l’assemblage des quatre mêmes droites AB, BD, DC, C A ; parce qu’en effet ce sont trois figures corrélatives résultantes du mouvement graduel des quatre points A, B, C, D, et qui ont essentiellement les mêmes propriétés, pnisqu’ainsi qu’on lo vient de voir lorsque celles de l’un quelconque des trois sont exprimées par des formules, il suffit d’y changer le signe de quelques-unes des quantités qui y entrent, pour les rendre applicables à chacune des deux autres. J’appellerai quadrilatère complet la réunion de ces trois quadrilatères simples , c’est-àdire l’assemblage des quatre droites AB, BD, DC, CA prolongées jusqu’à leurs rencontres respectives.”
En supposantdonc quatre points quelconquesA, B,C,I},ct les prenant dans quel ordre on voudra , par exemple , A , B , D , C , si l’on joint le premier point A au second B , le second B au troisième D , le troisième D au quatrième C , le quatrième C au premier A; ABDC sera un quadrilatère simple , et la réunion des trois quadrilatères simples ABDC, AFDG,BFCG, formés par l’assemblage des quatre droites AB, BD, DC, CA, prolongées jusqu’à leurs rencontres respectives , sera le quadrilatère complet.
Chacun des quadrilatères simples a deux diagonales. Joignant le premier point aveu le troisième, et le second avec Je quatrième
DE POSITION. lîi
Irième, elles sont AD, BO , pour le premier A BDC ; AD, l'(J , pour le second AFDG ; et BC, FG , pour le troisième BFCG j mais chacune de ces diagonales étant commune à deux de ces trois quadrilatères, il en. résulte en tout trois diagonales diilcrentes pour le quadriltdère complet.
On peut appliquer les memes idées aux polygones d’un plus grand nombre de côtés. Par exemple, si l’on a cinq points, et qu’on les prenne dans un ordre quelconque, on aura un pentagone en joignant le premier au second , le second au troisième , le troisième au quatrième, le quatrième au cinquième, et le cinquième au premier, et comme le changement d’ordre qui peut avoir lieu entre ces cinq points est 4.3 ou 12, il suit que cinq lignes droites quelconques tracées dans un plan , forment douze pentagones différens , dont la réunion peut s’appeler pentagone complet; et en général, si l’on nomme n le nombre des
lignes tracées , il résultera de leur assemblage
polygones d’un nombre n de côtés chacun , et dont la réunion formera le polygone complet de l’ordre n ou du nombre n de côtés.
1 o4. On voit parles exemples donnés ci-dessus, comment on peut établir la corrélation de deux figures, à priori, c’est-àdire, avant de connoîlre les formules du système primitif; car nous ne connoissons pas les propriétés des figures dont nous avons établi la corrélation, ou du moins nous n’avons fait aucun usage de ces propriétés pour établir cette corrélation ; et celte même corrélation nous indique d’avance les changemens ' de signe qu’il sera dans chaque cas nécessaire de faire éprouver aux formules du système primitif, pour les rendre applicables au sytème transformé.
Mais la dillicullé d’établir à priori la corrélation de position , augmente d’autant plus, que les figures deviennent plus compliquées; et la manière la plus simple d’obtenir les formules propres à chaque transformation particulière , est souvent de rc-
commencer en entier la série des raisonnemens qui ont été faits sur le système primitif, en les modifiant suivant que l’exigent les nuances qui caractérisent les deux systèmes. Mais pour saisir ces nuances , il est toujours très-avantageux d’établir d’abord la corrélation de construction ; opération communément assez facile ; car on a pu remarquer dans les exemples ci-dessus, que la principale difficulté consiste dans la recherche des changemens de signe, ou corrélation de position. La corrélation de construction qui détermine les valeurs absolues, est d’un grand secours pour diriger dans l’application des raisonnemens établis d’abord sur le système primitif, lorsqu’on veut passer aux divers systèmes corrélatifs , sur-tout si l’on a soin , comme nous l’avons fait ci-dessus , d’appliquer les mêmes lettres différemment accentuées aux points qui se correspondent par celte corrélation de construction. Ce mécanisme n’est point indifférent ; l’analyse en général n’étant elle-même, à proprement parler, qu’un mécanisme ingénieux adapté à la partie de la dialectique qui a pour objet la comparaison des grandeurs.
C’est sur tout lorsque la corrélation devient imaginaire ou complexe, qu’il devient presque toujours très-difficile d’établir à priori la corrélation de position ou des signes, et qu’on est obligé de SC borner à établir la corrélation de construction , en tirant ensuite de l’analogie indiquée par cette corrélation, les moyens de découvrir les modifications qui dislingucut les systèmes comparés.
Soient pris pour exemple, le cercle et l’hyperbole équilatcre entre lesquels il existe , comme on sait, un rapport très-intime , et qui sont en effet deux systèmes en corrélation complexe.
l*o5. Soient donc BDCFM un cercle et BM'N'Cm/i (fig. 3g), une hyperbole équilatère construits sur les mêmes axes ou diamètres. Puisque l’équation du cercle csljj = aa — xx en comptant les abscisses du centre et nommant a le rayon, x l’abscisse, ,r l’appliquée ; et celle de l’hyperbole 'y — aa. Ilestclair qu’en effet, la corrélation n’est simple qu’entre les fonctions aa,
*•*>>')' ‘l’une part, el aa, x'x',y'y' de l’autre; mais qu’entre les quantités simples elles-mêmes a, x^y, d’une part, eto,x', y' de l’autre, elle est seulement imaginaire ou complexe, et qu’elle peut s’exprimer ainsi ;
i*’^yst O, X, y.
a' syst O, X, y U'^.
Soient A le centre commun des deux courbes, BC le diamètre au premier axe , M un point quelconque de la circonférence , MP l’appliquée de ce point, AP l’abscisse correspondante.
Par les points B, C, menons au point M des droites , et prolongeons C M jusqu’à ce qu’elle rencontre l’hyperbole en M'. De ce point M' menons l’appliquée M'P', et des points B , C , les droites BM', CM'. Menons enfin du centre A les droites AM, AM'.
Cela posé, en prenant M, M' pour points correspondans dans les deux systèmes, il est clair que nous aurons la corrélation da construction suivante :
1 syst A B C M P
a* syst ABC M'P';
d’où l’on tire de suite la corrélation de construction comme il suit :
i"syst... ÂB,ÂM,BM,CM,ÂP,BP,CP,CBM,BCM,&c.
Q' syst... ÂB,Âîir,BM^',CM^,ÂF,BP',cF,CBM',BCM',&c.
Le cercle ayant pour équation MP’= AB’ — AP’ et l’hyperbole M l"’ = AP'’ — AB’; voyons d’après la corrélation de construction de ces deux figures , jusqu’à quel point les propriétés de l’une sont applicables à l’autre.
Je décompose le second membre de chacune de ces équations en ses deux facteurs : ce qui donne ,
pour la première , MP’ = (AB+AP ) (aB — AP) et pour la seconde , M'P' ’ = ( AB + AP' ) ( AP' — AB ) ; d’où je vois que la quantité À P' — AB ou BP' est devenue
inverse n l’cgavd de sa eorrespondante AB — AP, tandis que
AB + AP' ou CR correspondante de AB + AP ou CP , reste
directe.
Puisqu’on a ÂB +ÂP = CP , ÂB + ÂP'= CP', Âl—ÂP= BP , AP' — AB = BP' , les équations comparatives ci-dessus deviendronlMP’ = BP.CP, SFP" = BP'.CP'; ce qui donne ces deux
proportions correspondantes CP : MP :: MP : BP ; et
CP': M'P' : : M'P' : BR , et par conséquent cette propriété commune , que d;ms chacune des courbes comparées, l’appliquée est moyenne proportionnelle entre les distances du point où elle coupc l’axe à ses deux extrémités.
Les triangles semblables CMP , CM'P' donnent
CP : MP CP' ; M'P'. En comparant cette proportion avec l’une quelconque des deux précédentes, on aura MP : BP :: CP :M'P'. Donc les deux triangles corresporidans BMP , BM'P', ont leurs côtés udjacens à l’angle droit proportionnels; donc ces deux triangles sont semblables : ce qui est une nouvelle analogie entre les deux courbes.
li suit de celle similitude^ que M'BP' = MBP; c’eôt-à-dire, que les droites corrélatives MU, M'B font le même angle avec l’axe BC , mais dans des sens opposés.
Dans le cercle, l’angle BMC formé par les droites menées du point M aux deux sommets de la courbe est égal à la somme des
deux autres MBC, MCB. Voyons ce qui a lieu pour l’angle cor-
respondant BM C de l’autre courbe. Or l’angle M'BP' extérieur au triangle M BC , est égal à la somme des deux autres angles du
même triangle; donc BMC = MBP' — MCP', c’est-à-dire, que dans l’hyperbole équilalère l’angle formé par les deu.x droites menées d’un point quelconque aux deux sommets , est toujours la diflérence des angles que forme chacune de ces deux lignes avec l’axe, tandis que dans le cercle c’csl la somme.
is5
Cette propriété de la courbe hyperbolique nous donne , en
nommant l’angle droit, M fîC — M'CB = -» ; et par la même raison, si nous prenions sur cette courbe un nouveau point N',
nous aurions aussi N'^C — N'C B = ■»•, ôtant de cette dernière équation la première, et transposant, on a N BC — M'BC =
N'CB — M'CBouN'BM' = N’CM'} c’est-à-dire, que dans l’iiypci'bule équilatère, ainsi que dans le cercle, les angles qui ayant leurs sommets respectifs aux extrémités de l’axe, sont appuyés sur un même arc, sont égaux entre eux.
Si des points correspondans M, M', on abaisse les perpendiculaires Mjd , sur le second axe UF; il est clair que les deux
trapèzes jj'M'BA, seront semblables et donneront :
BA :: B A : M/j' ou AP : BA::BA : AP'j c’est-à-dire , que le demiaxe commun B A est moyenne proportionnelle entre les deux
abscisses correspondantes AP, AP'.
Enfin la propriété qu’a le cercle d’avoir tous ses rayons égaux , trouve aussi dans l’hyperbole cquilalcre une propriété , qui quoique différente , lui correspond évidemment. Eu effet, puisque les trapèzes ABM/» , /j'M'BA sont semblables, si l’on tire les diagonales AM , B/»', on voit que dans le premier trapèze , la diagonale AM et le côté AB étant égaux, la diagonale B/j'de l’autre, et son côté M'p' doivent aussi être égaux entre eux j c’est-à-dire, que dans l’hyperbole équilatère , tout point du second axe est également éloigné du sommet de la courbe, et du point de cette même courbe qui correspond perpendiculairement au premier. Ce qui donne, comme on voit , un moyeu très-simple de construire par points l’hyperbole équilatère.
Je n’ai fait ici qu’ébaucher un rapprochement qui pourroit être poussé beaucoup phis loin; mais mon objet étoit seulement de juonti'cr, par un exemple, comment la seule corrélation de construction entre deux systèmes, peut faciliter la recherche des propriétés analogues des systèmes corrélatifs , lors même que la
corrélation est seulement imaginaire ou complexe. Je reviens à ceux dont la corrélation est simple , soit directe, soit indirecte, afin d’appliquer encore à quelques nouveaux exemples les principes exposés ci-devant.
106. Une des applications les plus propres à faire sentir le jeu des quantités corrélatives en géométrie, est celle qui a lieu parmi les quantités Unéo- angulaires , c’est-à-dire , les sinus , cosinus, tangentes, &c. Ces quantités ne sont ni des lignes, ni des angles, mais des nombres abstraits qui servent d’intermédiaires, pour établir la relation de ces quantités hétérogènes ; car le sinus d’un arc n’est pas précisément la perpendiculaire abaissée d’une des extrémités de cet arc sur le rayon qui passe par son autre extrémité ; mais le rapport de cette perpendiculaire au rayon : autrement un même arc pourroit avoir une infinité de sinus différons, suivant la grandeur du cercle, au lieu que le sinus dépend uniquement de la grandeur de l’angle, et nullement de celle du rayon ; il ne marque autre chose que le nombre des parties du rayon que contient cette perpendiculaire, suivant que cet arc lui-même contient tant ou tant de parties de la circonférence entière.
FROBLÉMEVI.
10y« Etablir les corrélations de construction et de position existantes entre les quantités linéo-angulaires qui répondent aux diverses régions de la circonférence.
D’un point quelconque C (fig. 4o) pris pour centre , soit décrite une circonférence AFA'F' , et soient tracés dans cette circonférence deux diamètres AA', FF', perpendiculaires l’un à l’autre.
Sur le premier quart AF de la circonférence, soit pris à volonté un point B, et de ce point soient menées les perpendiculaires BD, BE sur les diamètres AA', FF' respectivement. Enfin , soient aussi menées, du point A une tangente indéfinie
H A H', du centre C par B, la sécante indéûnle CH, et du point F la tangente indéilnie FG.
Cela posé, prenant pour terme de comparaison ou système primitif la figure ABCDEFGH , il s’agit d’établir la corrélation qui existe entre ce système primitif et les divers systèmes corrélatifs qui peuvent avoir lieu , en supposant que le point B prenne successivement d’autres positions quelconques sur la circonférence tracée.
Imaginons d’abord que le point B se ment sur le premier quart de la circonférence , soit en se rapprochant du point A , soit en se rapprochant du point F, et que pour chacune de ses positions , on établisse le système corrélatif à celui qu’on a pris pour terme de comparaison ; c’est-à-dire, qu’on mène les lignes correspondantes à celles qui entrent dans la composition du système ci-dessus ; tous ces systèmes particuliers ne seront autre chose, que le premier système transformé de diverses manières par degrés insensibles.
Mais il est évident que le point B n’étant pas sorti de ce premier quart de circonférence , et ii’ayant par conséquent passé ni par A ni par F, aucune des quantités du système n’aura passé ni par o , ni par oo . Donc le système transformé sera toujours demeuré en corrélation directe avec le système primitif; donc tant que le point B ne sortira pas de ce premier quart de circonférence , aucune des valeurs du système transformé ne deviendra inverse ; donc les formules du système primitif lui seront immédiatement applicables.
Voyons maintenant ce qui arrivera lorsque le pôint B ayant franchi le point F, se trouvera sur le second quart de circonférence.
Je le suppose arrivé en B', et j’établis le système corrélatif, en suivant pas à pas la construction du s3'stème primitif ; c’est-àdire, que du nouveau point B' je mène deux perpendiculaires B'D' B'E' sur les diamètres AA', FF respectivement ; qu’ensuite du point A, qui est toujours l’origine ou le premier point de
128 G fi O M fi T II r fi
l’arc, je mène la laiigenlc indéfinie HAll', qui se confond pour le tracé avec celle du premier syslcme; que du centre C par le point B' correspondant au point B du premier système, je mène la sécante indéfinie H'CG', et qu’enfin du point F qui termine le premier quart de circonférence, je mène comme dans le premier système la tangente indéfinie GFG' , qui se confond pour le tracé avec celle de ce premier système.
Cela posé, en concevant que le point B passe par F pour aller en B' , il est clair qu’au moment de sa coïncidence avec F, diffé-
rentes lignes du système , telles que BE, seront devenues o, et que d’autres, comme A H, seront devenues oo . Donc quelquesunes d’entre elles auront pu devenir inverses ; et pour établir la corrélation cherchée, il faut les distinguer de celles qui sont restées directes.
Pour cela établissons d’abord la corrélation de construction , c’est-à-dire, la correspondance des points qui terminent les arcs et les droites respectivement tracés dans les deux systèmes.
La série des points du premier système , auxquels on peut d’ailleurs donner l’ordre qu’on vent, est, comme on le voit, ABCDEFGH , et celle des points du second pris dans le même ordre, en suivant la construction, est AB'CD'E'FG’H'. Donc la corrélation de construction s’établira de cette manière:
i" syst ABCDEFGH
2* syst A B' C D' E' F G' II'.
Cherchons maintenant la corrélation des quantités , c’est-àdire, celle des valeurs absolues; après quoi nous viendrons à celle des signes.
Cette corrélation sera très-facile à établir d’après la corrélation de construction qu’on vient de donner. On commencera par faire l’énumération des quantités du premier système qu’on veut faire entrer dans la comparaison de ce premier système avec le second ; et pour trouver dans ce second système chacune des valeurs correspondantes , il n’y aura qu’à voir les points qui les déterminent ; car celte quantité correspondra évidemment avec
celle
Digilized by
celle qui clans le sj'stèmc primitif est deiterminée par les points correspondans.
Par exemple le point A étant le même pour les deux systèmes, et le point B' du second répondant au point B du premier,
il est évident que l’arc AB' ou^ABB^ correspond à l’arc AB du premier.
Pareillement B' correspondant à B et E' à E, il est clair que' B'E' correspondra à BE, ainsi de suite. La corrélation des valeurs absolues, en prenant pour base la corrélation de construction établie ci-dessus sera donc comme il suit ;
r"syst. I AB, AF, BF, AC, FC, BC , BD, CE, AD,
a' syst ['ABB^AF, BT, ÂC, FC, BD, B^, cF, ÂD,
JbË, CD, FÏÏ,ÂH,FG,CH,CG
Ibë, cF, fF, âh', fF, cF, cF
Etablissons maintenant la corrélation des signes. Pour cela j’examine premièrement quelles sont au moment où le système primitif passe à l’état du second , c’est-à-dire , au moment où le point B passe en F ; quelles sont , dis-je, celles des quantités ci-dessus énumérées qui ne passent ni par o, ni par oo; car celles-là seront restées directes , et l’on saura déjà que losigne de corrélation de chacune d’elles est -f.
Or en suivant la marche indiquée dans les exemples précédens, c’est-à-dire, en considérant le système au moment où le point B va passer ou vient de passer par F, et lorsqu’il en est encore supposé infiniment près , il est aisé de voir qne celles de
ces quantités qui n’ont passé ni par o ni par oo, sont AB, a1^, AC , FC, BC , BD , CE , AD , CG. Il ne reste donc que les quantités BF, BE,CD, FE, AH, FG, CH, dont les unes ayant passé par o , les autres par oo , puissent être inverses dans le nouveau système j j’examine donc ce que devient chacune d’elles en particulier.
i3o GEOMETRIE
i®. Dans le système primitif, on a Ê? = AF — AB ,
et dans le système transformé B F = AB' — AF ;
donc ëî" est inverse , et son signe de corrélation — .
a°. Dans le système primitif, on a BE = AC — AD ,
et dans le système transformé B E'= A D' — AC ;
donc B'E' est inverse, et son signe de corrélation — .
3®. CD' par la même raison , est inverse et sou signe de corrélation — .
4®. Dans le système primitif, on a FE = FF' — EF' ,
et dans le système transformé FE'= FF' — E'F'j
donc F£' est directe, et son signe de corrélation +•
5®. AH' a passé par oo au moment de la coïncidence de B avec F ; pour savoir ce qu’elle devient, je prends à volonté un point fixe K sur la direction de cette tangente et au-delà du point H. Ccfa posé,
dans le système primitif , on a AH = AK — HK,
et dans le système transformé AH'= H'K — AK j
donc AH' est inverse , et son signe de corrélation — .
On peut démontrer la même chose sans recourir au point d’emprunt K j car les deux triangles semblables ACH', E'B'C,
donnent AH' : AC :: E'C : E'B' ou AH' = —
ËB’
Or.(^ djcrnier membre est inverse (37), puisque d’après les signes de corrélation trouvés ci-dessus pour AC , E'C E'B', cette dernière seule est ipyerse.
6*. De la, même manière, on prouvera , en prenant sur FG nn point d’emprunt au-delà^ du point G ou par les triangles semblables^ FG'C , E'B'C que la, quantité FG' doit être inverse et son signe dp corrélation — .
7®. Les triangles semblables ACH', E'B'C, déjà considérés ci-
DEPOSITION. i3i
dessus, donnent CH' = Or dans ce dernier membre ,
E'B' seule est inverse; donc CH' est aussi inverse, et son signe de corrélation — .
Voilà donc la corrélation des signes entièrement établie entre les deux systèmes ABCDEFGH, AB'CD'E'FG'; ainsi nous aurons le tableau général de corrélation entre ces deux systèmes comme il suit :
i"syst....f+ AB, +AF,+ BF,+ÂC, + FC, + BC,+ BD , + 0^, a* syst....l + ABB^, +'Al’,— B^, + ÂC,+ FC, + BË,-bB^,+ CE', f + AD ,+ BE , + CD , -J-FË ,+ AH ,+ FG ,•+■ CH ,+CG I +Âïÿ,— B^',— CÏF, + W',— ÂÏF,— F(F,— eïTi + CG'
De plus, ce que nous venons dé dire du point B' lui est visiblement applicable tant qu’il ne sort pas du second quart de la circonférence, puisqu’aucune des quantités énumérées ne passant ni par o ni par ae , ne change de signe de corrélatioà ; donc ce tableau de corrélation a lieu pour tout le déuxièméquart de la circonférence; et il exprime les substitutions qu’il faudroit faire dans les formules du système primitif ABCDEFG, pour les rendre applicables au système corrélatif AB'CD'E'FG'.
Je passe au troisième quart de circonférence, en prenant maintenant, pour lui servir de terme de comparaison , le second quart que nous venons d’examiner.
1 o8. Je suppose donc que le point B' aille en B", après avoir passé par le point A', et j’établis le nouveau système, en suivant pas à pas la construction de chacun des premiers ; c’est-à-dire, que du nouveau point B", je mène les deux perpendiculaires B'D',B'E' sur les diamètres AA', FF' respectivement; que par le point A, qui est toujours l’origine de l’arc, je mène la tangente indéfinie H' AH", qui se confond, pour le tracé, avec les systèmes précédens ; que par le centre C et le point B" je
i3a GEOMETRIE
mène la sécante indéfinie D’CG", et qu’enfin , par l’extrémité F du premier quart de circonférence , je mène la tangente indéfinie GFG', qui se confond, pour le tracé, avec celle des systèmes précédens.
Cela posé, il est d’abord évident que la corrélation de construction s’établira comme il suit :
a' syst A B' C D' E' F G' H'
5' syst A B" C D" E" F G" H"
Et partant de cette base, nous établirons sans difficulté la corrélation des valeurs absolues comme il suit :
a‘ syst.. ABB^ IT', ÂC, FC, RC, ïm', CË', ÂÏÏ', 3' syst. . . . (âBB'B;AF,.FB^, ÂC , FC , BX , RÜ', CË'*, ÂÎT, JbjË, CD ,ï^, ÂH^, FG^, CÏF, CG'
(b^, cËr, FË^ Âïr, FG’, âr, c^
Il nous reste à établir la corrélation des signes. Pour cela, il faudra considérer séparément chacune des quantités du nouveau système , et la comparer avec sa correspondante dans le système précédent, pris maintenant pour terme de comparaison. Si les quantités ainsi comparées deux à deux sont demeurées directes entre elles, leurs valeursconserveront le même signe de corrélation , c’est-à-dire , qu’il faudra donnera chacune de celles du troisième système, le même signe de corrélation qu’à sa correspondante dans le second ; et si ces quantités sont devenues inverses l’une à l’égard de l’autre, il faudra donner à chacune des valeurs qui se trouvent dans le troisième système, le signe de corrélation contraires celui de sa correspondante dans le second.
Ainsi ÂBB^ n’ayant passé ni par o ni par oo pour devenir
ABB'B", doit rester comme dans le second système j c’est-à-dire, que son signe de corrélation dans le troisième système est aussi
FB' n’ayant pareillement passé ni par o ni par «e pour deve-
DEPOSITION. , i33
nir FB'Îb*, doit conserver le même signe de corrélation qu’il avoil dans le second système, c’est-à-dire, — .
En procédant ainsi pour chacune des autres quantités, on établira , comme il suit, la corrélation des signes, pour le troisième système.
3' sy s t. . . . -hABB'B'T + — fFt , -f AC , + FC', + FË,— ÊFÎr,
— CF; +Âïÿ',— +FF', -fÂH^,+FG^, —■CH', — CG".
De plus , CO que nous venons de dire du point B" lui est visiblement applicable , tant qu’il ne sortira pas du troisième quart de la circonférence, puisqu’aucune des quantités énumérées n’aura passé ni par o ni par oo . Donc les signes de corrélation trouves ci-dessus , ont lieu pour tout le troisième quart de la circonférence , et indiquent les changemens qu’il faudroit faite aux formules du système primitif, pour les rendre applicables à ce troisième quart de la circonférence. Il nous reste à examiner ce qui a lieu pour le quatrième quart
lOQ. Je prends maintenant pour terme de comparaison le troisième quart que nous venons d’examiner.
Supposons donc que B' vienne se placer en B'" après avoir passé par F". Etablissons ce nouveau système, en menant les perpendiculaires B"' D'", B" E" sur les diamètres AA', FP respectivement ; la tangente indélinie H AH' par le premier point A de l’arc , la sécante CB"H"', et enfin la tangente GFG"', par l’extrémité F du premier quart de la circonférence , de même que dans tous les systèmes précédens.
Le nouveau système sera donc, en suivant l’ordre de la construction comme ci-dessus, AB" CD" E" F G'" H'"; et procédant comme ci-tlessus, on établira la corrélation des valeurs absolues et des signes pour ce quatrième système comme il suit :
4'syst.. . . +AF,— B +ÂC, +FC, +ÏFc,
— B " D — CE + AD", + B"' E", + CD ", + FE'" , — AH", — FG", +CH", — CG'".
De plus, ce que nous venons de dire du point B"' lui est visiblement applicable tant qu’il ne sortira pas du quatrième quart de la circonférence. Donc les signes de corrélation trouvés cidessu» ont lieu pour tout ce quatrième quart, et indiquent les changemens qu’il faudroit faire aux formules du système primitif, pour les rendre applicables à oa quatrième quart de la circonférence.
1 lO. On pourvoit former un cinquième système en imaginant que le point B" revient à sa première position B en passant par le point A, puis un sixième, en imaginant qu’il va sc replacer de nouveau au point B' en passant encore par F , ainsi de soilejmais il est clairque les quantités qui entrevoient dans la composition de ces nouveaux systèmes , ne différcroient des premières que parla valeur des arcs , qui deviendroient plus grands que la circonférence ; c’est-à-dire , par exemple , que pour le
cinquième système, l’arc ne seroit plus AB comme le premier,
mais une circonférence entière plus ce même arc AB, tandis que toutes les droites tracées dans ce cinquième système seroient les mêmes que dans le premier : il en seroit de même du sixième système comparé au second , du septième comparé au troisième, du huitième comparé au quatrième ; du neuvième comparé de nouveau au premier, &c. On peut donc ramener tous les systèmes possibles aux quatre que nous venons d’examiner.
Réunissons maintenant les quatre systèmes en un seul tableau , et puisque les corrélations ne changent pas , tant que les points B , B', B", B'", restent chacun dans le quart de circonférence qui.lui est assigné, nous pouvons supposer, pour plus de simplicité (fig. 4i), que Eet E', coïncident, de même que E" et E", D et D", D' et D" respectivement ; ce qui nous donnera
BD ==Blr==Bïr'=B^', et BË = = B^ = B "E
DEPOSITION. i35
Le tableau général de corrélation des quatre systèmes sera donc établi comme il suit, en supprimant, pour simplifier, les cons>
tantes , comme AF , AC , dont on sait que le signe de corrélation est toujours + , et l’une de celles qui comme BD, CE, se trouvent doubles.
Tableau général de la corrélation des quaire systèmes.
Syst. du l'Y ..
quarldccirc...! + AB , +FB, +BD,-f-AD,+BE,+FE ,
Syst. du a*l ^
quart decirc...j+ABB', +FB^, +BD,+AD',-B£,+FE ,
Syst. du 3*
quart de cire... +ABBB', — FB'B^, — BD,-fAD',-BE,+FE*,
Syst. du 4*
quartde circ...l,+ ABB B'B",-FBÊ^,-BD,+AD,-|-BE,+FE*,
+ ÂH, +FG, +CÏÎ, +CG
— Âïï , — Fü , — CÏÎ , + CG
+ÂH, +FG,—CH,— CG - — Âïï,— FG, +CH,— CG
Au moyen de ce tableau comparatif, si les propriétés du sysr téme primitif, c’est-à-dire du premier quart de circonférence, sont exprimées par des formules entre les quantités ci dessus énumérées; il n’y aura, pour rendre ces formules applicables à un autre point quelconque de la circonfiérensc, qu’à y faire les ebangemens indiqués par les signes ; suivant qsie la seconde extrémité de l’arc dont l’origine est au point A , se trouve sur le second, le troisième ou le quatrième quart de la circonférence.
11 est évident qu’on appliquera de même à l’un quelconque des quatre systèmes , les formules propres à l’uii quelconque des
i36 GEOMETRIE
autres, en changeant les signes qui se trouvent diCférens dans
les deux systèmes. *
111. Les résultats de ce tableau peuvent sc réduire à une règle fort simple , et qui s’accorde avec ce que nous avons dit (.'58) sur les racines de l’équation qui existe entre les coordonnées d’une même courbe. C’est i“. que le signe de corrélation de BD est + , tant que le point B est au-dessus du diamètre AA' et — , lorsqu’il se trouve au-dessous; que le signe de corrélation de B£ est -f , tant que le point B est à la gauche de FF' et — , lorsqu’il passe à droite; 5°. que quant aux autres quantités du système, comme elles sont toutes fonctions de ces premières BD, B£, et de constantes, on juge qu’elles sont directes ou inverses, suivant que leurs valeurs, ainsi exprimées, avec les changemens de signes qu’on vient d'indiquer , donnent un résultat positif ou négatif (ay). Par exemple , lorsque le point circulant est en B', si l’on veut avoir la sécante Cfl”, ou fera cette proportion que donnent les triangles semblables CH"A ,
CB'D'; CËr :ÂC : : cF : GÎT ou CÏT = . Mais d’après
CD'
la seconde partie de la règle qu’on vient d’établir, CD" a — » pour signe de corrélation , tandis que AC, CB' ont l’une et l’autre + : donc le signe de corrélation de CH' est — , donc CH" est inverse; c’est-à-dire, que la sécante de tout arc plus grand que la demi-circonférence et moindre que les trois quarts , est inverse et sa valeur de corrélation négative.
112. Ceci est une nouvelle preuve, que la règle donnée ordinairement pour juger du signe que doit prendre une quantité , lorsque le système général vient à changer, est vague et même peu exacte. Cette règle est que le signe doit changer seulement, lorsque les lignes se trouvent prises dans une direction contraire à celle qu’on leur avoit attribuée d’abord. Or ici la sécante du troisième quart de circonférence, sc confond exactement tant
pour
DE POSITION, i37
pour sa grandeur que pour sa direction, avec celle qu’avoit celte même sécante dans le système primilil; elle devroit donc avoir le signe + , et cependant il est certain qu'elle a le signe — .
Celte règle d’ailleurs est visiblement insulFisantc, ainsi qu’oti l’a déjà observé (4a), pour le cas où les directions des lignes ne sont ni dans le sens primitif, ni dans le sens opposé. Comment juger, par exemple, si CH et CH' qui sout les sécantes correspondantes au premier et au second quart de la circonférence, ont ou n’ont pas le meme signe? puisque ces droites faisant un angle, ne peuvent être dites ni dans le même sens ni dans des sens opposés.
1 1 3. Il s’élève encore d’autres didicultés; car par exemple, on peut demander si le rayon CA et le rayon CA' qui sont pris dans des sens opposés , doivent avoir le même signe dans les formules j ou si ayant donné le signe + à CA , il faut donner le signe — à CA' ? Il est certain que CA étant une constante, sou signe de corrélation est toujours + ; cependant, d’après la règle, il semble qu’on devroit lui donner le signe — lorsqu’il devient CA' , pulsqu’alors il est pris en sens contraire de CA, qui a le signe -b. On dira peut-être , que la règle ne s’applique point aux constantes ; mais la règle ne porte point d’exceptions, et en supposant qu’elle donnât celle-ci, on pourroit demander encore quelle seroit la raison de celte différence entre les variables et les constantes ? puisque la règle est fondée, non snr la valeur absolue des lignes comparées, mais sur leurs positions respectives.
Enfin, on peut faire encore contre celle règle, l’objection suivante. BE" est, dit-on, positif, et B'E négatif : donc puisque ces deux droite! sont intrinsèquement égales , on doit avoir BE= — BEjdonciÏB', qui est BE-fB'E devient BE — BE = o ou BB' = o, ce qui répugne. Pareillement on auroil BB" = BU-t-B "ü, qui à cause de B"'D négatif deviendroil oj donc on auroil BU ' =o; autre résultat que le bon sens repousse. Eu
iC8 GEOMETRIE
atlincltanl neanmoins ces deux résulluls do la règle, on auroit BI3 .BB" = o; d’où suivroil, par exemple, que le carré inscrit dans un cercle seroit o. On sent bien que si l’on admettoil de pareilles conclusions en nialhématiqucs , celte science de l’évidence seroit bicniôl tellenienl dénaturée , qu’on ne s’entendroit plus. Celte règle est donc véritablement peu exacte, cl n’est j)as même fondée sur des raisons plausibles. On la donne comme une simple convention faite pour distinguer Ic.s différentes positions des lignes ; mais cela ne peut se f.iire par une convention , à moins qu’en prenant les signes + et — pour dislingiier ces positions, on ne prouve en même temps qu’on u le droit aloi,s de les employer de la môme manière, que lorsqu’on s’en sert simplement pour exprimer l’addition et la .soustraction : cl en effet, puisqu’on est maître de li.xer à son choix la direction des Ignés positives et celle des lignes négatives, pourquoi tout n’est-il pas égal entre les unes et les autres , et pourquoi, en liiullipliant une ligne positive par une ligne négative, celle- li a-l-clle le privilège de donner son signe au produit?
1 14. SupposonslerayondelacirconférenceAFA'F' représenté par I , le quapt de circonférence par'», et faisons AB =n, nous aurons donc
AB = a, ABB^ =2v— a, ABB B’=a«-f a, ABB inr=:4^u, 6f=v— U, fÎTb' ='»-fa,i'B b B^' =5^ — a,
BD=sin.o,BE=cos.a,AD=8i^.v.a,FE=cos.x^o,AD'=2— sin.v.o, AH=tang.o,FG=cot.a,CH=scc. a , CG=coséc.n,FE"=2— cos.v.o-
En substituant ces valeurs dans le tableau général de corrélation ci-dessus, il prendra la forme suivante :
+(« — a), +3in. O, +COS.O, +tang.«,
Sy<t. de« arci .
dont lo dernier/ point tombe suri le l'^quart de lal
circourérencc....| -(-0,
Syat. deatarcsj dont le dernier | point tombe sur le U* quart de la .
circouférence.... '4.(3* — a), — (‘o—à) , + sin.O, —COS. a, — tapg. a ,
Syst. des arcs ^ dont le dernier J point tombe sur J Te 3* quart de la I
circonférence.... 14.(3^+ a), — (;v+a), — Stn.a, — COS. S, 4-tang. a,
Syst. des arcs!
dont le dernier/ point tombe suri le 4* quart de la[
circonférence.... V 4- (4» — a) , — (3'v — o), — sin. a , 4" COS. a, — tang. a ,
+ col. O, +s6c. a, 4-coséc.a, 4- sin. v. a, 4-cos. v. a.
I — cot. a, — séc.a, +coséc. a, +2 — sin.v.o, 4- cos. v. a |4-cot. O, — séc. O, — coséc. a, 4- 2— sin. v. a, 4- 3 — cos. v. n — cot. a, 4" séc.a, — coséc. a, 4- sin. v.a, 4- a — cos. t. a
Ce tableau a lieu quelle que soit la valeur de a, pourvu qu’il soit moindre que le quart de circonférence. Supposant donc que b soit le complément de a , ce même tableau aura Heu en y mettant b k la place de a,- donc puisque par Hypothèse on a b = v — a. Ce même tableau aura encore lieu, en substituant dans celui qui précède, « — a au lieu de a; et par conséquent cos. a pour sin. a, sin. a pour cos. a, cot. a pour lang.a, &c. Or par cette substitution le tableau devient :
Synt* deg nrci * donl le dernierf point tombe sur Je I*' quart de la circoofcrencc .
Sy.ll. de* orcsl dont le dernier ' poit:t tombe sur le 2* quart de la circonférence ....
Syst. des ares' dont le dernier point tombe sur le 3* quart de la J circonférence...
Syst. des arcsl dont le dernier!
point tombe suri le 4* quart de lai circonfcrePce....\
— C03. a , — sin. a + cot. a,
+ cos. <7, — sir. O — cot. fl,
+ (3'p — fl) — (aa — fl), — cos. fl, — sin. fl + col. a,
+ (3«+o) — (ü-s+fl), — eus. fl, + sin. fl — col.<
H- lang. fl, +COSCC. fl, +scc. o, + cos. v. a, +sin. v. a
— lang. fl, — cosiîc. a, +séc. o, 4- a — cos.v.fl, 4-sin. v. a
+ taiig.fl, — cosdc.a, — séc. a , +a — cos.v.a, +a — sin.v.o
— laiig. fl, +coséc. fl, — séc. fl, +cos. v. a, +a — sin. v. a
1 l5. Après avoir examiné ce qui a lieu lorsque le point B circule clans le sens examinons ce qui arrive lorsqu’il
circule dans le sens contraire BB"'B'B'.
Pour cela, comparons le nouveau systerne AB"CD* E"'FG"'H" considéré comme produit par la circulation de B dans le seii.s BB"B'B', et établissons la corrélalion des valeurs absolues et de.s signes de ces deux systèmes, je dis qu’elle sera comme il suit :
Syst. prim... -J- AB, -b PB, 4-B13,+AD, -b BE, +PE,"i“AH, *kPG, -bCH, -|-CG Syst. transi:— AB^,+Î^VW’',+AJ>',+B"'E'',+fF^,-AF1%-PG^+CH^-CG^
En effet AB a passé par o pour devenir AB" au moment où le point B circulant p.ir liypolhèse dans le sens BB"B"B' a coïncidé
avec le point A. Doue AB a pu dcvciiir inverse en devenant
DEPOSITION, Ml
AB'" el cela a lieu en effet; car clans le système primitif on avoit
AB = AF — PB, et dans le système transforme, on aau contraire AB"'=PB"' — AF; donc le signe de corrélation de AB"' est — ,
puisque ni F B ni A F n’ont passé ni par o ni par ao . Donc aussi
FB n’ayant passé ni par o ni par « , doit avoir + pour signe de corrélation.
Dans le système primitif, on a B O = F C — F E , et dans le système transformé, au contraire, BD”' = FE ' — FC; donc BD"' est inverse , et son signe de corrélation — ; ainsi des autres.
SL l’on suppose maintenant que B parvenu en B"' continue à circuler dans le même sens, jusqu’à ce qu’il soit arrivé en B', puis ensuite en B', et qu’on lui applique toujours les mêmes raisonnemens que nous avons faits pour le cas où il circuloil dans le sens opposé, il est clair qu’on parviendra aux deux nouveaux tableaux suivans qui répondent à ceux que nous avons donnés ci -dessus, et par où l’on voit qu’en général les arcs dont la valeur de corrélation est affectée do signe — , désignent les arcs inverses pris dans le sens AB"'B''B'B.
Syst. (les arcs * donl le dernier/ point tombe suri le ■‘'quart de lal
circonférence....! — (4» — +.sir.n, +cos.o, + tang. U,
Syst. dos arcsi dont le dernier 1 point tombe sur I le a* quart de la !
circonférence.... J — (air-f o), +(5« + c), +sin.O, -COS.fl, — tang.O,
Syst. des arcs\ dont le dernier I
fmiiit loiiibc. sur | c 3‘ quart de la I
circonférence.... I — (aa’ — a), +(3-3— a), — sin.fl, — cos.o,4 lang.u,
Syst. des arcsi dont le dcrnicrl
point tombe sut I *
le 4‘ quart de lal circonfércuce....^ — a ,
+ ( «+«)> — sm.a, -4-cos. o,y-lang. a,
+ col. rt, +SCC. <7, foséc. (7, +sin.v.fl,
— col. <7 , — séc.77, +coscc.a, +7 — sin.v.o, j+col, û, — séc. c, — coséc.a , +a — sin. v. <7, +SÙC.O, — coscc.o, +sin.v. <7,
+ C05. v.a + cos. V. a + î — cos V. <7 + 7 — cas. v.a
Sysl. Je» ire» > dont le dernier' point tombe &m le r' quart delà
circonttiencc.... — (53- + a), -i-(4a + a}, +C03,0, 4-üin.<7, +Cül.<T,
Syat. des arcs dont le dernier poinl tombe sur !
le 3* quart de U
circonrérence.... j — o) , + (4 a — fl) , + cos. a , — siil. a , — ’COt. «7,
Syat. des ares' dont le dernier point tombe sur , le 3° quart de la I
cirogDféreiice....l^(» + a), +(2» + o), — COS. a , — sin. i», +cot.a,
Syst. des arcs dont le dernier point tombe sur le 4* quart de lu
circonf6rence,...\ — (v — a), +(2'a-r-a', — COS. a, +8tn.a, — rot.<7.
'+tang.a., + coséc. a, + séc. a, + cos. v. o, +.«in.v.a
I — tang. a y— coséc. a , + séc. a , + 7 — cos. v. a , + sin. v. a
I + tang. a , — coséc. a , — séc. a , + a — cos. v. a , + a— sin. v. a
r tang. <7 , + coséc. a , — sec. a , + cos. v. o , + 2 — sin. v. «
Le système primitif auquel se rapportent ces quatre tableaux, étant toujours le premier quart de circonférence, c’est-à dire,
celui des arcs, AB, AF, BF, et des droites BD, BE, AD, &c., il suit que dans chacune des quatre lignes horizontales de chacun de ces tableaux, le premier terme exprime lu valeur coric-
lative de l'arc correspondant a AB, le second la valeur corrélative de son complément, le troisième la valeur co rrélalive de son sinus, le quatrième la valeur corrélative de son cosinus, &c.; c’est-à-dire que toutes ces valeurs sont de simples formes algéhriejucs , dont la propriété est, qu’étant substituées dans un cal*
cul quelconque établi sur l’iiypolhèse, que les arcs étoient positifs et moindres que le quart de circonférence, à la place des véritables quantités qu’elles représentent, clics rendroicntles résultats de ce calcul applicables à tous les autres arcs compris, soit dans un sens, soit dans le sens opposé depuis o jusqu’à la circonférence entière 4®.
quatre tableaux nous obtiendrons
sln. a -4- cos. a =b tang. a =t: cot. a -b séc. a :± coséc. a -b sin. V. a b cos. V. a -b (2 — cos. V. rt)
= -b cos. a = sin. a — zp cot. a ~ rp: tang. a = qp coséc. a COSCC. («ztn) — -b sée.a sin. V. (-»-b") = + ( a — eos. v. a) sin. V. ( -a — <i ) = -b cos. V. rt , cos. V. ( •:» ± rt) ■= -b siu.v. n sin. (a-s-rtfl) = =p; sin. a cos. (a'wirt) = — cos. rt tang. (a rtrt) = rt tang. a col. (a^rbrt) =r±.col. rt séc. (a-ffdbrt) = — séc. rt coséc. (2'S-rfcfl) = coséc. rt sin. V. fa^rt n) = -b (a — sin.v.n) cos. V. (2 « + «) = -b (2 — cos. v.rt)
W'OS. V.(2 3 — rt) r= -b CO.S. v.rt
