PU.V
DEPOSITION. t45
aux quantités effectives du système primitif qu’elles représentent , sans altérer l’exaclilude du résultat ; et qu’elles rendent seulement ce résultat applicable <à des cas non compris dans le système primitif sur lequel les raisonnemens ont été établis.
1 ly. Si dans ces équations on fait o = o elles se réduiront aux formules suivantes.
sin. O =0 cos. 0=1 tang. 0 = 0
COt. O =00
séc. 0=1 coséc. O = 00 sin.v. o= O cos. V. O = 1
sin. =1 cos. « =0
tang. ■» = 00 .cot. V =0 séc. V =00 coséc.'» = I sin.v.» = 1 l^cos.v.» = O
sin. 3 » = O
cos. a » = — I
tang. 3 » = O
cot. 3 » = — 00
séc. a » = — 1
coséc. a V = 30 sin.v. a» = a cos.v. 3» = I
sin. 3 «
cos. 3
lang. 3 V
cot. 3 •»
séc. 3 v
coséc. 3 w
sin. V. 3 »
cos.v. ôi»
sin. 4
cos. 4 -ü
lang.4’»'
cot. 4
SCC. 4
coséc. 4
sin. V. 4'»
cos.v. 4
118. Leâ formules trouvées jusqu’à présent ne se rapportent encore qu’aux arcs, soit positifs, soit négatifs, compris depuis O jusqu’à 4«- j mais il est évident qu’on ne cliangcra rien aux valeurs des quantités linéo-angulaires, en ajoutant à l’arc considéré une ou plusieurs circonférences entières , soit directes,soit inverses; c’est-à-dire, q-àws-, trp exprimant un nombre entier quelconque positif ou négatif. Or il est aisé de voir, qu’alors les équations trouvées (1 16) peuvent être toutes comprises dans le tableau suivant.
sin.
sin.
sin.
(4/« + a'v=fca) =
sin.
cos.
cos.
(4 WH- i-ffdto) c=
(éw-f-awia) =
cos.
(4/7t + 3'ff±a) —
DEPOSITION. i47
tang. (4m»±a) = db lang. a
tang. ( 4 -n + I w d= a ) = ^ cot. a
tang. (4/w+2’»±a) = rttang.a
tang. (4ffi4-3«dba) = cot.a
cot. (4mirdbo) =fc cot. a
cot. (4/«+i‘»±a) = =Ftang.o>
cot. (4m + awdbo) d= cot. a
cot. (4mT 3«±a) = tang. a
séc. (4m-»±a)= + séc. a
séc. (4m+ i «dra) = :^coséc. a
séc. (4a< + 2»±a) — séc. a
séc. (4m + 3wd=a) zfccoséC.a
coséc. (4 m'»' d= a ) = coséc. (4m 1 '»d: a ) coséc. ( 4 m 4* 3 ^ )
coséc. ('*m4-3«'=ta)
d: coséc. a + séc. a coséc. a — séc. a
r sin. ver.
1 sin. ver.
J sin. ver.
( 4 ai + 2
1 siii. ver.
s-dra) =»
i cos. ver.
1 cos. ver.
1 cos. ver.
V db a ) = .
1 cos. ver
vziza) =
. . sin.vcr. a fa — cos. ver. a f + cos. ver. a
- 3111. ver. a cos. ver. a 12 — cos. ver. a
COS. ver. a cos. ver. a
sin, ver. a
2 — cos. ver. a cos. ver. a a — sin. ver, a
1 1 g. Enfin dans ce dernier tableau , l’arc a est encore supposé réel ; mais (56) on peut maintenant changer à volonté son signe ou coëfilcient naturel i , en un autre signe quelconque pris parmi les racines , soit réelles, soit imaginaires de l’unité, sans que ces équations cessent d’être exactes algébriquement; et si par des transformations quelconques régulières on parvient à faire disparoître ce qu’elles pourront contenir d’inintelligible, les 'résultats seront alors significatifs , et immédiatement applicables aux quantités qu’ils contiendront.
Je me suis fort étendu sur cet exemple familier, pour développer davantage les principes exposés précédemment, et montrer combien il est essentiel de rapporter constamment le système variable à un système primordial, lorsqu'on ne veut jamais l'i océder que d’une manière claire et satisfaisante pour l’esprit ; cette marche, au surplus, n’apporte aucunes nouvelles difficultés , et Sert , au contraire , à en prévenir beaucoup.
L’invention des quantités linéo-angulaires doit sa naissance aux efforts qu’on a faits pour trouver la l'ésolution des triangles. On a pu s’appercevoir bientôt que cette résolution , en général , peut toujours se ramener à celle des triangles rectangles. On a donc pris pour terme de comparaison un triangle rectangle d’une base donnée, dont l’hypothénuse , par exemple, étoit représentée para : on a calculé ce triangle pour tous les cas possibles d’après cette hypothèse, et l’on a dressé des tables où ce calcul .se trouve tout fait : ces tables sont précisément ccdlcs qu’on nomme tables des sinus. (7est l’idée très-juste et trèslumineuse qu’en donne depuis long-temps Lacroix dans scs cours, et sur laquelle il a formé le plan de sa trigonométrie.
1 Ci O. Soil{fig. 4a) une droite quelconque BC prise pour lcrinc de comparaison; représentons celte droite par £,ct sur celte même droite, comme hypothénuse, construisons un triangle rectangle ABC, en attribuant successivement aux angles aigus toutes les valeurs possibles depuis o jusqu’à l’angle droit. Forinotis maintcn»oi un tableau de tous ces triangles : inscrivons dans la pre-
DE POSITION. ily
mière colonne le nombre des degrés de l’un des angles ; dans la seconde , la valeur du pelil côté qui lui est opposé , c’est-à-dire , le nombre abstrait qui le représente , lorsque l'hypotliénuse est exprimée par i , ainsi qu’on l’a supposé ; dans la troisième, ]a valeur de l’autre des petits côtés j dans la quatrième , le rapport du premier de ces petits côtés au second ; dans la cinquième , le rapport du second au premier, et enfin, dans la sixième, le second des petits angles. Cela posé , les propriétés connues du triangle rectangle font voir que le nombre inscrit dans la seconde colonne, n’est autre chose que le sinus de l’angle inscrit dans la première; que celui de la troisième en est le cosinus ; celui de la quatrième, la tangente; celui de la cinquième, la cotangente, et qu’enfin le sixième ou dernier est le complément du premier. D’où il suit que la table- qui résultera de ces diverses colonnes, n’est autre chose que la table ordinaire des sinus, cosinus, &c. Et que chacune des lignes horizontales de cette table n’est autre chose que le calcul tout fait d’un triangle rectangle : de celui dont les deux petits angles sont portés l’un à la première colonne, l’autre à la dernière ; qu’enfm cette ligne horizontale contient non-sculcmcnt sous les dénominations de sinus et cosi~ nus, les valeurs des petits côtés du triangle, mais encoresous la dénomination de tangente, le rapport du premier au second, et sous celle de cotangente le rapport du second au premier; de sorte que la table des sinus , cosinus , &c. n’est autre chose que le calcul tout fait pour tous les cas possibles du triangle rectangle dont rhypolhdnuse est exprimée par i.
Lors donc qu’on a un triangle rectangle à calculer, toute la difilculté se réduit à trouver la ligne horizontale des tables qui lui correspond ; car celte ligne est le calcul tout fait de ce triangle. Par exemple , si l’on connoissoit les deux petits côtés a , b d’un triangle rectangle, il ii’y auroit qu’à diviser a par b, et le
quotient ^ rcpréscnlcroit , d’après ce qui vient d’être dit, la tangente de l’angle opposé au petit côté a; en cherchant donc ce Bombre dans la quatrième colonne, la ligne horizontale des
i5o GEOMETRIE
tables où il sc trouvera , sera le calcul tout fait dd triangle proposé : c’est-à-dire, que dans la première et la sixième colonne, seront les angles ; dans la seconde et la troisième, les valeurs des côtés respectivement opposés à ces angles, en supposant l’hypothénuse représentée par i ; et enfin dans la quatrième et la cinquième, les rapports de ces mêmes côtés entre eux; savoir, dans la quatrième, celui du premier au second, et dans la cinquième , celui du second au premier ; et comme la valeur absolue des côtés est donnée par hypothèse, on aura par une simple proportion, la valeur absolue de l’hypothénuse.
C’est ainsi que les tables de sinus donnent la solution de tous les triangles rectangles possibles ; et comme il est facile de ramener au calcul des triangles rectangles celui de tous les autres, les tables de sinus suffisent au calcul de toute espèce de triangle.
121. Il paroitroit plus naturel de comparer directement un arc à sa corde même, qu’à son sinus qui est la moitié de la corde d’un arc double; c’est ainsi qu’on en a usé d’abord, et il seroit possible d’y revenir sans que la théorie perdît rien de sa simplicité; je pense môme qu’elle y gagneroit sous ce rapport, comme sous celui d’un enchaînement plus naturel.
Soit (fig. 4a) sur l’hypothénuse ^ d’un triangle rectangle BAC, prise pour diamètre décrite une circonférence, elle passera par ce sommet A de l’angle droit. Or je dis qu’en représentant
riiypothénuse par i,le côté AB est le sinus de l’angle ACB : car si du centre D on mène à AC la parallèle DH , il est clair qu’elle
tombera sur le milieu de AB; donc (lao) le sinus deADH ou
Âïî ÂB , , — . —
ACB est = - — ou a cause de BC = i , sin.ACB = AB; c’esl-
