sin. sin
sin. ( m + n )
COS
cos.
sin.
cos.
cos.
sin.
(nl + n
sin.
sin.
sin
sin.
.sia.
GEO MXT rie
siîi. m*— sin. n* = s^- (''•+”) sin. (m — n)
cos. m* — sin. n* ^cos, (m + n) cos,(»n — n)
y sin. (m + n) sin. (m — n)
lang.m‘ta^
sin. (m+w) sin. (m — n) COt. m* = : ;; — : ;
/ sin. m . sin. «
i<in.m +.sin. n
sin.
— sin. M
sin.
+ sin. n
cos.
+ cos. n
sin.
+ sin. Il
cos.
— cosm
sin.
— sin. n
cos,
+ cos. n
sin.
— sin.M
cos.
— cos.m
cos
+ cos. n
cos. n — cos. m
tang. r (m + n)
tang.H'" — '*)
tang. ï (m+n) col. “ ( m — «)
tang.K'"— ")
col. ï (m + M )
col. -J ( m — n ) séc. m + Stic, n
tang. ï (m+n) SCC. m — SCC n
sin. 1 m cos. a m
tang. a m
col. a m
a sin. m.cos. m cos. m* — sin. n* a long, m 1 — tang. m*
; cot m — f lang. m
cos. ï m tang. î m col. -j m
1/ 1 — cos.n»
I 1 + cos.m
sin. m 1 -f- cos. m sin. m 1 — eus. m
S. , . . tans, m' 1
siam* + cos.m* = I, sin.m*= , cos.m*=
I + lang. m’’ I ^ lang. m'
) cos.m*— sin.m*= cos. m’— sin.m* = cos. am
[ sin.m*. sin.i»*+cos.m’cos.n*+ sin.m* cos./i*+sin.n*.cos.m*=i.
Voici la démonstration des formules du premier tableau (laa). Le diamclre étant représente par i , d’après l’iiypollièse , chacun des angles qui ont leur sommet a la circonférence , a (121) pour sinus, la corde sur laquelle il est appuyé; donc d’abord
BD = sin.m, CJJ = sin.n , ainsi qu’il est porté au tableau; de
plus , l’angle E étant droit, l’angle ABC est le complément de m,
etACB complément de n; donc aussi AC = cos.m, AB = cos. n.
Et par la même raison, l’angle BAC étant m-l-«, on a BC = sin.(m fn), comme l’indique le tableau.
V étant le quart do la circonférence, l’angle ABÜ ou A BC-t-CBD sera « — m+n ou complément de m — ;i; donc AD = co3.(m — n) , comme on le voit au tableau.
Menons AF prolongée jusqu’à la circonférence en G , et lirons BG, puisque par construction on a FE = EC, on aura GAD = DAC = n; donc BAG = m — ny donc BG = sin.(m — n).
Or il est facile de voir que le triangle BGF est isocèle, r'.r l’angle BFG ou A FC est par construction, égal a AC B, qui est
appuyé sur le même arc que BG A; donc BFG = BG A, donc BF =BG, donc BF = sin. (m — /i) comme l’indique le tableau; elfiar un raisonnement semblable, on verra que AH=cos. (m + n).
La somme des deux segmens BE , CE est BC ou sin.(m-l-n) , et leur différence est BF ou sin.(m — ti); dont le plus grand
BE = 7 sin. (m -h n) -l- T sin. (m — ») ,
et le pins petit CE = 7 sin. (m + n) — 7 sin. (m — n) ;
i56 GEOMETRIE
ainsi qu’il est porté au tableau ; et par un raisonnement semblable, on verra que AE = 7 cos.(m — n) + i cos.(m + n)
et l)E = 7Cos.(m — n) — 7003.(1» + «)
D’un autre côté, le triangle A DE donne
AHoucos.ntBE ;; 1 ; sin. ira. Donc 13E = sin./n. cos.», et (le la même manière les triangles ACE, DDE, DCE, donnent CE=sin.ra, cos. rai, AE=cos.ira.cos.n, DE = sin. ira.sin.ra, ainsi que l’indique le tableau.
Enfin ajoutant ensemble la première et la seconde de ces dernières équations, on a EE + CE ou une nouvelle valeur de lîC , c’est à- dire, qu’on a BC = sin./ra cos.ra + sin.ra cos.m, comme le porte le tableau. En retranchant, au contraire, CE de BE, on a B E = sin . ira cos. n — sin. n cos. ira.
Pareillement, en combinant successivement AE et DE par addition et soustraction , on aura les secondes valeurs de AD, AH, telles qu’elles sont portées an tableau. Toutes les formules portées dans ce tableau sont donc démontrées.
Iî4. Quant au second tableau (127), les deux premières formules SC démontrent, en égalant ensemble les doubles valeurs des cinquième, sixième, septième et huitième formules du premier; et ces deux formules suihsent pour démontrer facilement toutes les autres. Comme cela se trouve dans les traités ordinaire.s de trigonométrie; j’y renvoie , mon objet n’ayant pas été d’écrire «n ouvrage suivi sur cette matière, mais seulement de présenter la question sur un nouveau point de vue.
Je me servirai pourtant de cette figure, pour démontrer, sans recourir à une autre la jiioposilion fondamentale sin. i«*4-
cos.ra*=i. En effet, l’angle AEC étant droit, la somme efes deu.x
arcs AC, BD, dont la moitié lui sert de mesure, fait deux droits; doncla corde qui souicndroil la somme de ces deux arcs est un diamètre; donc les deux cordes feroient un angle droit;
DEPOSITION. i57
donc la somme de leurs carrés est égale au carré du diamètre qui est 1 par hypothèse j donc sin./7i*+cos./n*=i.
A cause du triangle rectangle AEC, on a AC = AE^ + CE , et BD = BE’ + DE . Ajoutant ces deux équations, on a, à cause de AC' +Bü^ = i , comme on vient de le voir, ÂË ’ + BË' + CË' + d1 ’ = 1 .
1 ‘25. Le raisonnement a été établi sur l’hypotlièse que les angles m, n, ainsi que leur somme m+n sont moindres que le quart de circonférence. Maintenant il est facile d’étcndrc les formules à tous les angles possibles. Il n’y a pour cela (53) qu’à regarder les quantités qui y entrent comme de simples valeurs de corrélation, chercher ces valeurs de corrélation pour un autre étal quelconque du système , et les substituer dans les formules.
Supposons, par exemple, que la droite BC se meuve parallc' lemenl à clle-nième, en se rapprdihant du point A jusqu’au-
delà du centre du cercle , l’angle BAC ou m + n deviendra obtus ; mais ni m,ni n n’auront passé ni par o ni par m ; ainsi leurs signes de corrélation ne changeront pas dans les formules trouvées j donc les seconds membres de ces formules resteront les mènies ; mais parmi les premiers, AH deviendra négative, pui.sque m + n devenant plus grande que -=•, cos.(r/i + «j devient inver.ie.
Maintenant supposons que BC se meuve parallèlement à ellemènicdans le sens oi)posé, c’est-à-dire, en s’éloignant du point A, cl qu’ensuile la droite AH se meuve aussi parallèlement à elle nièine en s’éloignant du centre, jusqu’à ce que le point E d’intersection de cette droite avec BC tombe hors du cercle
(fig. 47>bis), je dis qu’alors l’angle n ou CAD sera devenue inverse. Eu ellét, cet angle a évidennnenl passé par o au moiiH'iil oii It- point E s’est tiouvé sur la cii conférence, cl par conséquent eu coïncidence avec C cl H j cl de plus , dans le système
irj8 GEOMETRIE
primitif on aroit'CAE = CAB — BAE, tandis que dans le nou-
veau on a, au contraire, CAE = BAE — CAB. Quantàl’angle m, il reste direct, puisqu’il n’a passé ni par o ni par ae.
. Donc pour savoir dans ce cas ce que deviennent les formules , il n’y a qu’à cliangcr dans le second membre de chacune le .signe de n, cl l’on trouvera la valeur de corrélation du premier membre ; ainsi, par exemple, on verra que CD devient inverse puisque sa valeur devient sin. — n ou — sin.n (n6), et qu’il eu sera de même de CE, DE.
On peut voir aussi directement sur chacune des quantités qui entrent dans ce premier membre, celles qui deviennent inverses , en construisant la figure qui répond à celte seconde hypothèse , c’est-à-dire , au cas où n le devient. En effet , qu’on suive pas à pas la construction de la figure précédente, en faisant n inverse, c’est-à-dire , en supposant que cet angle diminue d’abord insensiblement jusqu’à o, ou que le point C se rapproche insensiblement du point E^ jusqu’à coïncider avec lui , puis passe au-delà , et vienne se placer entre B et D , on aura la figure qui par sa comparaison avec la figure primitive fera connoîlre les quantités devenues inverses. Ainsi l’on voit comme cidessus que DE le sera, puisque dans le nouveau système on a
D E = ae — AD tandis que dans le système primitif on avoit DE = AD — A E. De même CE est inverse, puisque d.sns le jircmicr système on avoit CE = BC — BE, et que dans le second , on a CE = BE — BC,
Ci) est egalement devenue inverse (ii6), puisqu’elle est la sinus de l’angle CAD qu’on vient de voir être devenu inverse. Quant aux quantités A B, A C, BD, BC, AD, BE, AÊ, aucune d’elles n’a passé ni par o ni par sc ; elles sont doue restées directes. Donc pour appliquer au nouveau cas les formules trouvées ])our le système primitif, il sulfit d’y changer le signe des quantités n, CD, CE, DÉ, ou établir la ronélation avec le système primitif comme il suit :
iSg
Sysl. priiu. ACj-j-BDj+CDj-f-BCj-f* ADj4“BEj + CE)"|*AEj“|*i-^E,
Syst. transf. [ + — •Wj-f' ABj+ ACj -pPDj— 00)4- BC, -p ADj 4" BE, — CE, -f-Æ,— DE
ainsi pour rendre les formules du tableau primitif applicables au nouveau système, il faut y faire les chatigemens de signes indiques par la corrélation précédente. Il en scroit de même pour toute autre transformation.
La figure primitive elle-même sur laquelle le raisonnement a été établi, fournit huit systèmes corrélatifs au premier , celui-ci compris, puisque cli-acun des quatre angles A, B, C, D peut être placé le premier eu ordre de deux manières différentes ; mais ces formules se réduisent aux quatre suivantes : .
Corrélation de construction.
t" syst
a‘ syst
5' syst
4' syst
Pour appliquer, par exemple , au quatrième de ces systèmes Informulé sin.(/7j -f n) = sin./n cos.n -P sin.ra cos.m, quiconvient au premier, il faut établir la corrélation des valeurs absolues,-et des signes des quantités m, n, (m -J- «) qui y entrent avec celles qui doivent les remplacer, comme il suit :
Syst prim f-f- , -b « , 4- ("'4-«)
Syst. transf.. ... — m) , 4- « , + » — (m — n)
Eu effet, dans le premier système, on a m = B AE. Or on voit par la corrélation de construction formée ci-dessus , que pour le
quatrième système, l’angle qui correspond à BAE du premier,
est ABEou «■ — m. Pareillement je vois que l’angle corrélatif a
n ou CAD, est pour le quatrième .système DBC ou n ; et qu’enfin
rangic corrélatif il BAC ou m -f n est ABj), ouv — /re + n, ou
V — (ni — «).
iCo GEOMETRIE
Voilà pour la corrclalion des valeurs absolues quant à celle (les signes; elle est directe, puisque le premier système peut êvidciuiucut, par une transformation graduelle, devenir parfaitement pareil au second, sans qu’aucun des angles m, n, m -f- n, passe ni par o ni par x. Donc la corrélation est telle que nous l’avons établie ci-dessus; donc la formule que nous voulons appliquer au quatrième système devient,
sin.(® — [m — n]) == sin.(« — m) cos. n + sin.u. cos.(«’ — rn) ou co-s. (m — n) == cos. OT.cos.n + sin.n.sin./n; formule déjà dcuiontrée par la huitième du premier tableau.
136. Nous venons de dire (ia4) que des quatre équations fondamentales trouvées ci-dessus (5,6, 7,8, formules du premier tableau), peuvent se tirer toutes celles du second. Il est de plus à remarquer que ces quatre équations se déduisent toutes elles-mêmes de l’une quelconque d’entre elles, de la première, par exemple, et qu’elles n* sont, à proprement parler, que la même exprimée de diverses manières. Car d’abord , la seconde (deuxième tableau) n’est autre chose que la première dans laquelle n devient négatif. De plus, chacune de ces deux premières formules devant avoir lieu , quelles que puissent être les valeurs de m et de n, subsisteront encore, en mettant, par exemple, «• =fc m à la place de rn , sans rien changer à n. Or si l’on fait successivement ces deux substitutions; c’est-à-dire, si l’on met successivement pour «2 , ■» -p m et •s- — m, il en naîtra les deux dernières forniule.s. Ainsi la première renferme toutes les autres et réciproquement; on peut donc i-egarder chacune de ces quatre formules, comme exprimant les rapports qui existent, en général, entre les sinus et cosinus de deux angles quelconques, les sinus et cosinus de leur somme et les sinus et cosinus de leur différence.
IIJ, Si dans les quatre formules fondamentales (5, 6, 7 , 8 du premier tableau) en .suppose d’aboid n = o et ensuite suc- «essiveuienl in~o, — /» = a t, m = 5 -v, m-= on
retrouvera
DEPOSITION. lüi
retrouvera les formules du tableau formé (117), et si faisant encore n = o on suppose successivement m = o, m — • a , m = 9 a, &C. , on retrouvera celles du tableau formé (1 16), ainsi que cela doit être ; puisque ces premiers tableaux et le dci> nier (laS) ont été établis sur le même système primitif, c’est-àdire, d’après la même hypothèse, que les angles admis dans ces tableaux sont tous moindres que l’angle droit
128< Le problème que nous venons de résoudre ne donne pas seulement les principaux rapports des quantités linéo-angulaires de deux angles proposés; mais il renferme encore la solution du problème général de la trigonométrie , qui est celui-ci. Trois quelconques des six choses qui sont à considérer dans un triangle étant données, qui ne soient pas les trois angles, trouver tout le reste.
Car si l’on propose un triangle ABC à résoudre , il n’y aura qu’à l’inscrire dans un cercle ; abaisser de l’angle A une perpendiculaire sur le côté opposé BC, et achever la construction telle qu’elle est dans la (Gg. 43). Alors on pourra lui appliquer les formules portées au tableau , qui exprime les rapports de toutes les parties de cette Ggure, parmi lesquelles sont comprises les six choses à considérer. Mais je ne m’étendrai pas davantage ici sur cct objet; mon but étant d’y revenir dans la section sui- ..vante. Je me bornerai, qu.int à présent, à quelques conséquences particulières qui dérivent naturellement de ce qui précède.
La Ggure 43 est, comme on le voit, un quadrilatère inscrit à diagonales orthogonales.
J’observe d’abord que la droite AFü coupe BD perpendicu-
laircment en I, car dans le triangle lAD, l’angle lAD étant par
hypothèse égal à D AC ou n, et IDA égal à BCA ou « — n, il suit que la somme de ces deux angles fait le quart de la circonfé-
rence ; donc AID fait aussi le quart de la circonférence, c’est-adirc , que Al est perpendiculaire à BD; donc réciproquement
i6i GEOMETRIE
en menant du point  la perpendiculaive Âl sur BD, elle passera par le point F. Par la même raison, en menant du point D une perpendiculaire DK sur AB, elle posseroit aussi par le point F. Donc dans le triangle A BD, les trois perpendiculaires
A I, B£ , DK, menées des trois angles sur les côtés opposés, se croisent toutes au point F. On prouveroit de même que dans le triangle ABC les trois perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés se croiseroient toutes au point H , et comme les angles m , n sont pris à volonté , cette propriété appartient à tout triangle; c’est-à-dire, que dans tout triangle , les trois perpendiculaires menées des angles sur les côtés opposés , se croisent toutes en un même points
Puisque l’angle G AD est par construction égal à l’angle CAD,
l’arc GD sera égal à l’arc CD. Donc, en général , si d’un point D pris à volonté sur une circonférence, on même deux cordes quelconques DA , DB , et que des autres extrémités A, B de ces cordes on leur mène les perpendiculaires AG, BC, prolongées jusqu’à la circonférence, les arcs DG, DC, compris entre le premier point D, et les nouveaux points d’intersection seront égaux. D'où il suit, par exemple , que si l’on menoit la corde CG, elle seroit coupée perpendiculairement par le diamètre mené du point D, et que réciproquement, la droite menée du
point D perpendiculairement à CG passeroit par le centre du cercle. '
i3o. J’ai démontré (129) que les perpendiculaires menées des trois angles A, B, C (flg. 44) sur les côtés opposés doivent SC croiser toutes en un même point D. Mais chacun des so'mmcts A , B , C, est à cet égard dans le même cas que le point D ; c’està-dire , que de même que le point D est celui où se croisent les perpendiculaires menées des angles du triangle ABC sur les côtés opposés, le point A , par exemple, comme on le verra facK Icment, est celui où se croisent les perpendiculaires menées des
DEPOSITION. i65
trois angles du triangle BC D sur les côtés opposés, et de même des autres. Ainsi les quatre points A , B , C , D , forment trois à trois un triangle tel que les trois perpendiculaires menées des angles de ce triangle sur les côtés opposés, se croisent toutes au quatrième de ces points. La figure est donc un système de quatre points réunis deux à deux par des droites qui se trouvent telles , que chacune de celles qui passent par deux de ces points coupa pci^ndiculairement celle qui passe par les deux autres.
Cette figure a de plus la propriété, qu’en faisant passer par trois quelconques des quatre points A, B,C, D, par exemple, par A, B, C, une circonférence, si l’on prolonge les perpendiculaires abaissées des angles du triangle ABC , jusqu’à la circonférence en A', B', C', il en résultera trois quadrilatères inscrits à diagonales orthogonales, tels que celui que nous avons examiné dans le problème traité (laa), savoir, .^A'C, BCB'A,CAC'B, dans lesquels on a les triangles parfaitement égaux et semblables . deux à deux BDC et BA'C, ABD et AC'B , A^C et AB C.
Ce que je viens de dire de la circonférence passant par les trois points A, B, C, auroit également lieu pour toute autre passant par trois quelconques des quatre points A, B, C, D, et il est à remarquer, que tous ces cercles ont le même diamètre, c’est àdire,par exemple, que la circonférence circonscrite au triangle BDCseroit égale à la circonférence A BA'C; ce qui est évident, puisque le triangle BDC est parfaitement égal et semblable au triangle BA'C, qui est lui-même inscrit dans cette circonférence ABA'C.
1 5 1 • Si du centre L (fig. 43) du cercle on imagine une perpendiculaire sur BC , il est facile de voir que le diamètre du cercle étant i, cetto perpendiculaire sera j cos. BAC ou 7 cos.(m-f n); mais le tableau (laa) donne AH = cos.(/n-(-n),qui est le double. Donc dans tout triangle, la perpendiculaire abaissée du centre du cercle circonscrit sur l’un quelconque des côtés , est moitié de la distance de l’angle opposé ou point oti se croisent
iC4 GEOMETRIE
les trois perpendiculaires menées des angles sur les côtés respec-
tioement opposés.
Il suit de-l;i que si par le point milieu p de BC (fig, 45), on menoit une droite au point A, elle scroit coupée en o par la droite LU, (Hélant le point où se croisent les trois perpendiculaires ) aux deux tiers de sa longueur à compter du point A ; car les deux triangles A Ho ,pLo , sont semblables ; d’où il suit queLjs étant moitié de AH, /?o est moitié de A o. Cela étant , il est aisé de voir que ce point o est celui où se croiseront les trois droites menées de chacun des angles au point milieu du côté opposé, donc dans tout triangle , le point où se croisent les trois droites menées de chacun des angles au point milieu du côté opposé , celui où se croisent les trois perpendiculaires menées des mêmes angles sur ces côtés opposés et le centre du cercle circonscrit , sont toujours placés sur une même ligne droite.
l3l. Jusqu’ioi, nous avons désigné par i le diamètre du cercle (fig. 43) ; mais si nous voulons avoir les valeurs effectives des lignes de la ligure qui se règlent sur ce paramètre, il faudra commencer par rendre les équations homogènes , en remettant à la place de runité,làoùelle représente le diamètre, la valeur cITcclivc de ce même diamètre. Supposons donc le rayon = R } le diamètre sera ; et alors, pour rendre homogènes les équa-, lions trouvées (122), il faudra y mettre aulieu des quantités AB,
AL, BD , Sic. , celles-ci , , &c. , qui par-la de-
viendront des nombres abstraits, ainsi que chacun des seconds termes de ces équations. Les formules ainsi transformées , pourront fournir plusieurs conséquences nouvelles. Par exemjile ,
nous avons (ia4) ÂC’-hBD^= 1 ,
cette équation devient donc AC +BD =4 R'.
Par la même raison , on a AB^-f CU’ = 4 R*.
Ajoutant les deux équations, on a AB^ -{- AC ’ -f BD* -f- CD’= ÜR';
DEPOSITION. i65
c’est-à-dire, qae dans tout quadrilatère inscrit à diagonales orthogonales , la somme des carrés des quatre côtés est double du carré du diamètre.
l53. Pareillement nous avons trouvé (124)
ÂË’ + BË" +ËË' + DË' = 1 .
Cette unité vaut ici 4R* ; donc dans tout quadrilatère inscrit à diagonales orthogonales , la somme des carrés des quatre seg~ mens des diagonales est égale au carré du diamètre.
l34. Puisque BC=BE + C£, on aura ^
BC' = BË’ +CË’ + a BË -CË , et pareillement, •
ÂD' =ÂË'+DË’+aÂË-DË.
Ajoutant les deux équations, et observant que par la proposi" tion précédente on a ' • .
ÂË' + BË’ + CË’ + DË’ = 4R* } que de plus , par la propriété du cercle on a BE'CË=ÂËDË,
il viendra
BC’+rD' = 4R*+ 4AËDË.
Cela posé, nommons r la distance du point E au centre du cercle, ou le rayon de la circonférence concentrique qui passeroit par le point E ; les segmens formés par E sur le diamètre passant par ce point , seront R + r, R — r, et leur produit sera par conséquent, R* — r*. Donc par la propriété du cercle on aura ÂËDË = R‘— r*; donc l’équation ci-dessus deviendra
BC’+Âd' = 4R‘ — 4r*; ■»
c’est-à-dire, que si d’un point quelconque pris sur la surface d’un cercle on mène deux cordes quelconques orthogonales , la somme des carrés de ces deux cordes sera égale au carré du diamètre moins quatre fois le carré de la distance du point d’intersection des deux cordes au centre du cercle.
i66 GEOMETRIE
E est à remarquer (46) que cea propriétés ont lieu , soit que Is point E soit au-dedans ou au-dehors de l’aire du cercle. Ces mêmes propriétés s’étendent à la sphère avec quelques modifications , comme il suit :
l35.* Conceponê qu’une sphère soit coupée par trois plans perpendiculaires entre eux , et soient R le rayon de cette sphère, T la distance de son centre au point où se croisent les trois axes qui forment les intersections de ces plans.
i“. La somme des carrés des trois cordes ou portion des axes dont on vient de parler , interceptées par la surface sphérique , sera laR* — 8r*.
a®. La somme des trois produits formés , en multipliant ensemble les deux segmens de chacune de ces cordes, sera 3 R* — 3 r* .
5®. La somme des carrés des six segmens formés deux à deux sur ces trois cordes, sera 6R* — 2 r*.
4®. La somme des carrés des douze droites qui joignent deux à deux les extrémités de chacune des cordes avec tes extrémités des deux autres , sera a 4R* — 8 r*.
5®. La somme des quinze droites joignant deux à deux les six extrémités des trois cordes , sera 3 6 R’ — i6r*.
6®. La somme des carrés dés rayons des trois cercles qui forment les intersections de la sphère par les trois plans, sera 3R*— r*.
Chacune de ces six quantités sera donc toujours la même, quelle que soit la direction des axes, tant que le rayon R de la sphère et la distance r de son centre au point d’intersection de ces axes demeureront les mêmes, .soit que le point d’intersection des axes soit pris au-dedans ou au-dehors du volume de la sphère, pourvu qu’elle soit efiectivement traversée ou au moin.s touchée par ces trois axes ; car ces propositions ccsscroicnt d’avoir lieu, si un ou deux de ces axes ne rencontruient point la sphère.
J'ujoutcrai , que puisque les surfaces des cercles sont comni*
les carrés des diamètres, il suit de la sixième des précédentes pro~ positions, que
Si d’un point donné on imagine trois plans perpendiculaires entre eux qui coupent le poltfme d'une sphère , la somme des sur~ faces des trois cercles formant les intersections sera toujours la même , quelques directions qu’on donne à ces plans , pourvu qu’ils ne cessent pas de couper tous les trois la sphère. Cette quantité constante est les trois quarts de la surface sphérique donnée moins la surface sphérique entière , qui aurait pour diamètre la distance du centre de la sphère donnée au point d’in- * terscction des trois axes.
l36. On peut tirer de ces propositions diverses conséquences intéressantes. Par exemple, si l’on suppose tpie le point où se croisent les trois axes soit à la surface de la sphère, on aura r=R et le système se réduira à une pyramide triangulaire dont les trois faces sont perpendiculaires entre elles; et la troisième formule nous apprend que la somme des carrés des trois arêtes qui partent du sommet ou se réunissent ces trois faces , est toujours égale au carré du diamètre de la sphère, quelle que soit la direction de ces arêtes. Ainsi, de même que si d’un point pris à la circonférence d’un cercle on mène deux cordes perpendiculaires entre elles , la somme des carrés de ces deux cordes sera toujours égale au carré du diamètre de ce cercle; de meme, si d’un point pris à.la surface d’une sphère on mène dans cette sphère trois cordes quelconques perpendiculaires entre elles, la somme des carrés de ces trois cordes sera toujours égale au carré du diamètre de la sphère.
D’où il suit encore que si l’on avoit à inscrire dans une sphère une pyramide triangulaire, ayant trois faces perpendiculaires entre elles , on auroit de suite le diamètre de cette sphère.
• l3y. Du centre L du cercle circonscrit (fig. 46) soient abaissées des perpendiculaires La, L^, Le, sur les côtés BC, AC , AB, respectivement, et soient menées les droites ab, ac, hcj
i6« * GEOMETRIE
les pointi a, b, c, étant les points-milieux des côtés, ces dernières droites seront respectivement parallèles à ces mêmes côtés , et égales à leurs moitiés. Cela posé, le quadrilatère aB cL qui a deux angles droits en a , c, est par conséquent inscripliblc dansun cercle. Donc, par la propriété des quadrilatères inscrits, le produit de ses deux diagonales est égal à la somme des produits des cotés opposés, et les deux autres quadrilatères ôÂcL, bC aL, ont la même propriété. Donc on a ces trois équations
AL. 6c = Ab.cL+Àr.bh ïiL.ca — Bc. aL+13fl.eL CL. <26 = Ca.6L+C6.aL
Ajoutant toutes ces équations, en observant que AL= BL = CL=R, que ùc+ca+ab est la moitié du périmètre, que je nommerai/?, etqu’enfin A6 = C6, Ac = Bc, Ba = Ca, on aura fp.R = fp (Æ+6L+^) — t (lÏL.BC+ôL.ÂC+âr.ÂB). Mais le dernier terme du second membre est évidemment l’aire du triangle ABC; or si l’on nomme rie rayon du cercle inscrit, cette aire sera aussi f pr; substituant donc cette dernière valeur à la première, transposant et divisant tout par 7 p, on aura R + r = aL-f-ôL-f-cL. Donc
Dans tout triangle, la somme des trois perpendiculaires, abaissées du centre du cercle circonscrit sur les côtés, est égale à la somme faite du rayon du cercle inscrit , et du rayon du cercle circonscrit.
Nous avons suppose que le centre tomboit sur l’aire même du triangle ; s’il tomboit en dehors, il y auroit un angle obtus, et alors la perpendiculaire abaissée du centre sur le côté opposé à cet angle obtus deviendroit in verse ; ainsi sa valeur de viendi oit négative.
Nous avons vu (i3i) que AH (fig. 43) est double de la perpendiculaire menée du centre L sur le côté BC opposé à l’angle A d'oii part la perpcndicul.nirc AH. Donc la somme des distances du point II aux angles A,’ B, C, est elle même double de la
soimuc
somme des trois perpendiculaires menées du centre sur les côtés. Or nous venons de voir que celte dernière somme est égale au rayon du cercle inscrit, plus au rayon du cercle circonscrit; donc, dans tout triangle dont les angles sont aigus , la somme faite des distances du point où se coupent les trois perpendiculaires menées des angles sur les côtés opposés , est égale au diamètre du cercle inscrit, plus au diamètre du cercle circonscrit, et si l’un des angles est obtus , il faudra dans la somme ci-dessus énoncée , prendre négativement la distance de cet angle au point où se croisent les trois perpendiculaires.
Il est clair qu’on a (fig. 46) La = R. cos. A , LA = R. cos. B , Le = R. cos. C. Ajoutant ces trois équations, et observant que Lo + Lô + Le = R + r, on auraR + r= R (cos. A + cos. B + cos. C)
ou — = cos. A + cos. B + cos. C — 1 ; c’est-à-dire , que dans tout
triangle, le rayon du cercle inscrit est au rayon du cercle circonscrit , comme la somme des cosinus des trois angles moins le sinus total, est au sinus total.
l58. On pourroit, en parlant toujours des notions que nous avons données, rapporter la théorie des quantités linéoangulaircs, à un principe plus général, qui consiste dans celte proposition connue, que dans tout quadrilatère inscrit au cercle , le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
Car soit ABCD (Og. 47) un semblable quadrilatère ; supposons l’arc AB = sa, ÀC = 3Ô, DG = ac, et par conséquent BD = 3.(2'» — [a-t-ô-t-c]); nous aurons donc (tai) AB = sin.a, .AC = sin.6,DC = sin.c,BD=sin.(a-f ô-fc), BC = sin.(a+ô), AD = sin.(ô-l-c).
Substituant ces valeurs dans l’équation
BC.AD = AB.DC-l-AC.BD, nous aurons
sin.(a-l-ô).sin.(ô-l-c) = sin.asin.c+sin.ô.sin.(o+ô-l-c)',
,„o GEOMETRIE
formule qui aura lieu , quelles que soient les valeurs qu’on
attribue aux angles a,b,c.
Supposons, par exemple , b + c = », on aura donc sin . (i + c)= I , sin . c= cos. 6, sin , (a + Â + e) = sin . (» + a) = cos. a 5 donc la formule deviendra.
sin. (fl + i) = sin. a cos. 6 + sin. i . cos. a.
Supposons b ~ V , nous aurons
sin.i = i,sin.(o + fe) = cos. a, sin. (6 + c) = cos.c, sin. (a + 6+e) = cos. (a + c);
donc la formule deviendra
cos. (a + c) = cos. a cos. e — sin . a sin. c.
Supposons c = — a , nous aurons sin.(a + A + c) =sin.ô, sin.c = — sin.a, sin.(A + c)=sin.(6 — a); donc la formule deviendra
sin. (6 + a), sin. (i — a) = sin.è’ — sin. a*.
Soit c=v — a , on aura
sin.c=cos.a, sin.(i + e) = cos.(a — b), sin.(a + i+c)=cos.i. Donc la formule deviendra
sin. (a + A) cos. (a — h) = sin. a cos.a+sin.i cos.6.
Ainsi ccltc seule proposition renferme toute la théorie des quantités linco-angulaires de deux angles donnes. Cette proposition sera démontrée et généralisée (aïo et suiv.).
PROBtiÙMC VIII.
l5(). Représenter par des formules générales les rapports qui existent entre les sinus et cosinus d’un nombre quelconque d’angles , les sinus et cosinus de leurs sommes et les sinus et cosinus de leurs différences.
iSo/.Dansle problème trailé(i2a) , nous n’avons considéréqiie deux angles m, n, et nous avons cherché les rapports qui existent entre les sinus et cosinus de ces angles , ceux de leur somme et ceux de leur différence. Il s’agit maintenant de généraliser ces formules, en les étendant à une suite quelconque d’angles a, b, c, d, &c.
Prcnons-cn d’abortl trois seulement; je dis qu’on aur.i les deux équations suivantes réciproques entre les trois iingles a, A, c; c’est-à-dire, où ces angles jouent tous trois le même rôle.
sin, a.sin. {b — c) + sin. b ■ sin.(c — a)+sln.c.sin. (a — ù) = o (A) cos. a.sin. (6 — c) + cos. ù.siii (c — a) + cos. c. sin. (a — ù)=o (B).
En clTet nous avons (laS),
sin. (i — c) = sin. 6. cos. c — sin. c cos. 6 sin. (c — a) — sin. c. cos. a — sin. o cos. c sin. (a — b) = sin. a cos. & — sin. ù. cos. n
Multipliant la première de ces équations par sin. a, la seconde par sin.ù, la troisième par sin.e, et ajoutant ensuite ces trois équations, le second membre se réduira à zéro, et le premier membre deviendra l’équation (A), qui est la première de celles qu’il falloit démontrer.
Multiplions maintenant la première des équations (C) par cos.o, la seconde par cos. A, la troisième par cos.c, et faisons ensuite la somme de ces trois équations : le second membre se réduira encore à zéro, et] le premier deviendra l’équation (B), qui est la seconde de celles qu’il falloit démontrer.
Cette dernière peut egalement se déduire de la première (A), car celle-ci devant avoir lieu, quelques valeurs qu’on substitue à a,&,c,sera encore vraie , en mettant à la place de ces angles leurs complémens, -» — a, 1» — ù, -sf — c; or par cette substitution l’équation (A) se transforme en l’équation (B).
Dans ce.s formules, on peut supposer à volonté négatifs celui ou ceux qu’on voudra parmi les trois angles a, b, c; ce qui introduira les sommes des angles pris deux à deux au lieu de leurs dilTércnces.
Si l’on divise la première des formules ci-dessus (A), (B), par sin. a. sin. ù. sin.e, et la seconde par cos.a. cos. ù. cos.c, ces formules deviendront
sin. (a — b) ^ sin. a. sin. b sin. (a — b)
cos. a . cos. b
sin.(i — c) ^sin.(c — a) sin.£).sin.c sin.c.sin.a sin. — c) sin. (c — a) cos. Z). cos. c cos. c. cos. a
formules également réciproques entre a, b, c.
Si dans les formules (A) , (B) , on fait successivement c = o , c — 'u, et qu’on fasse aussi successivement b positif et négatif, ou aura les foi'inulcs fondamentales fournies par les cinquième et sixième formules du tableau formé (122) pour deux ahgles. Si l’on suppose c = o + ^, les formules (A) et (B) deviendront sin. {a + b) sin. (a — b) = sin. a* — sin.i’ cos.(a + ^) sin. (a — b) = sin. a. cos. a — sin.£.cos.£.
Si dans la formule (A) 011 fait c = «^, b — — a, elle deviendra sin. aa = a.sin.a.cos. a.
Soit c = »', b = xa, la formule deviendra ■; — ou
cos. X a
sin. a . . ,
tang. 7 O = , ainsi des autres.
° i + cos. a
1 4o. Supposons maintenant quatre angles a,b, c, d, dans le système, je dis qu’on aura les doux formules suivantes ; sin. O sin. Z>.sin. (c — i/) + sin.6 sin.c.sin. (</ — a)
4- sin. c. sin. rf. sin. (a — Z>)+sin. d sin. a. sin. (6 — c) = o cos. a. cos. Z>. sin. (c — i/) + cos.Zi.cos.e.sin.(£Z — o)
'+COS. c.cos.c?.sin.(a — Zi) + cos. rf.cos. a.sin.(A — cj = o ou en divisant la première par le produit sin. a. s’in.i. sin. e. sin.cZ, des quatre sinus, cl la seconde parle produit cos. a. cos. A. cos.c.cos.fZ des quatre cosinus
sin. (a — b) sin.(6 — e) sin.(c — d) sin.(c? — a)
sm. a.sm. 6 sin. û.sin.c sin.c.sin.a sin.cZ.siu.a
sin. (o — Zi) ^ sin. (6 — c) sin. (c — d) sin. (<Z — a)
cos. d.cos. Z> cos. i.cos. c ~ cos.c.cos. fZ~cos.f/.cos.a ’
El en considérant l’an.ilogie de ces formules avec celles qui ont été trouvées (iSg) pour trois angles seulement, nous con-
durons qu’en général pour un nombre quelconque d’angles a, b, c , d,. . .p , on doit avoir les deux formules générales suivantes :
sin. (a — il) sin. (6 — c) sin.(c — li) siu. <j.sin. il sin. il. sin. c sin. c.sin. <i sin.(« — il) sin. (i> — c) sin.(c — d) cos. a. cos. b cos.b.cos.c cos. c.cos. <i En ell’el nous avons (ia5)
J sin. (p — a)
sin. /r.sin* a
^ sin. (p — a)
‘ cos.p.cos.a
sin. b cos. a sin.c cos. 6
■ sin. (p — a) = sin./> cos.o — sin. a cos./j;
Divisant la première de ces équations par sin. a sin. 5, la seconde par sin. b sin. c, &c. cl ajoutant ensuite toutes ces équations, le second membre se réduirfià o, et le premier membre deviendra l’équation (F), qui est la première de celles qu’il falloit démontrer.
La seconde équation (G) se démontre de même, en divisant chaque équation par le produit des cosinus, au lieu du produit des sinus, ou en mettant dans la première (G) « — a, -» — by — c, &c. , au lieu de a, b, c, &c.
Dans ces formules, ou peut supposer à volonté négatifs un ou plusieurs des angles, ce qui introduira dans le calcul les sommes de ces angles pris deux à deu.xau lieu de leur différence.
Les mêmes formules peuvent être variées d’une infinité de manières; car elles doivent avoir lieu quels que soient les angles qu’on voudra substituer aux angles a, b, c, &c. Ainsi , par exemple, au lieu du système des angles o, c, &c., on peut substituer le système des angles (a + è), {b + c),{c+J), &c. ou (a — b), {b — c) , (c — d), &c., ou (a + è + c), (b+c+d), &;c., ou (a + b — c), (b + c — d), &c. , ou les complémens de ces angles , ou ces angles pris négativement, &c.
l4l. La même méthode peut servir à trouver plusieurs autres formules du même genre, également simples et récipro-
ij4 GEOMETRIE
ques entre tous ces angles. Par exemple, je dis qu’enire les angles quelconques a, è, c,. . .p , on a les deux formules générales suivantes :
sin. (<«+*) -sin. (a — i>)+sin. (J+c) sin.(/> — c)
