sin. (/>+a) a'in.(p — a) = o (II

cos. (a + ft).sin. (« — i>) + co3.(i+c) sin. {b — c) +cos.(p + n) sin. (p — a) = o (K)

Car nous avons trouvé ci-dessus (laS, i58),

sin.(cH-A) sin. (a — b) z= sin. a* — sin.i* sin.(6 + c) sin.(6 — c) = sin.^>' — sin.c*

sin.(p+a) sin.(p — a) = sin.p' — sin.a’

Ajoutant ensemble toutes ces équations , le second membre se réduit a o, et le premier se réduit à la formule (II), qui est la première de celles qu’il falloit dcmonlrer.

Pareillement nous avons trouvé (laS) ,

cos.(o+A) sin. (a — i) = sin.o cos.n — sin.ô cos. A cos.(i + c) sin.(^> — c) = sin.&.eos. A — sin.c .cos. c

cos. C/7 + o) sin.(/7 — a)=sin./7 cos.p — sin.a cos.a

Ajoutant ensemble toutes ces équations, le second membre se réduit à o, et le premier devient la formule (K), qui est la seconde de celles qu’il falloit démontrer.

i42. De meme, les quatrièmes formules du tableau forjné (laS) donnent

sin. (<i + i) sin. (a — i) cos. a*, cos. 6* sin. (è+c) sin. (& — c) cos. i’.cos. c*

tang. a’ — tang.è* tang. è*— tang.c*

sin. (p + a) siu. (/> — a) cos.p’ ,cos. a*

tang. P* — tang. o*.

Ajoutant toutes ces équations, le second membre se réduit à o , et le premier donne la formule

sin. (a + i)-sin. (a — b) cos. a*. cos. h'

sin. (i + c) sin. (6 — c) cos. b' . cos. c’ sin. (/> + a) sin. (/> — a) cos. P*. cos. a'

l45. De même encore, les premières formules du tableau formé (i23) donnent

tang. a — tang. b

tang. (a — i)

ou

1+ tang. a tang.è ’ tang.(a — b) (i + tang. a. tang. i) = tang.a — tang.& -tang.(6 — c) (i+tang.6 tang.e) = tang.6 — targ.c

tang. (p — a) + tang. jo. tang. a = tang./» — tang. a.

Ajoutant toutes ces équations, le second membre se réduit à o,

et le premier membre donne la formule suivante :

tang.(a — b) (i +tang.a tang.i) + tang.(A— c) (i + tang. 6. tang. c)

+tang. (/» — o) (i +tang./».tang.a) = o.

Il est clair que par cette méthode , on peut trouver une iiitinité d’autres formules du même genre.

l44. Si l’on suppose que les angles a, b, c,. . .p forment une progression régulière dont la loi soit connue, chacune des formules dont nous venons de parler formera aussi une série régulière dont la somme des termes est toute trouvée, puisqu’elle est o. Je suppose, par exemple, que a, b,c, &c. soient en progression arithmétique croissante, dont le premier terme et la raison soient a, et dont le nombre des termes soit rn , on aura donc

a=,a f h = 7a, c = 3a , d— ia...p = ma-.

doncles deux formules (H), (K) trouvées (i4i) deviendront, en divisant tout par — sin. a ,

sin.Sa + simSa + sin.ya -f

sin.(m-i- ija.sin.Tm — i)a

' sin. a

ou

sin.3a+sln.5a + sin.7a.... + sin.(:^m> 1 )a =

sin. a

55 , c 1 . r ^ coî.fmO- 1 la.sin

cos.Oa + cos.oa + cos. 7a.... + cos.(am- i)a = i ^ ^ ^ —

sin. a

qui sont des formules connues.

Si l’on sub.stitue ces valeurs dans les formules (F) (G) trouvées (i4o), et qu’on divise pareillement tout par — sin. a , elles deviendront,

Sin. O. Sin. aa sin. aa.sm. 3a sin. a* sin. ma

1,1, sirMm — i)a

cos.a.cos.aa cos.aa. cos. oa sin.acos.a.cos.ma

ou parce que coséc. a = , et sec. a , on aura

sin.a cos. a

coséca.coséc2a+cosécaa.coséc5a.... =sin(m-i'a.coséca*.cosécma scca.8écao + sécaa.séc3aH-..,.= sin (m-i)a.séca.coscca.sécma.