X DISSERTATION

quantité effective dont on ne puisse tirer la racine carrée ? et d’où viendroit le privilège que la première — a auroit de donner son signe au produit — a x H- a de Tune par l’autre ? Cette expression de quantités prises en sens contraires l’une de l’autre, est donc au moins déjà trèsvague , ët mène à une confusion d’idées inextricable. Alais je vais plus loin ; je démontre que la notion est complètement fausse, et que de son admission résulleroicnt les plus grandes absuixlilés.

Soit une courbe quelconque, un cercle par exemple, ACRDBESi’ dans le plan duquel , soient tracés deux axes AB, RS j perpendiculaires entre eux et se coupant au centre K pris pour origine des abscisses. D’un point (jueloonquo C de cette courbe, soit menée l’appliquée Cp , et prolongeons -la jusqu’en I). Cela posé, d’après la notion précédente /jD , par exemple , étant regardée comme positive, Cp sera négative; et l’on doit avoir C^= — />D ; d’où je lire Cp+pY) , ou CD=o ; résultat absurde. Par la même raison, ’si du même point C on mène Cm perpendiculaire à A B, et qu’on prolonge celle droite jusqu’en F, on aura ///F= — Cm; donc C///-t-wF ou CF = o; résultat également alisurde. De plus ^jmisqu’on auroit CD=o, CF=o, on auroit aussi CD.CF— o ;

PRÉLIMINAIRE. xj

if*esl-à-(iire, que l’aire du rectangle CDEF d’où suivroit , par exemple , que le carré inscrit dans un cercle jeroit O. Telles sont les erreurs qui dériveroiçnt invincil)iemcnt de la notion précédente. Il est donc faux que Cp soit une quantité négative, et il est aisé de prouver , en effet directement , qu’elle est nécessairement positive; car si d’un point quelconque V de la droite AB prolongée au-delà de A , on mène une droite VT parallèle à KR , il est évident et avoué par ceux mômes qui adoptent la notion précédente, que les trois droites TC, T/), TD qui se trouvent toutes du même côté par rapport au nouvel axe VT, sont positivés : or on a Çp = Tp — TC ; donc puisque Tp > TC, Tp ■ — TC, ou Cp, est une quantité positive. ^

On dira peut-être que Cp est positive par rapport à l’axe TV, et négative à l’égard de l’axe RS. Mais co seroit une nouvelle énigme à deviner plus difBeile encore que la première , et cela dans la science dont le caractère principal est l’évidence.

Pour démontrer d’une manière plus sensible encore, comment , par ce principe des quantités négatives prises en sens contraire des quantités positives, on est invinciblement conduit à l’erreur, je reprends l’argument qui précède , en lui donnant une nouvelle forme , comme il’ suit.

Soit d’abord décrit un cercle A R BS, soit K le centre de ce cercle , et menons un diamètre quelconque AB;' nous aurons AB = AK -+- K B. (A)

Maintenant par le centre K je mène l’axe RS perpendiculaire à AB, puis par un point quelconque C de la circonférence , je mène la corde CD parallèle à AB , et'

Xij DISSERTATION

que je suppose couper l’axé RS au point p. Je prends R pour origine des abscisses ; je nomme x l’abscisse Vi.p ,y Cordonnée pH, et a le rajon. J’aurai doncj>'/=aax — xxj donc y 7=:^ aax — xx ; ce qui m’apprend , d’après la théorie admise des quantités négatives prises en sens contraire des quantités positives, quejy a deux valeurs égales et directement opposées; l’une pYi représentée par la racine positive, l’autre Cp représentée par la racine négative , c’est-à-dire que nous avons

= aax — XX et Cjo= — \Zaax — xxj

équations qui doivent avoir lieu quelle que soit la valeur de Rpoux. Supposons donc R/i = RKou x = a; pD deviendra KB, et Cp deviendra AK ; donc les équations deviendront K B =» H- a, et AK = — a. Substituant ces valeurs AK, KB dans l’équation (A) trouvée ci-dessus, on aura AB «= o ; résultat absurde , quoique rigoureusement déduit, ou plu tét précisément parce qu’il est rigoureusement déduit de la théorie des quantités négatives prises en sens contraire des quantités positives. Cette tliéorie est donc complètement fausse. Il est possible peutêtre d’opposer à cela des subtilités métaphysiques; mais je ne crois pas qu’on puisse y répondre d’une manière claire et propre à satisfaire un esprit géométrique.

Les raisons sur lesquelles on a coutume d’appuyer les deux notions que je viens de combattre, sont d’ailleurs sans consistance par elles-mêmes. Soit, dit-on, une quantité A; re tranchons-en une quantité moindre a, la différence A — a sera moindre que A. Supposons maintenant que a augmente, A — a diminuera de plus en plus, elle deviendra o lorsque a deviendra égal à A; donc, ajoute-

PRÉLIMINAIRE. xii

t“On , si a continue d’augmenter, A — a se trouvera moindre que O.

Mais pour montrer que ce raisonnement est vicieux il suffit de faire voir qu’on pourrait l’appliquer également à \/ A — a. En effet, A étant donné , \/ A — a diminue graduellement à mesure que a augmente; elle devient o lorsque a devient égal à A ; donc elle devroit devenir moindre que o, c’est-à dire, simplement négative et non imaginaire lorsque a devient plus grand que A. Ce qui est faux.

On peut opposer le même raisonnement à ceux qui disent que les quantités négatives sont prises en sens opposé aux positives ; car par la même raison que A — a est prise, tantôt dans un sens, tantôt dans le sens contraire, suivant que a est moindre ou plus grande que A ; on prouveroit que \/ A — a doit être prise aussi tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre, et n’étre jamais imaginaire.

Tout cela vient de ce que le raisonnement suppose d’abord essentiellement A > a, on tombe donc ensuite en contradiction quand on suppose que a peut devenir > A ; et la conséquence qu’on veut tirer" est fausse , puisqu’elle suppose tout à-la-fois A plus grande et moindre que a.

Cette contradiction dans laquelle tombent ceux qui ' soutiennent l’existence réelle des quantités négatives, est manifeste, de quelque manière qu’on envisage la question. En effet, soient m , n , deux variables quelconques. Supposons d’abord m > « , et faisons m — n =y. Concevons maintenant que le système varie de manière que n devienne plus grand que m. Voici le raisonnement

PRÉLIMINAIRE. xr

que n devenant plua grande que m , le résultat obtenu y = n — /» , est exact.

Cela est vrai. Mais ce résultat n’est exact qu’acciden'tellement , et parce qu’il existe dans le raisonnement, comme on l’a vu ci-dessus, plusieurs contradictions qui se détruisent l’une par l’autre. Mais comme cela n’arrive pas toujours , on parvient alors à de faux résultats , comme on l’a \ti précédemment, et la notion une fois admise , on est d’autant plus sûr de se tromper , qu’on raisonne avec plus de justesse. Il faut donc renoncer à une notion si capable d’induire à erreur : et quant à la simplification dont on parle , elle n’est rien moins que réelle. Car ce n’est au contraire que par des détours que le raisonnement ci-dessus nous a conduits à ce résultat évident par lui-mème; savoir que la diflerencej' de m k n, qui est 771 — n lorsque m est plus grande que 77 , devient inverse, c’est-à-dire n — m lorsqu’au contraire, c’est n qui se trouve plus grande que m.

Cette double erreur dont on vient de parler , est avouée par ceux qui admettent la notion des quantités négatives ; ce qu’ils expriment, en disant que le calcul redresse de lui-même les fausses hypothèses sur lesquelles-on pourroit l’avoir établi. Mais si l’hypothèse d’où l’on est parti est fausse, voilà déjà une erreur commise , et si le calcul redresse cette erreur, ce ne peut être que par une autre ; car lorsqu’on pàrt d’un principe faux , mieux on argumente ensuite, et plus on est sùr d’arriver à un résultat également faux ; il n’y a donc qu’une nouvelle erreur faite en sens contraire de la première qui puisse la réparer. ■ .

Par exemple, onacos.(a4-ù)==cos.acos.ù — siu.asin.à;

xvj DISSERTATION

mais cette formule ayant été établie pour le cas seulement où a, ô et a 6 sont des angles moindres que le quart de circonférence, devient fausse dès qu’on suppose le contraire.

Cependant ceux qui admettent la notion des quantités négatives regardent cette formule comme générale et réellement applicable à tous les cas; mais comme cette supposition n’est pas juste , ils redressent l’erreur , en disant qu’alors cos. a et cos. (a -4- b) deviennent négatifs l’un et l’autre ; qu’il faut en conséquence changer leurs signes de -h en — } ce qui donne pour résultat

cos. {a-\- b) = cos. a cos. b -t- sin. a sin. b ;

résultat vrai, mais qui, par-là même qu’il est vrai, prouve que la supposition de cps. a et cps. (p; -4- ô) négatifs, est une nouvelle erreur ; puisque si ce n’pn étoit pas une f riep n’aurpil compensé le résultat de la fausse hypothèse qu’on a faite d’abord , savoir que la formule étoit applicable à tops cps cas. La prouve qn’plle ne l’étoitpas, c’est qu’elle est réeUentent différente ^ comme on le voit pour le nouveau cas ;^et c’est ce dont U est facile de s’assurer d’ailleurs, eq la cl^erchaut directement suivant les inéthodes ordinaires , et par simple synthèse , c’est-àdire, s^ employer la notion des quantités négatives; méthode qui est moins expéditive que l’analyse , mais dont les Résultats pe sont du moins contestés par personne. ^

Ainsi CCS formules , si fréquemment usitées, cos.(« -+- o) = -r- sin.a; sin.(a« -f- a) = — sin.a, et autres semblables, dans lesquelles « exprime le quart de circonférence, sont des équations fausses, et qui ne

peuvent

PRÉLIMINAIRE. xvij prtivcnt être employées que comme de simples formes algébriques, propres, par-là même qu’elles sont fausses, à redresser une première erreur commise ; elles la redressent en effet dans certains cas, en indiquant ce qu’il faut substituer à la place des véritables quantités cos. («-t-a) , sin. (a -t- a) , lorsque par une première erreur on a mis ces mêmes quantités cos, (» H- a) , sin. (a « -t- a) , à la place de cos. a, sin. a, dans des formules qui n’avoient été trouvées que pour ces derni^es quantités, et qui ne pouvoient être appliquées immédiatement et sans modifications , qu’à elles seules. Ces expressions , telles que — sin. a, sont ce que je nomme les valeurs de corrélation des quantités , à la place desquelles on doit les substituer dans les formules primitives. Ainsi ces valeurs de corrélation ne sont autre chose que des formes algébriques , qui, mises dans les formules primitives à la place des véritables quantités qu’elles représentent, rendent ces form 11 les applicables à des cas d’abord imprévus , c’est-à-di re, autres que ceux sur lesquels les raisonneuions avoient été d’abord établis dans la mise en équation ou expression des conditions données. Considérées sous ce point de vue, ces formes algébriques sont très-utiles; il n’est question que de bien déterminer les cas où elles peuvent être employées sans inconvénient. C’est cc qui reste à examiner.

Maintenant donc que j’ai démontré combien sont obscures et fausses les notions communément admises des quantités dites négatives, il me reste à rechercher et établir les véritables principes de la théorie qui les concerne.

^ Pour cela, je reprends l’exemple ei-dessus. Soit donc.

xviij DISSERT^’TION en général , y l’appliquée d’un point quelconque , prise par rapport à RS; z l’appliquée du même point prise par rapport à VT, et nommons a la constante Tp. Les équations précédentes nous donneront donc pour le point D , y=z — a, et pour le point C,y=>a — z; d’où l’on a cru pouvoir conclure que a — z étant z — a prise négativement , y devient en effet négative , lorsqu’on passe du point D au point C. Mais le parallogisme est facile à reconnoitre. Pour que y fût négative lorsqu’elle devient a — z, il faodroit que z restât plus grande que a. Or x devient an contraire Moindre que à, Donc a — z est alors positive ; donc y est toujours positive , soit qu’il s’agisse du point C, soit qu’il s’agisse du point Mais comme dans le premier c® onay^^ z — a, et dans le second , y=^a — z , on voit que pour passer de la considération du point D à celle du point C , i! faut mettre dans l’équation — (z— u) au lieu de -h (z — <i), ou — y au lieu do -h y. Ce changement ne prouve donc point que y soit devenue une quantité négative; mais seulement, que des deux quantités a , z , dont elle est la différence , celle qui est la plus grande lorsque répond à D , se trouve la plus petite lorsque y répond à C. *'

De-là je conclus, i“. que toute quantité négative isolée est un être de raison , et que celles qu’on rencontre dans le calcul, ne sont que de simples formes algébriques , incapables de représenter aucune quantité réelle et effective. Que chacune de ces formes algébriques étant prise, abstraction faite de son signe, n’est autre chose que la différence de deux autres quantités absolues , dont celle qui étoit la plus grande dans le cas sur lequel on a établi le raisonnement , se trouve

Oigitizûd by GoogU

PRÉLIMINAIRE

la plus petite dans le cas auquel on veut appliquer les résultats du calcul.

■ Ce prmcipe répond à tout , et lève toute espèce de difficulté , sans qu’il soit besoin de faire intervenir ces notions abstraites sur lesquelles les Géomètres ne peur vent s’accorder. En effet , en revenant aux idées sim> pies et intelligibles , ce qui se présentera naturellement à l’esprit , est qu’il ne peut exister réellement d’autres quantités que celles qu’on nomme absolues , et que les signes dont elles peuvent être précédées, n’indiquent point des quantités , mais des opérations. Ainsi ces signes, pris collectivement avec ces mêmes quantités, ne forment pas des quantités nouvelles, mais des formes algébriques complexes.

Dire d’une quantité qu’elle devient négative , c’est donc employer une expression imprujure et capable d’induire en erreur, ainû qu’on l’a vu ci-desaus; et le vrai sens qu’on doit attacher à cette expression , est que tette quantité absolue , n’appartient point au sja* tême sur lequel les raisoimemens ont été établis } mais à un autre qui se trouve avec le premier dans une certaine relation > telle que pour lui rendre applicables les formules trouvées pour ce premier système, il est nécessaire d’y changer de -t- en — le signe qui la précède.

Mais de ce qu’on est obligé de mettre — y, par exemple , à la place de -4- y', il ne s’ensuit pas que la quantité représentée par y', soit devenue négative; mais seulement , comme on vient de le prouver , qu’elle est la différeuce de deux autres quantités a , a, dont celle qui étoit la plus grande au système sur lequel les raisonne-

DISSERTATION mens ont été établis et les formules trouvées , est devenue la plus petite dans le système auquel on veut faire l’application do ces formules. Car la quantité représentée par y' étant constamment, par hypothèse, la différence des deux quantités a , z , sera tantôt a — i , tantôt Z — a, suivant que z sera moindre ou plus grande que a ; mais dans tous les cas , elle sera la plus grande de ces quantités, moins la plus petite , et par conséquent, toujours positive j et l’expression — y ne sera jamais qu’une simple forme algébrique , insignifiante par ellemême , mais dont la propriété est , qu’étant substituée dans les formules trouvées à la place de -i-y , elle peut les rendre applicables à des cas imprévus d’abord, ou qui du moins n’étoient pas compris dans ceux sur lesquels les raisonnemens avôicnt été primitivement établis.

‘ Si les quantités négatives , objccte-t-on , étoient des êtres absurdes, elles ne pourroient jamais donner la vraie solution du problème mis en équation. Or il est néanmoins constant, dit-on , que si y est une ligne inconnue , et qu’on trouve potfr elle une valeur négative , la véritable solation du problème mis en équation , s’obtient en portant la valeur absolue trouvée en sens contraire de ce qu’on l’avoit supposée. Donc , conclut - on , cette quantité absolue, prise en sens contraire de ce qu’on l’avoit supposée , n’est autre chose que la valeur même négative donnée par l’équation.

A cela, je réponds que le fait allégué comme constant, est entièrement faux; que dans'aucun cas, il n’arrive qu’on puisse obtenir la vraie solution du problème mis en équation , en portant les racines négatives en sens contraire de ce qu’on les avoit supposées ; que ce qu’on

PRÉLIMINAIRE. xxj

obtient ainsi n’est jamais que la solution d’un autre problème plus ou moins analogue à celui qu’on a réellement mis en équation , mais qui en diffère toujours par quelque condition particulière. Ce qui trompe à cet égard, c’est qu’il arrive parfois, qu’en portant en sens contraire la racine négative > oû obtient en effet une des solutions du problème proposé ; et que confondant ce problème proposé avec le problème réellement mis en équation , on applique à ce dernier ce qui n’est vrai que pour le premier : c’est qu’en effet alors le problème mis en équation n’est pas le problème proposé ; qu’il n’est' qu’un cas particulier de celui-ci , et que c’est précisément ce cas particulier qui ne se trouve pas résolu par les racines négatives. Ainsi , en portant ces racines négatives en sens contraire , on ne résout point le problème mis en équation, mais d’autres cas particuliers d’un problème plus général.

L’erreur dont nous venons de parler , et qui naît de ce qu’on n’a pas soin de distinguer le problème réellement mis en équation, du problème proposé; cette erreur , dis-je , est d’autant plus importante à remarquer , qu’elle échappe facilement, et que c’est d’elle cependant que vient toute cette fausse théorie des quantités dites négatives.

C’est par suite de la même erreur, qu’on suppose gratuitement qu’une même équation peut s’appliquer, sans aucune modification , à toutes les régions de l’espace : que, par exemple, une équation donnée entre deux variables, peut se rapporter indistinctement, aux points qui sont à gauche comme à ceux qui sont à droite , audessous comme au-dessus des axes do la courbe dont elle

xxij DISSERTATION

exprime la nature. Cela est très - commode , mais n’est pas vrai : le poser en principe, c’est précisément supposer la chose en question. Il est bien clair que si l’on étoit en droit d’appliquer l’équation donnée à toutes les régions de la courbe sans aucune modiûcation ; dcs-lors les ordonnées prises à gauche de l’axe des abscisses, seroient — y, et les abscisses prises au-dessous de l’axe des ordonnées — x. Mais nous avons démontré que — x et — y sont des êtres de raison; c’est-à-dire, de simples formes algébriques, qui ne peuvent représenter aucunes quantités effectives. Donc on n’est pas en droit d’appliquer, sans modifications, l’équation donnée à toutes les régions de la courbe.

On doit donc renoncer à toute notion des quantités négatives comme des êtres réels , et se borner à les considérer telles qu’elles sont en effet ; c’est à-dire , comme de simples formes algébriques propres à rendre applicables à des cas non compris dans l’exprc^on des conditions , les formules qui exprimât réellement ces conditions , et il ne faut pas croire qu’tl doive résulter aucune complication dans les calculs de cette manière d’envisager les quantités dites négatives. Rien ne change pour cela dans les procédés ; tout se réduit à substituer une idée simple et juste , à une idée fautive et inutile : et tel est le but de cet ouvrage. Je crois l’avoir rempli , en substituant à la notion que je viens de combattre , des quantités positives et négatives , celle des quantités que je nomme directes et inverses.

Ces quantités, que je nomme directes et inverses, ne sont autre chose que les quantités ordinaires ou absolues , mais considérées chacune comme la diffé-

PRÉLIMINAIRE. xxüj

rence variable de denx autres quantités qui deviennent alternativement tantôt plus grandes, tantôt plus petites Pune que l’autre. Lorsque celle qui étoit la plus grande d’abord, c’est-à-dire dans le système sur lequel on a établi les raisonnemens , demeure constamment la plus grande , la quantité qui exprime la différence de leurs valeurs absolues , se nomme quantité directe; lorsqu’au contraire elle devient plus petite, cette différence se nomme quantité inaerae. Ainsi disparoit tonte la métaphysique des quantités positives et négatives. Il ne reste plus que des quantités directes et inverses , qui sont des quantités absolues comme toutes les autres quantités imaginables. Suivant les diverses circonstances où elles se trouvent, on doit conserver le signe qui les précède dans les formules où elles entrent, ou le changer; ,ci e’est la théorie de ces mutations que je nomme g-éonzétrie de position , parce qu’en effet c’est par elles qu’on exprime la diversité de position des parties correspondantes dans les figures de même genre. Ainsi , la géométrie que je nomme de position, n’est autre chose que la géométrie ordinaire, dans laquelle la théorie des quantités dites positives et négatives , est remplacée par celle des quantités que j’appelle directes et' inverses.

Le cit. de Velay, professeur de mathématiques à Lausanne, dans son Introduction à l’Algèbre publiée en 1799, s’étoit déjà servi des dénominations de quantités directes et inverses. Je l’ignorois , lorsque je m’arrêtai à ces mêmes dénominations dans mon Traité de la corrélation des figures. Cette rencontre singulière , dont je suis flatté , prouve que ces expressions se présentent comme d’cllea^mèmes dans la question dont ü s’agit : au

xxiv DISSERTATION

surplus , la théorie du cit. de Vclaj et la mienne, n’ont absolument rien de commun que cos dénominations , qui même no sont pas tout-à-iait prises dans la mémo acception par lui et par moi. ■ . > .

C’est à développer ces notions , et à en déduire les conséquences les plus importantes , que j’ai consacré la première section de cet ouvrage. J’y donne de nouvelles prouvées que la théorie ordinaire est , à cet égard , au moins très-vague ; que le nombre des racines positives ou négatives d’une équation , n’indique d’une manière exacte , ni le nombre des solutions dont le problème est susceptible , ni le sens dans lequel elles doivent être prises ; que tantôt il s’en trouve de surabondantes , tantôt d’autres supprimées , quoique réelles ; souvent do négatives, qui doivent être prises dans la même direc-^ tion que les positives , quelquefois même de positives , qui sont fausses pu insignifiantes, Que çependant toutes ces racines sont algébriquement exactes ; que par des transformations , on peut les rendre utiles ; et que c’est précisément et uniquement par l’emploi que fait l’ana-». lyse de ces formes négatives ou imaginaires , comme si c’éloit de véritables quantités, qu’elle difR-*re de la synthèse, et qu’elle a sur elle un si grand avantage, ,

A cette notion principale des quantités directes et in- ^ ' verses , et qui fait l’objçt spécial de la première section , j’en réunis d’autres qui me paroissent justifier encore lo . titre de Géométrie de position que j’ai donné à cet ouvrage. J’y propose un mode pour exprimer, par des caraplères particuliers, et par l’arrangement systématique des lettres prises pour désigner les points principaux d’une figure, les modifications qu’elle peut éprouT

ver

XKV

PRÉLIMINAIRE

yer par le changement de position de ces points fondamentaux. Il en résulte une sorte de mécanisme que je crois propre à rendre plus sensible l’analogie qui lie entre elles les figures d’un môme genre , et à rendre les formules trouvées pour l’une successivement applicables à toutes les autres; l’exposé de ce mode est l’objet de la seconde section , à laquelle je n’ai pas donné tout le développement dont elle seroit susceptible , et qu’elle recevra facilement , si les idées nouvelles que j’y propose sont accueillies par les savans.

Je sais qu’on doit être très-circonspeet à introduire des expressions inusitées ; mais lorsqu’elles sont si simples , qu’il suffit de les voir une seule fois pour ne pouvoir plus s’y tromper, qu’il en résulte beaucoup de brièveté et de netteté dans des locutions qu’on est obligé d’employer à chaque instant : on peut , ce me semble , les regarder comme avantageuses. J’en ai fait , au surplus , un usage très-sobre.

^ Parmi les différens exemples que je donne de ma théorie dans cette seconde section , se trouve un tableau général de la corrélation des quantités linéo-angulaires; c’est-à-clire , des sinus, cosinus, tangentes etc. qui répondent aux diverses régions de la circonférence. Je erois y avoir donné la véritable théorie des variations désignes qu’éprouvent ces sortes de quantités. Ensuite je reviens au mode pratiqué par les anciens , de comparer les arcs immédiatement avec leurs cordes, au lieu de les comparer aux moitiés des cordes d’arcs doubles : ce qui est la même chose au fond, mais donne un moyen plus naturel, et souvent plus simple, d’établir les rapports de ces quantités. Je propose à cette occasion quelques for-

xxvj DISSERTATION mules qui , je crois, ii’ont pas encore etc données, pour roproscntcr ces rapports par des expressions symétriques entre tous les arcs comparés.

< Les autres sections sont destinées à l’application des I principes développés dans les deux premières ; mais je m’y suis , de plus, proposé un autre but , qui m’a paru au moins aussi important j c’est celui d’exposer une méthode propre à représenter, par des tableaux analytiques , l’ensemble des propriétés d’une figure quelconque proposée , et d’en faire en quelque sorte une énumération complète , ainsi que de celles de toutes les figures qu’on peut lui rapporter.

Pour cela , je considère d’abord cette figure proposée comme un terme de comparaison on figure primitive , et je nomme figures corrélatives , celles qu’on se propose de lui comparer.

Dans la figure primitive elle-même, je prends parmi les quantités qui la composent, un certain nombre d’entre elles, suffisant pour qu’éumt connues , toutes les autres soient déterminées. Ces nouvelles bases choisies, j’exprime toutes les autres parties de ce système primitif en valeurs de ces premières seules, et j’en forme le tableau général. Ce tableau renferme évidemment tous les rapports cherchés des diverses parties de cette figure primitive , puisqu’il donne le moyen de les comparer toutes deux à deux par l’intermédiaire des quantités primordiales prises pour leur servir de termes communs de comparaison.

Cette figure primitive étant supposée l’objet réel et existant sur lequel les raisonnemens ont été établis, les formules qui expriment les rapports de scs diverses par-

PRÉLIMINAIRE. 3ncvij ties, et qui composent le tableau général dont nous avons parlé, ne peuvent aussi contenir que des expressions réelles et intelligibles; et par conséquent, elles ne peuvent indiquer aucune opération inexécutable , aucune quantité absurde ; iJ no peut donc s’y rencontrer de quantités négatives isolées , puisqu’une pareille quantité est un être de raison, ni à plus forte raison, de quantités imaginaires ; c’est-à-dire , que les signes -+- et — qui entrent dans ces formules, n’y expriment jamais que des opérations qu?on peut effectuer, et n’y peuvent être considérés que comme de simples abréviations.

Ce tableau des propriétés de la figure primitive une fois établi , il s’agit de savoir quelles modifications on doit y apporter, pour qu’il puisse représenter successivement de la même manière , les propriétés des figures qui lui sont corrélatives. La construction de chacune de cellesci étant essentiellement la même que celle do la figure primitive , on sent que les formules qui en expriment les propriétés doivent avoir d’autant plus d’analogie avec celles de cette ligure primitive , qu’il y a moins de disparité entre elles : les quantités correspondantes doivent s’y trouver combinées de la même manière quant à leurs valeurs propres ou absolues; il ne s’agit donc que d’ex-, primer la diversité des positions, et c’est ce qui s’opèré par la mutation des signes qui affectent ces quantités ou les diflférens termes des formules du tableau.

Pour découvrir les mutations qui doivent en effet avoir lieu pour tel ou tel système corrélatif, je le regarde comme né du système primitif, en vertu d’une transformation opérée par degrés insensibles , qui ne change rien aux bases générales de la première construction, mais

xxviij DISSERTATION qui modifie seulement les positions respectives, en faisant passer au^essus ce qui étoit au-dessous, ou à droite ce qui étoit à gauche. De ce mouvement graduel , il résulte > que telle quantité du système qui se trouvoit d’abord plus petite que telle uutre , devient plus grande, et respect! wment. Or c’est de-là uniquement, et non de ce que ces quantités seroient opposées l’une à l’autre > que naît le princi][>e général de la mutation de signes , qui doit avoir lieu dans les formules du système primitif , pour qu’elles deviennent applicables au système transformé oU corrélatif.

Dans la troisième section, j’effectue sur diverses figures les tableaux dont j’ai parlé d’abord ; c’est-à-dire , ceux qui sont propres à représenter l’ensemble des rapports qui existent entre les diverses parties de chacune d’elles; et j’applique ensuite à chacun de ces tableaux celui de corrélation par lequel on connoit les mutations qu’on doit faire à ce tableau primitif, pour le rendre applicable à chacun dés systèmes qui lui sont corrélatifs.

La quatrième section contient de nouvelles applications des mêmes principes aux propriétés, qui dans les figures peuvent être trouvées sans l’intervention des quantités linéo-angulairea. Les quantités linéo-angulaires sont des intermédiaires qui servent à lier les lignes avec les angles , ou à établir les rapports des uns avec les autres. Mais dans cette section, j’examine séparément, d’une part, les rapports qui existent entre les angles seuls , et de l’autre , ceux qui existent entre les lignes seules : j’y donne la notion du centre des moyennes distances. Je remarque que ce point est le même que celui qu’on nomme en mécanique , centre de gravité. D’où je

PRÉLIMINAIRE, conclus , que la théorie do ce centre appartient à la géométrie, et qu’il seroit très-avantageux, pour les progrès de cotte science , de rétablir à cet égard l’ordre naturel des idées.

Dans la cinquième section, j’applique les principes établis auparavant, à une suite de questions particulières du genre de celles qui font le sujet de ce qu’on appelle application de Falgèbre à la géométrie ; ce qui me donne l’occasiou de montrer, par beiuiooup d’exemples, que la théorie oomnuinément admise sur les quantités dites positives et négatives, n’est ponat satisfaisante ; et que par la manière de choisir non-seulement les inconnues, mais encore les données , an réussit souvent à faire entrer, conformément à l’idée de Leibnitz , la position dans l’expression des cooditiom du problème, etùdimÛHier ainsi le degré naturel de l’équation finale. Ces diverses ques-<tions donnent heu à quelques formules remarquables , comme l’équation de CQnditioin qui existe entre les six angles que forment entre -elles les quatre faces d’une pyramide triangulaire.

Enfin, dans la sixième et dernière section , j’applique aux courbes la formation des tableaux propres à représenter l’ensemble des prapdiéténdessignes: je développe l’idée lumineuse donnée par Godin dans son Traité des propriétés com/mmes à toutes les courbes, que l’art de découvrir les propriétés des courbes est , à proprement parler , l’art de changer le système des coordonnées j et je donne divers exemples de cette opération. Je n’ai pas eu l’intention d’écrire un traité suivi -de la théorie des courbes^ mon but a été seulement de varier l’application de mes principes, et de faire voir que la formation des tableaux