SECTION III

Formation de tableaux analy tiques , propres à représenter V ensemble des rapports, qui existent entre les diverses parties d'une même figure ; et les modifications qui distinguent , soit de cette première figure , soit entra elles , les autres figures qui lui^sont corrélatives.

l45. Je me propose ici d’elTccluer sur diverses figures géométriques, les tableaux de comparaison dont j’ai'donné l’idée au commencement de cet ouvrage (a); c’est-à-dire, d’appliquer à plusieurs exemples, les principes développés dans les deux premières sections , en formant d’abord le tableau des rapports qui Ijenl entre elles toutes les parties du système pris pour terme de comparaison, et recherchant ensuite quelles sont les mutations que doit éprouver l’expression de ces rapports , lorsque le système primitif passe lui-même à différens états de transformation ; et de plus, je me propose de donner à ces tableaux une forme telle que ces mêmes rapports puissent être considérés dans leur ensemble, de manière que tous les rapports partiels y soient implicitement compris, ct qu’on puisse en déduire celui qui existe spécialement entre telles ou telles de ces quantités, soit linéaires , soit angulaires , prises à volonté dans le système général.

Le nombre de ces rapports augmente à me.surc que le système SC compose d’un plus grand nombre de parties; car dans un triangle, par exemple, il n’y a que six choses à considérer, et déjà dans le quadrilatère simple dont les côtés seroient supposés prolongés jusqu’à leurs rencontres respectives , il y en a trentetrois : savoir, les quatre côtés, les deux diagonales, les douze segmens formés dcu.x à deux sur chacun de ces côtés ou diago-

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nales, et enfin les quinze angles compris entre ces six droites

considérées deux à deux.

Mais le nombre des questions partielles à pi-oposer sur chacune de ces figures, augmente bien plus rapidement que celui des parties de cette même figure; car pour le triangle, la question générale étant celle-ci : trois des six choses à considérer dans un triangle , qui ne soient pas les trois angles, étant données,

trouver les trois autres : il en résulte ;; — , questions par-

tielles , moins les trois cas exceptés çi-dessus , des trois côtés demandés quand les troi^angles sont donnés. Mais pour le quadrilatère , la question générale étant celle-ci : des trente-trois choses qui sontÀ considérer dans un quadrilatère , cinq quelconques indépendantes les unes des autres étant données, trouver

, . , . . , , 53.53..I1 .3o.ao.38

les vingt-huit inconnues , il en résulté 'â t ^ 5~ ’

questions partielles, sauf le petit nombre des cas ci-dessus exceptés. On peut juger par-là , du nombre de questions partielles que fourniroit un pentagone , et à plus forte raison, les polygones plus élevés; et l’on voit qu’il est comme impossible de former des tableaux qui puissent répondre immédiatement à chacune de ces questions partielles. Il s’agit donc d’y suppléer par une forme particulière, de laquelle on puisse , à l’aide de quelques opérations algébriques, tirer celle des réponses dont on peut avoir besoin dans chaque cas particulier. Or c’est ce que je me propose ici.

Pour remplir cet objét, j’imagine qu’on établisse dans la figure proposée une chaîne de triangles , et que passant de l’un à l’autre par les règles ordinaires de la trigonométrie , en suivant la construction graphique, d’après laquelle on peut supposer que la figure auroit été construite, on calcule toutes les parties, tant angulaires que linéaires qui entrent dans sa composition. Que de plus , on les exprime toutes en valeurs de quelques-unes seulement d’entre elles, considérées comme connues, en nombre suffisant, pour que tout le reste soit déterminé. Le tableau qui en

résultera, ne comprendra évidemment de formules, qu'autant qu’il y aura de quantités dans le système, or je dis que ce tableau supplée au tableau général dont nous avons parlé ci-dessus, et dont la confection est évidemment impraticable.

Eu effet, le nouveau tableau proposé devant contenir, par hypothèse, toutes les parties du système calculées en valeurs de quelques-unes seulement d’entre elles, on aur.-v évidemment les rapports de ces quantités , et en général , les fonctions de toutes ces quantités combinées d’une manière quelconque , deux à deux, trois à trois , Scc. en valeurs de ces mêmes quantités premières seules , prises pour termes de comparaison. On pourra donc, en éliminant ces dernières, trouver, au moyen de ce tableau fondamental, tous les rapports jiossibles existans entre les quantités du système général. L’objet des questions suivantes est de développer ces idées, et de faire l’application de chaque résultat aux systèmes corrélatifs, qui peuvent être rapportés a la figure primitive sur laquelle les raisonnemens seront établis , et les tableaux formés.

PaOBLâME IX.

l46. Un triangle étant proposé, et une perpendiculaire abaissée de chacun des angles sur le côté opposé ; on demande que toutes les parties tant angulaires que linéaires de cette figure, soient exprimées en valeurs de trois quelconques d’entre elles , indépendantes l’une de l’autre , prises pour termes de comparaison.

Soit ABC (fig. le triangle proposé, AH, BG, CF, les pcr« pendiculaircs abaissées de chacun des angles sur le côté opposé, D le point où elles se croisent toutes. Il s’agit donc d’exprimer tous les angles et toutes les lignes qui entrent dans la composition de cette figure , en valeurs de trois seulement d’entre elles, parce que trois suffisent pour que tout le reste soit déterminé , pourvu que ces trois quantités prises pour termes de comparaison soient indépendantes l’une de l’autre. Ainsi ces quantités ne

j8o GEOMETRIE

peuvent être ni trois angles, puisque deux d’entre eux déleruiineroient le troisième; ni l’une des lignes du système avec les deux srgmens formés sur elle, puisque deux quelconques de ces trois quantités linéaires étant données, la troisième, qui en est nécessairement la somme ou la diilérencc , scroit aussi déterminée.

Celle question renferme évidemment comme cas particulier, le problème général de la trigonométrie, ainsi que nous l’avons dit (ia8), car les six choses à considérer dans le triangle ÂBC sont comprises parmi celles qui doivent entrer dans la formation du tableau. Mais pour que ce même tableau puisse répondre à un plus grand nombre de questions partielles, j’y comprendrai les trois droites FG, FH, GH, le rayon du cercle circonscrit au triangle proposé ABC, celui du cercle inscrit, le périmètre , et l’aire de ce même triangle.

Je prendrai de même que dans le problème vu (12a) pour

servir de termes de comparaison les deux angles B AD, CAD, que je nommerai de même ot, n, elle rayon du cercle circonscrit que je nommerai R- Jtrdois donc exprimer , comme cela est évidemment possible, toutes les quantités du système général en valeurs des seules quantités m, n , R.

. L’angle droit sera désigné par-», le rayon du cercle inscrit

■ par r, le périmètre par P et l’aire ABC du triangle proposé par S ; (ces dénominations R, r, P, S, seront conservées dans les six problèmes qui doivent suivre celui- ci) cela posé , je dis que le tableau suivant satisfait à la question.

Tableau général des rapports gui existent entre les angles et les côtés d’un triangle quelconque , les perpendiculaires abaissées de ces angles sur les côtés opposés , les segmens et les angles qui en résultent , &c. (üg. 38).

VALEUnSDESANGIiES.

1"' BAD = m

2' CAD = n

3' BAC = m + n

4' CDD = 7»

5' ABD = « — (m + n)

6'.... J. ABC — v — m

7* BCD = m

8' ACD = •» — (m+Ti)

9' ACB = n

10' ADB = -» + n

1 1‘. . , , , . ADC = V m

12* BDC = — (m+71)

Valeurs des lignes.

2 R. Sill. (t7»+ 7j)

2 R. cos. 77»