DISSERTATION

propres à représenter l’ensemble d’une figure, est applicable aux lignes et surfaces courbes, aussi bien qu’aux lignes droites et aux surfaces planes. On trouvera dans cette section plusieurs propriétés remarquables, et je crois non encore connues , des sections coniques ; une théorie assez curieuse sur les points de concours de plusieurs droites, et de ceux qui au contraire se trouvent rangés sur une même ligne droite. Enfin diverses propriétés des courbes en général , dont le but principal est de rendre leur équation indépendante de tout point , ligne, plan ou objet fixe quelconque pris arbitrairement dans l’espace ou inhérent à la courbe.

La plupart des questions traitées dans cet ouvrage , appartiennent à la géométrie élémentaire ; mais lorsqu'on pense que c’est cette géométrie qui fut si féconde entre les mains des Archimède, des Hjpparque , des Appollonius; que c’est la seule qui.fut connue des Néper, des Viette, des Fermât, des Descartes, des Galilée, de? Pascal, des Huygens, des Roberval ; que les Newton , les Halley , les Maclaurain , la cultivèrent avec une •sorte de prédilection , on peut croire que cette géo-, métrie a ses avantages. En effet, on convient assez géné- , râlement aujourd’hui, que la principale utilité des sciences exactes, poussées au-delà de ce qu’il y a de plus usuel pour la pratique des arts, est d’accoutumer l’esprit à la réflexion, à la justesse et à rcnchaincmcnt des idées. Or cet objet est , par excellence , celui de la géométrie des anciens. Car si cette géométrie est dite élémentaire quant au sujet dont elle s’occupe , elle ne l’est nullement quant à la difficulté ; et sous ce rapport, elle ne le cède point pux spéculations analytiques. D’ailleurs , la niétaphysij-

PRÉLIMINAIRE. xxxj que des sciences n’en est pas la portion la moins inté- Tessantc , il est important d’en exclure les idées l’ausscs ou obscures. Or certainement, pour quiconque veut approfondir le sujet dont il s’occupe, la notion des quantités dites négatives , porte ce caractère , et cependant elle sert de base aux principales opérations de l’algèbre, ou plutôt c’est sur elle que repose entièrement l’analyse algébrique. Les elTorts qu’ont faits les plus grands Géomètres pour éclaircir ce point de doctrine , et les contestations auxquelles il a donné lieu, justibeut assez une entrepri.se dont le but spécial a été de faire voir la fausseté comme l’inutilité absolue de celte notion, et d’y en substituer une autre aussi simple que rigoureuse , en revenant seulement aux idées naturelles, et qui se présentent les premières à tout le monde.

De plus, en considérant ce qu’on nomme aujourd’hui élémens de géométrie, on ne peut s’empêcher d’être étonné du sens resireipt qu’on leur a donné. La science des projections, ou géométrie descriptive, n’y est pas comprise ; elle forme encore une espèce de science à part. Et cependant , qu’y a-t-il de plus élémentaire, do plus utile à la pratique des arts , que l’art des projections sur des plans horizontaux et verticaux. On dira que ce ne sont point-là les principes de la géométrie , mais une partie de leur application. Cela peut être vrai , mais alors on pourroit dire la même chose d’une multitude de propositions que l’on comprend pour l’ordinaire dans les élémens. Il n’est point aiâé , ou plutôt il est impossible , de séparer ce que dans ce sens on nomme principes de ce qu’on nomme applications. 11 semble que ce qu’on nomme principes doit être la collection des véri-

xxxij DISSERTATION té« qui une fois bien connues , suffisent pour que l’application aux cas particuliers les plus communs devienne facile. Or , si cela est, je dis que les élémens ordinaires ne suffisent point, car le passage de ces élémens à la science des projections , exige de nouveaux préceptes , et des développeinens considérables à étudier.

Ce que je viens de dire de la science des projections, doit s’entendre de la plupart des autres objets de la géométrie. Par exemple , la science des polygones et des polyèdres, J est à peine effleurée ; il est vrai qu’elle est, si l’on veut, comprise dans la trigonométrie; mais c’est d’une manière si implicite , que le passage de l’une à l’autre , loin de pouvoir être considéré comme une application facile, exige au contraire une imagination trèsexercée , et qu’une foule de propriétés aussi curieuses qu’utiles , n’ont pas même été remarquées. Il en est de même des propriétés du centre de gravité qui appartiennent réellement à la géométrie , et dont l’importance pratique est aussi étendue qu’incontestable.

Enfin ce que l’on comprend ordinairement sous le nom de géométrie élémentaire , n’est autre chose que le recueil méthodique des propriétés les plus simples et les plus usuelles des figures composées de lignes droites et de circonférences de cercle. Tout le monde convient, à la vérité, que dans ce sens seul , il y a un très-grand mérite à faire de bons élémens; c’est4-dire, à recueillir, ordonner et démontrerces propriétés de la manière la plus lumineuse et la plus profitable aux élèves. Cependant cette géométrie quelque bien rédigée qu’elle soit, ne présente en résultat , comme on vient de le dire , qu’une collection de propositions, qui est très-incomplète, même par

rapport

PRÉLIMINAIRE. xxxHj rapport à l’objet spécial qu’elle a en vue , savoir, la ligne droite et le cercle. Pour que cet objet soit complètement atteint, il faut, ce me semble, parvenir à la solution de ce problème général.

Dana un système quelconque de lignes droites , tracées ou non dans un même plan, quelques-unes d’elles, ou des angles qui résultent de leur assemblage, soit entre elles-mêmes, soit entre les plans qui les contiennent , étant donnés en nombre suffisant pour que toute la figure soit déterminée , trouver tout le reste. Or il y a loin de ce qu’on appelle ordinairement élémens de géométrie, à ce problème général.

On voit par-là , qu’il ne s’agit pas de grossir les élémens ordinaires d’un grand nombre de nouvelles propositions, quelque curieuses et subtiles qu’elles puissent être , mais de parvenir à la solution d’un problème général qui les renferme toutes comme cas particuliers dans ses développcmcns , et d’où elles dérivent par une simple combinaison de formules. J’ai donné, ou plutôt indiqué, la solution de ce problème général dans la cinquième section : mais pour en rendre l’application plus facile à chaque figure particulière, j’ai imaginé et développé dans les sections précédentes, la formation d’un tableau , qui pût représenter l’ensemble des propriétés de cette figure ; qui mît sous un mémo point de vue tous ses rapports partiels : puis enfin prenant cette même figure pour terme de comparaison , j’ai ûnaginé d’y rapporter par des tableaux additionnels, que je nomme tableaux de corrélation , toutes celles dont U construction est essentiellement la même. Le premier de ces tableaux n’est autre chose que l’énumération com-

xxxiv DISSERTATION plète des parties tant linéaires, qu’angulaires ou superficielles, etc. qui entrent dans la conaposition de la figure primitive, toutes exprimées en valeurs de quelques-unes seulement d’entre elles, prises en nombre suffisant, pour qu’étant supposées connues, tout le reste soit déterminé. Les autres , c’est-à-dire les tableaux de corrélation , indiquent les mutations qui doivent être laites àce tableau primitif, lorsqu’on veut l’appliquer à telle ou telle figure du même genre , ou corrélative , c’est-à-dire , qui ne difiiêre pas essentiellement de la première , mais seulement par quelques modifications ou par la diversité de position des parties correspondantes. Or comme cette variété dans la position respective des parties correspondantes, s’exprime principalement par la variété des signes -i- et — J je me trouve engagé par la nature de mon sujet 4 traiter de ce qu’on nomme quantités positives et négatives. C’est ce que j’ai fait avec un détail qui seroit beaucoup trop étendu , si je n’avois eu à combattre sur ce point des idées reçues et trilement accréditées, qu’elles semblent être devenues des espèces d’axiomes. Comme cette théorie des mutations , résultantes de la diversité de positions dans les parties correspondantes des figures de même genre , est la base de ce traité , je loi ai donné le nom de géométrie de position , non pour indiquer qu’il ait un objet diffièrent de celui qn^on se propose dans la géométrie ordiliaire , mais pour caractériser le mode que je propose, tant pour exprimer l’ensemble des rapports de la figure primitive, que les changemens de positions qui peuvent y simrenir.

Le principe fondamental de ma théorie est que la

PRÉLIMINAIRE

notion des quantités négatives isolées est inadmissible ; ainsi , pour fixer les idées d'une manière précise, je dirai que la géomètrie de position est celle où la notion des quantités positives et négatives isolées , est suppléée par celle des quantités directes et inverses.

Ces principes sont développés très-an long, tant dans la dissertation préliminaire, comme on Ta vu, que dans la première section. Dans le reste de l’ouvrage , je me suis resserré autant qu’il m’a été possible ; le plus souvent même je me sais contenté de mettre le lecteur sur la voie des démonstrations ; et cependant cet ouvrage sera beau« coup plus volumineux que je ne le vonlois ; car je n’avois eu d’abord pour objet , que de faire une nouvelle édition de mon Traité de la corrélation des figures. Mais la manière de faire la géométrie par tableaux ouvre un champ si vaste et ai fécond , qu’on auroit bientât rempli plusieurs vedumes des résultats au moins etnienx qu’elle présente. Cependant ces résultats s’j trouvent très-scrr rés ; car chaque ligne d’un tableau est , è proprement i parler , un théorème tout rédigé en formule ; il ne s’agit que de classer ces formules et de les ordonner de aumière à trouver tout de suite ceUes dont on peut avoir besoin , comme on trouve par les tables de logarithmes , celui d’an nombre quelconque proposé. Je crois an surplua cette méthode très-susceptible d’ètre appliquée à toutes les autres branches des mathématiques , et je sens que je n’en donne ici qu’au essai extr^ement imparfait,; mais, si je ne me trompe, cet essai pourra servir d’ébauche à un travail utile.

La géométrie de position traitée dans cet ouvrage ,

xxxvj DISSERTATION n’est pas ce que plusieurs Savans ont appelé géométrie de situation. On comprend ordinairement par la géométrie de situation, une certaine classe de questions qui , quoique du ressort de la géométrie , ne paroissent guère susceptibles d’étre soumises à l’analyse algébrique ; tandis qu’au contraire , la géométrie de position , que je traite ici , n’est autre chose qu’un mode imaginé , pour rendre plus féconde l’application de l’algèbre à la géométrie ordinaire. La géométrie de situation n’a jamais été, que je sache, traitée d’une manière spéciale. On en trouve quelques exemples dans les récréations mathématiques d’Ozanara et de Montucla : c’est à elle que se rapporte un problème résolu par Euler dans les Mémoires de V académie de Pétersbourg , et qui consiste à savoir par quel chemin on doit passer , pour traverser des ponts disposés sur une rivière qui serpente j de manière qu’on ne passe jamais deux fois sur le même pont. C’est également à cette branche de géométrie, que se rapportent les ingénieuses recherches de feu Yandermonde sur la marche du fil qui forme successivement toutes les mailles d’un tricotage. L’on voit par ce dernier exemple, que cette branche de géométrie seroit très-propre à décrire d’une manière simple et uniforme les divers procédés des arts, et sous ce rapport, elle pourroit devenir infiniment utile. Mais il me semble que le nom de géométrie de situation lui convient moins que ne lui conviendroit, par exemple, celui de géométrie de transposition ; puisqu’en effet le mouvement ou la transposition des parties du système entre comme un élément essentiel dans toutes les questions de son ressort, et qu’elle est proprement, à la géo-

PRÉLIMINAIRE. xxxvij métrie de position, ce qu’est le mouvement au repos. Au surplus , cette géométrie de situation on de transposition , n’est elle-même que la moindre partie d’une science trèsétendüe , très-importante , et qui n’a jamais été traitée. Cette science est, en général, la théorie du mouvement, considéré, abstraction faite des forces qui le produisent ou le transmettent. Ainsi , par exemple , lorsque je me propose de faire parcourir au cavalier des échecs toutes les cases de l’échiquier , sans passer deux fois sur la même , il m’importe fort peu de savoir quelle est la masse de ce cavalier, et la force que j’emploie à le mouvoir. De même , lorsqu’un fil forme successivement les mailles d’un tricotage , il ne s’agit nullement des loix de l’action et de la réaction , ni de la force avec laquelle ce fil est tendu : il en est de même enfin de toutes les machines dont le but n’est pas d’économiser des forces , mais d’établir tels on tels rapports entre les directions ou les vitesses des diGTérens points d’un système. Je reviendrai dans un autre ouvrage sur la notion de ces mouvemens dont j’ai déjà nommé ailleurs les limites , mouvemens géométriques, et dont la théorie est le passage de la géométrie à la mécanique.

Quant à ce que je nomme ici géométrie de position , il n’y est point question de mouvement ni de transposition départies, mais seulement, comme je l’ai dit cidessus, d’un nouveau mode pour donner plus d’extension aux applications de l’algèbre à la géométrie ordinaire : et j’ai cru devoir désigner ainsi , une théorie dont V objet spécial est d’exprimer en ejffet, par des tableaux comparatifs , dans des figures de même genre , la diver-

xxxvüj DISSERTATION, etc.

»Ué de positions de leurs parties correspondantes , après avoir préalablement formé le tableau général de leurs propriétés communes ; ce qui est le véritable et unique but du présent ouvrage.