PROBLEME XVI

1 6y . Etant donnés dans un triangle deux angles et le rayon du cercle circonscrit , trouver ^ i°. le troisième angle et les trois côtés y 2®. les perpendiculaires menées des angles sur les côtés opposés ; 5“. les droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux ; 4". les segmens formés sur toutes ces droites prolongées jusqu’à leurs rencontres respectives , les angles formés par toutes ces droites , le rayon du cercle inscrit, le périmètre et l’aire du triangle proposé.

Soit ABC (lig. 48) le triangle proposé, dans lequel je suppose d’abord les trois angles aigus et tels que A soit le plus grand des

trois , et B le plus petit. Soient AH, BG , CF, les perpendiculaires abaissées des angles sur les'côlés opposés FGL, HFM, HGN, les droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux n deux, /, ni, n, les points où elles rencontrent ces perpendiculaires respectivement , L, M, N, ceux où ces mêmes droites prolongées rencontrent les côtés opposés aussi prolongés.

Il s’agit donc de trouver toutes les parties tant angulaires que linéaires de celte ligure, en valeurs de deux quelconques des angles du triangle proposé, et du rayon II du cercle circonscrit.

J’observe d’abord que le troisième angle du triangle proposé étant le supplément de la somme des deux autres, est censé connu dès que les deux autres le sont ; c’est pourquoi je le ferai entrer dans les formules afin de les rendre symétriques à l’égard de ces trois angles , et pour qu’on puisse plus facilement éliminer celui que l’on voudra en mettant à sa place a'» moins l.i somme des deux autres.

Comme il y a neuf lignes droites tracées dans W ■système, et

ai4 GEOMETRIE

que sur chacune d’elles, il y a quatre points de division, et par conséquent six segmens , y compris la droite entière elle-même ; il se trouve en tout dans la figure, 54 quantités linéaires à considérer, sans compter le rayon du cercle circonscrit, celui du cercle inscrit et le périmètre : c’est par conséquent en tout 57.

Toutes ces droites, au nombre de neuf, prises deux à deux, forment un angle, en ne comptant pas les supplémens; ce qui S

fait — ou 36 angles. C’est donc en tout g3 quantités à consia

dérer ; auxquelles j’ajouterai l’aire S du triangle ABC, celle du triangle FGH , et celles des six autres ADB , ADC , BEC , ï'DII , GEH, FEG, qui ont tous leur sommet au point B. Ce qui fait en tout 101 quantités à comprendre au tableau, et qu’il s’agit d’exprimer toutes en valeurs des seules quantités A, B, C, R, prises pour termes de comparaison.

Voici ce tableau dans lequel , pour éviter les expressions fractionnaires, j’ai mis, suivant le besoin , les sécantes des angles au lieu de l’unité divisée parle cosinus ; et les cosécaiiles,au lieu de l’unité divisée par le sinus : v représente à l’ordinaire l’angle droit, ou le quart de circonférence.

Tableau général des rapports qui existent entre les trois cétés d’un triangle quelconque , les perpendiculaires abaissées de chacun des angles sur le côté opposé , les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux, les segmens formés sur toutes ces lignes prolongées , par leurs intersections, les angles qu’elles comprennent deux à deux, &c. , A , B , C , étant ces trois angles , et R le rayon du cercle circonscrit.

Valeurs des angles.