CD = 2R.C0S. C

43' AH = aR.sin. B sin.C ^

44' BG = 2 R. sin. A sin.C

45' CF = RR.sin.A sin. B

46' DH = 3R.C0S.B cos. C

47' DG= 2R.C0S. A cos.C

48' DF = 2 R. cos. A cos. B

4g' FG = 2R.sin,A cos. A

5o' HF =: 3R.sin.B cos.B

5i' GH= 3 R. sin. C cos.C

5a' AF = aR.sin. B cos. A

53' AG = aR. sin.C cos.A

5-iV. .... BF = aR.sin.A cos. B 55*. .O... BH = aR.sin. C cos.B

56® CG = aR.sin.A cos. C

57*....... Cil = aR.sin. B sin. C

68® A/ = aR.sin.Ë sin.C cos. A séc. (C — B)

69® Bw* = aR.sin. A sin.C cos.B séc.(A — C)

60® Cn = aR.sin.A sin. B cos. C séa (A — B)

61®...... D^ = a R. cos. A cos.B cos. C séc. tC-B)

6a® Dm = aR.cos.A cos.B cos.C séc. (A — C)

63® D/l = aR.cos.A cos.B cos.C séc. (A — B)

64® VI = aR.sin. B cos.B cos. A séc. (C — B)

65® Gl = aR.sin. C cos.C cos. A séc. (C — B)

66" ILra= aR.sin. C cos.C cos.B séc. (A — C)

67' F/ra = aR.sin.A cos. A cos.B séc, (A — C)

68® G/l = aR.sin. A cos. A cos.C séc. (A — B)

6g® JJji — aR.sin. B cos.B cos.C séc. (A — B)

70® /B = aR.sin.A sin.C cos.B coséc.(C — B)

71® LC = aR.sin.A sin. B cos.C coséc. (C — B)

7a® LH = R.sin.aB sin.aC coséc. (C — B)

73® LF = R, sin. A sin. a B coséc. (C — B)

74* LG = R. sin. A sin. aC coséc. (C — B)

75® Lil = aR.sin.aB sin.aC coséc. (aC — aB)

76® MA = aR.sin. B sin.C cos. A coséc. (A — C)

77®. MC = aR.sin.A sin.B cos.C coséc. (A — C)

78' MG = R. sin. a A sin.aC coséc. (A — C)

79' MF= R.sin.B sin.aA coséc. (A — C)

8o' MH= R.sin.B sin.aC coséc. (A — C)

8i* Mwj= aR-sin. aA sin. aC coséc. (a A — ?Ç)

8i* NB = aR.sin.A sin.C cos.B coséc.(A— B)

85' NA = aR.sin.B sin.C cos. A. coséc. (A — B)

NF = R.sin.aA sin.aB coséc. (A — B) NH= R. sin.C siu.aB coséc. (A — B)

NG = R.sin.C sin. a A coséc. (A — B)

N» = 2 R. sin. a A sin.aB coséc. (aA — aB) /H = R. sin. a B sin. aC SCC. (C — B) otG = R.sin. a A sin. aC séc. (A — C) bF = R.sin. a A sin. aB séc. (A — B)

r = R.(cos. A+cos.B + cos.C — 1)

P = aR.(sin. A+sin,B+sin.C)

■ 'Valeurs des aires.

S = a R*, sin. A sin. B sin.C ADB = a R*. sin. C cos. A cos.B

ADC = a R* • sin. C cos. A cos. C

BDC = a R*, sin. A cos.B cos. C

98' FDH= R’.sin. aB cos. A cos.B cos.C

99' GDH= R*, sin. a C cos. A cos. B cos. C

100' FUG = R'.sin. aA cos. A cos.B cos.C

lox' FGH = ;R*.sin.aA sin.aB siiuaC

On ne peut trouver aucune clUTicullé à foimcr ce tableau; car tous les angles se déterminent par la .seule propriété des trois angles do tout triangle égausL à deux droits ; toutes les lignes par

DEPOSITION. aig

le seul principe de la proportionnalité des sinus des angles avec les côtes opposés; elles aires par celui que l’aire de toultriangio est égale à la moitié du produit de deux quelconques de scs côtés par le sinus de l’angle compris. Quant au rayon r du cercle inscrit, il se détermine par la proposition démontrée (137) qui

donne aR+a r = AD + BD+CD.

Les formules de ce tableau ne se rapportent qu’à l’hypolbèso d’où l’on est parti, savoir que les trois angles du triangle proposé ABC, sont aigus, et que de plus, A est le plus grand, et B le plus petit des trois. Mais il est aisé de voir les mutations qui doivent avoir lieu pour chaque cas particulier; car si l’on suppose, par exemple, que A devienne obtus ; les quantités — A , uv — aA, cos.A, sec. A, sin.aA, deviendront inverses; on verra donc tout de suite quels sont les premiers termes des formules qui devront changer de signe , lorsqu’on voudra appliquer ces formules à la nouvelle hypothèse. Quant aux seconds mem* bres , il n’y a rien à changer , puisqu’aucune des quatre quantités A, B , C, R, qui y entrent ne passe ni par o ni par 00. On voit ce qu’il y auroit à dire, si l’un des autres angles B , C, devenoit obtus.

Pareillement si B, par exemple, devenoit plus grand que C, C — B deviendrait inverse , par-là on jugerait des changemens de signe qui devroient avoir lieu pour les premiers membres des formules. On verrait, par exemple, par la a6° formule que

l’angle CLF doit prendre le signe — , de même que Al, DI, l'i, &c. (58* , 64* , t)5', &c. formules). Mais il n’y auroit encore rien à changer aux derniers termes , parce qu’aucune des quantités A, B , C, R qui y entrent n’auroit passé ni par o ni par oo .

Il est donc facile d’appliquer les formules du tableau précédent à quelque triangle que ce puisse être.

1 68. Les conséquences particulières qn’on peut tirer de ce tableau sont nombreuses ; je ne m’y arrêterai pas : on les obtient, en comparant ces formules deux à deux, trois à trois, &c. ; mais nous ferons voir comment de ce tableau on déduit la solution

de ce problème général. Trois quelconques des loi quantités portées au tableau, étant données et indépendantes les unes des autres , trouver les 98 inconnues. Il n’y a pour cela qu’à chcrcber les données actuelles A, B, G , R en valeurs des trois nouvelles données, et les substituer dans toutes les formules du tableau précédent.

Supposons, par exemple, que ces trois nouvelles données soient AD , ADC, ADB.

Soient pour abréger AD = K, ADC =f, ADB— g, les 1 1*, 12°, et formules me donneront donc ces trois équations f — B, g=2v — C m — sR.cos. A. Il s’agitdonc de tirer de ces trois équations les valeurs de A , B , C , R, pour les substituer dans les formules du tableau. Il ne se trouve que trois équations pour déterminer les quatre inconnues; mais il ne faut pas oublier que nous n’nvons introduit les trois angles A, B, C dans le calcul, que pour rendre les formules plus simples (167) , et qu’on peut toujours trouver la troisième dès qu’on connoîl les deux autres au moyen de l’équation A+ B+C = 2 •».

Da première des équations ci-dessus me donne B = 2«' — f ; la seconde C = 2 — g; et par conséquent A =f+g — a*. Donc la troisième équation ci-dessus donnera K = aR cos. (f-{-g) ou

R = 77 — donc pour obtenir le nouveau tableaucbcrchc,

iCOS.{f+gŸ

il n’y a qu’à substituer dans celui qui précède pour A, B, C, R,

CCS quantités respectives ,f-\-g — aw , aw — g,

a cos. (/’+g)'

PROBL.ÊUE XVI r.

1 6q. Le triangle ABC (lig. 4g) étant inscrit dans un cercle , supposons que de chacun des angles on abaisse une perpendiculaire sur le côté opposé , et qu'on prolonge ces perpendiculaires jusqu’à la rencontre de la circonférence ; ce qui fera, en comptant les sommets du triangle proposé , six points d’intersection A, B, C, f, g, h, sur cette circonférence. Cela posé, soient

joints ces six points d’intersection deux à deux par une corde. On demande i®. les valeur de chacune de ces cordes; a“. la valeur die chacun des angles formés par ces cordes deux à deux aux six points d’intersection, toutes exprimées en valeurs des mêmes quantités A, B, C, prises déjà pour termes de comparaison dans le problème précédent,

E est clair que ce nouveau problème n’est qu’une extension du précédent, et qu’il s’agit seulement d’exprimer les quantités

ajoutées au système déjà considéré, telles que Af, Ah, Ag, Bf, &c. en valeurs des mêmes données A»B, C, R; c’est pourquoi dans le tableau qui va suivre , j’excepterai celles qui sont

déjà au tableau précédent, telles que AB, AC, BC, BAC,

BAD, &C., etqui sont au nombre de quinze; savoir trois droites et douze angles ; et quant aux autres , je les numéroterai en suivant les nombres du problème précédent, puisque celui-ci n’en est que la suite ; c’est-à-dire , en commençant par i oa.

D’après cela, il est facile de voir que le nouveau tableau doit contenir soixante-trois quantités nouvelles, savoir 5i angles et la cordes, ces angles étant formés lo par lo à chacun des points d’intersection, ce qui fait 6o angles; sur quoi à déduire les 9 déjà contenus au précédent, et les cordes partant 5 par 5 de chacun des mêmes points d’intersection ; ce qui fuit en tout 3o cordes, dont il faut prendre la moitié, parce que chacune réunit deux des points d’intersection, reste i5 cordes; sur quoi à déduire les trois côtés du triangle, déjà portés au tableau précédent.

Cela posé , le tableau suivant satisfera à la question proposée.

Valeurs des angles.

, io3*

io5*

/AB = -v — B /AA = a « — a B /AC = ^-4-(A — B) /Aë = aA •

G EOMETRIE

. BAg =

. hAg =

a» — aC

CA^

\ hBC =

. hÜg =

. /lÊA =

lia*. ...

. hDf =

ii3*

• CÊ/ =

ii4*. . . .

. gBF =

a» — aA

ii5*