SECTION PREMIÈRE

Principes généraux,

g. Avant d’entrer en matière , j’établirai une distinction très -importante pour ce que j’ai à dire dans la suite : celle distinction porte sur les mois valeur et quantité.

Par l’expression de valeur , j’entends, en général , toute espèce de fonction algébrique. Ainsi a est une valeur absolue; -f-a, une valeur positive; — o, une valeur négative; V — o, une valeur imaginaire. Je réserve au contraire le nom de quantité , pour désigner uniquement la chose même dont on recherche les propriétés, ou sa valeur absolue, c’est-à-dire, abstraction faite du signe. Ainsi en adoptant cette définition , il n’y a ni quantités positives , ni quantités négatives , ni quantités imaginaires. Toute quantité est un objet réel que l’esprit peutsaisir, ou du moins sa représentation dans le calcul d’une manière absolue; au lieu que les valeurs ou fonctions , peuvent n’êlre que des formes algébriques , des quantités prises collectivement avec leurs signes. Or ces signes indiquent des opérations qui souvent ne sont point exécutables. Par exemple, — a, seul, indique qu’il faut retrancher a de o; ce qui est absurde, puisqu’il n’y a rien au-dessous de o.

Ces formes algébriques peuvent, à la vérité, être employées dans le calcul comme véritables quantités; mais ce calcul n’oilrc de résultats intelligibles , qu’autant que ces formes sont ramenées à des combinaisons qui peignent des objets réels ; c’est-àdire, à des formules ou fonctions dans lesquelles les opérations indiquées peuvent être réellement exécutées. On peut bien , dans un calcul , indiquer la soustraction d’une quantité à retrancher d’une quantité plus petite; mais on ne peut pas

l’effccluer. Cependant ce résultat, quoique absurde,- étant exprimé algébriquement, peut, par des transformations, conduire à des résultats d’un autre genre , et qui n’indiquent plus que des opérations exécutables sur des quantités cfièctives. C’est alors seulement que ces résultats sont véritablement significalils , et qu’on peut les appliquer utilement à l’objet qu’on s’est proposé.

le suppose , par exemple , que l’expression des conditions d’un problème m’ait amené à cette équation , ** — 2ox + o* — 6=o, ou (x — a)‘=i; j’en tirerai X — o = ±l^.

Lepreinier de ces résultats , c’est-à-dire, x — n’offre rien que de clair à l’esprit; mais le second x—a= — 1^, est inintelligible , puisque le second membre est une quantité absurde, ou une simple forme algébrique, qui n’exprime rien d’effectif. Cependant par la .seule transposition de la quantité a, je rends ce résultat significatif et utile à mon objet, puisqu’il résoud la question que je m’élois proposée , aussi bien que le premier; car alors les deux résultats deviennent l’un x = a + 1/% et l’autre, x=a — \/~B, lesquels sont également propres à résoudre le problème.

10» Lorsque les propriétés d’un système quelconque de quantités , sont exprimées par des équations ou formules ramenées à cet état primordial dont on vient de parler ; c’est-à-dire, tel que toutes les opérations qui s’y trouvent indiquées par les signes, peuvent être réellement effectuées ; je l’exprime, en disant que ces formules sont immédiatement applicables, au système proposé, et je les nomme formules explicites à l’égard de ce système. J’appelle au contraire formules implicites, celles qui ne peuvent lui être immédiatement appliquées , sans leur avoir fait préalablement subir quelque transformation.

Ainsi dans l’exemple précédent, x— 0=»*’^, x = a-f^^, X = 0—1^, sont des formules explicites, parce qu’il ri’y a dans ces équations aucune opération indiquée qui ne puisse réellement être exécutée; au lieu que l’équation x — a= — V'é est seulement implicite, parce qu’on ne peut la rendre significative , * sans

sans lui avoir prdalablement fait subir une transformation,, comme celle de transposer a , ce qui donnera x = a — 1^, ou celle de changer les signes de tous les termes , ce qui donnera a — x = formules qui sont l’une et l’autre explicites.

Le but qu’on doit remplir lorsqu’on n’a que des formules implicites, pour en tirer les rapports réels des quantités, est donc de les ramener à des formules explicites , par des transformations convenables , ou l’élimination des valeurs qui n’y représentent pas de véritables quantités.

1 1 . Sous la dénomination générique de grandeur, je comprendrai également les véritables quantités , cl les formes algébriques que j’ai nommées valeurs. Quelquefois aussi , pour me rapprocher autant que possible des locutions les plus usitées , j’emploierai le mot de quantité pour celui de valeur et réciproquement , mais seulement lorsqu’il ne pourra en résulter ao« cunc équivoque.

12. On a vu par l’exemple rapporté ci-dessus, qu’on ne doit point rejeter comme inutiles les formules implicites ; c’est même proprement l’emploi de ces formules qui fait Je caractère de l’analyse, et qui lui donne un si grand avantage sur la synthèse. Celle-ci est restreinte par la nature de ses procédés ; elle ne peut jamais perdre de vue son objet : il faut que cet objet s’offre toujours à l’esprit réel et net, ainsi que tous les rapprochemens et combinaisons qu’on en fait. Elle ne peut donc employer des formules implicites , raisonner sur des quantités absurdes, sur des opérations non exécutables: elle peut bien faire usage des signes, pour aider l’imagination et la mémoire; mais ces signes ne peuvent jamais être pour elle que de simples abréviations.

L’analyse, au contraire, a d’abord tous les moyens de la synthèse, et de plus, elle admet dans ses combinaisons des objets qui n’existent pas; elle les représente par des symboles , aussi bien que ce qui est effectif ; elle mélange les êtres réels avec les êtres de raison ; puis par des transformations méthodiques, elle parvient à éliminer ou chasser ces derniers du

calcul , après s’en être servi comme d’auxiliaires. Alors ce qu’il y avoil d’inintelligible dans les formules disparoît , et il ne reste que cc qu’une synthèse subtile auroit sans doute pu faire découvrir: mnisce résultat, onl’aobtenu parunc voie plus courte, plus facile, et presque par pur mécanisme, lorsqu’il eût fallu de grands ellbrts pour y parvenir autrement. Tel est l’avantage de l’analyse sur la synthèse, et par conséquent , celui des modernes sur les anciens.

Les anciens , à la vérité, n’usoient pas même comme abréviations , dans leur synthèse, des signes que les modernes emploient d’une manière plus générale dans l’analyse. Mais cela ne prouve pas que l’usage des signes appartienne exclusivement à celle-ci : cela prouve seulement, que les anciens n’avoient pas même, pour faire les admirables découvertes que nous leur devons , le secours de la synthèse poussée aussi loin qu’on peut la porter. Cependant ils faisoient usage très-habilement de la Uiéorie des proportions , où l’on emploie une sorte de mécanisme très-aiialogue à celui de l’algèbre; mais ils ne s’en scrvoient jamais que pour indiquer des opérations exécutables. Les modernes ont franchi le pas , et c’est ce qui constitue le caractère de l’analyse, et produit ses étonnans résultats.

l3. Toute autre distinction entre l’analyse et la synthèse me paroît illusoire. La synthèse est, dit-on, l’art de s’élever graduellement des vérités les plus simples aux plus composées jiar le rapprochement successif et la combinaison des premières; tandis que l’analyse est l’art de décomposer une vérité compliquée en ses principes élémentaires; c’est-à-dire, l’art de vérifier de proche en proche , si une vérité ou proposition éloignée que l’on suppose vraie , s’accorde avec ces principes ou axiô- 7ues , et s’en trouve une conséquence nécessaire. Mais il est évident que les raisonncniens à faire dans l’un et l’autre cas , sont toujours les mêmes , pris dans un ordre différent. Ce n’est donc pas une distinction essentielle entre les deux méthodes, et l’on ne voit pas-là cc quidonneroit à l’une un si grand avantage sur l’autre.

Les caractères algébriques ou sjgnes qui sont familiers à l’ana- ]yse, tandis que la synthèse n’emploie communément que le langage ordinaire, n’établissent pas par eux-mêmes, ainsi qu’on l’ii vu ci-dessus, une différence plus réelle j car dans la synthèse , on emploie souvent ces signes comme de simples abréviations , et l’on ne fait pas pour cela de l’analyse, et réciproquement, une formule analytique traduite en langage ordinaire, ne devient pas pour cela une proposition synthétique. Il est certain qu’on peut faire un très-grand usage des signes algébriques , sans jamais sortir de la synthèse , et qu’il n’y a aucune recherche analytique à laquelle on ne puisse parvenir, sans employer un seul de ces mêmes signes : il ne s’agit que de substituer à ces signes un nombre sullisant de paroles.

Il est vrai que la synüièse procède en partant des axiomes , et s’élève par gradation aux vérités complexes. Mais cette raarrhe ne lui est point particulière; c’est, dans tous les cas, la seule qu’il soit possible de tenir, et pour peu qu’on y réfléchisse, on verra que l’analyse n’en suit point d’autre. Elle raisonne bien sur les quantités inconnues comme si elles étoient données ; mais c’est que ces quantités , quoique inconnues , ont des propriétés connues , et c’est uniquement à celles-ci que s’attache l’analyse ; ce sont ces dernières qu’elle traduit , et dont en procédant toujours du connu à l’inconnu, aussi bien que la synthèse , elle déduit ce qu’elle vouloil découvrir. L’art de procéder de ce qu’on ignore à ce qu’on sait , est une opération interdite à l’intelligence humaine.

C’est de tout temps que les hommes ont cherché à seconder leurs facultés intellectuelles parle secours des symboles, qu’ils ont tâché de se créer une espèce de mémoire arliflcielle, d’agrandir leur imagination par le rapprochement des objets qui l’avoient frappée , de réduire les règles du raisonnement à une sorte de mécanisme. Cette idée fondamentale ou cet instinct, a été le principe des plus grandes découvertes dans tous les genres : c’est particulièrement celui des sciences exactes, de l’arithmétique, par exemple, qui n’est que l’art de suppléer en partie

aux opérations tle l’esprit par des opérations matérielles, sur un système de caractères symboliques; celui de l’algèbre , qui n’est qu’une espèce d’arithmétique indctcrniinée , c’est â-dirc, l’art d’indiquer à l’arithmclique numérale les opérations que celle-ci doit exécuter : l’une et l’autre sont des instrumens dont se sert l’analyse; mais ces instrumens appartiennent également à la synthèse : c’est l’usage différent qu’en font ces deux méthodes qui les caractérise. Par eux , la synthèse exprime tous les rapports possibles d’existence entre les quantités ; mais l’analyse est parvenue , par leur moyen , à exprimer non-seulement tous les rapports d’existence , mais encore tous ceux d’incora- ])atibilité : elle remplit cet objet, en représentant les premiers ])ar l’indication d’opérations possibles ; les autres, par l’indication d’opérations non exécutables.

Qu’on forme la chaîne non interrompue des propositions, depuis l’axiôme jusqu’à une vérité éloignée, il sera facile d'intervertir de bien des manières l’ordre de ces propositions , sans que la série des raisonnemens perde rien de son évidence; car les seules conditions qu’il y ait à remplir pour cela sont, i°. que dans chacune de cès propositions on voie clairement l’identité des deux objets comparés ; a”, que ces deux objets soient repris , l’un dans la proposition précédente , l’autre dans la proposition suivante. Or il est clair qu’il peut y avoir nombre de manières de satisfaire à ces conditions; et que par conséquent, ce n’est pas le changement d’ordre dans la série de ces propositions qui constitue le changement de la méthode.

Ce qui constitue essentiellement le changement, c’est-à-dice , la différence de la synthèse à l’analyse , est qu£ , la*première no parvient au résultat qu’elle cherche, qu’apres avoir, en effet, établi cette chaîne de propositions dont nous venons de parler; que l’analyse, au contraire, y arrive d’abord par un chemin rapide qui lui est propre , en formant sur sa route une autre chaîne , non d’objets réels comme la précédente , mais de hiéroglyphes , qui le plus souvent ne désignent que des êtres de raison. Une fois qu’elle a saisi la vérité cherchée, qu’elle l'a

DEPOSITION, i3

monlréc à la synthèse, la fonction de celle-ci est d’établir sa chaîne d’objets réels: la grande difficulté est levée; on sait le point où il faut arriver : le point de départ est connu ; il ne s’agit que de tracer la route la plus courte et la plus commode, pour remplir l’intervalle.

M.ais celte route une fois établie, n’est ni moins sûre ni moins lumineuse, soit qu’on la parcoure dans un sens, soit qu’on la parcoure dans l’autre ; c’est toujours de la synthèse, comme la route hiéroglyphique dont nous avons parlé, demeure toujours analyse , tant que les objets désignés par ces symboles ne sont point devenus réels et appréhensiblcs par l’esprit. Dés qu’ils le deviennent , les hiéroglyphes ne sont plus qu’une écriture abrégée, qui no conserve aucun caractère essentiellement difféi-enl de celui de la synthèse : l’une devient l’autre par une simple traduction.

S’il suffisoit d’une écriture abrégée pour faire de l’analyse, la sténographie auroit ce caractère ; ce scroit l’analyse appliquée aux usages ordinaires de la société. Cependant elle n’atteint pointée but; ses avantages sont , de recueillir les paroles avec la rapidité de l’orgaoe qui les prononce , d’en former un tableau qui les rapproche et les réunisse matériellement sous un même point de vue , et de produire enhn un effet assez approchant de celui des signes algébriques employés comme simples abréviations. Mais pour que la sténographie devint une science analytique , il faudroit pouvoir lui adapter un mécanisme propre à transformer de toutes les manières possibles le discours qu’elle peint sans en altérer le sens , à en transposer les parties sans en changer la relation , ou du moins les résultats de leurs combinaisons ; alors les règles de ce mécanisme pourroient former une sorte d’analyse applicable à des objets de toute nature.

l4. La multiplicité des succès de l’analyse , l’accord constant de ses résultats avec ceux qu’on pouvoit obtenir par la synthèse, et le sceau de l’évidence apposé successivement par celle-ci, à toutes les découvertes de la première, ont mis hors

,'t GEOMETRIE

de Joule la ccriitutle de ses procédés. Mais lors des premiers essais de celle iiiétliode d’invention, on dut être fort circonspect, et l’on n’osa mettre au jour les découvertes opérées par ■son moyeu, qu’apres les avoir fait passer par l’épreuve de la .synllièsc. Voilà, je pense, pourquoi Newton ne regarJoit ses sublimes travaux comme dignes d’être mis sous les yeux du monde savant, qu’après leur avoir donné la forme synthétique , apres les avoir débarrassés des expressions symboliques qui auroicut indiqué des quantités absurdes ou des opérations inexécutables} auxiliaires infiniment utiles à celui qai cherche, mais qui ne sauroient satisfaire entièrement celui qui ne soufiVc aucun nuage ; il vouloit , en un mot , qu’après avoir établi la chaîne des vérités hiéroglyphiques, on rétablît la chaîne des vérités sensibles. On est devenu plus hardi à force de succès , et les résultats de l’analyse inspirent aujourd’hui la même confiance que ceux de la plus rigoureuse synthèse.

Si l’analyse n’etoit que l’art de suivre la chaîne des raisonnenicns dans le sens opposé à celui qu’on suppose établi par la synthèse, les modernes nepourroient s’en attribuer l’invention; car cette marche a été connue des anciens , pratiquée et formellement définie par eux : ils en attribuoient la découverte à Platon , et la réduction à l’absurde qu’ils employoient souvent dans leurs démonstrations , éloit regardée comme une application de cette méthode. Le livre des Principes de Newton contient une multitude de recherches faites par ce même procédé. Cependant on cite , avec raison , cet ouvrage comme un chef-d’œuvre de synthèse ; c’est qu’en effet il en a le véritable caractère ; que les signes algébriques n’y sont employés que comme abréviations , et qu’on n’y rencontre jamais ni quantités négatives isolées, ni quantités imaginaires (i ). Or c’est l’emploi de ces formes algébriques qui constitue véritablement la méthode analytique; c’est

(i) Dam tout le livre dca Principe» , je n’ai pas retnarqué une seule qnanlllé imaginaire ; il s’en rencontre quatre ou cinq de formes négatives, amenées pour la simplification des calculs.

iT)

entre les symboles qui peignent des objets réels, et ceux qui n’expriment que des êtres de raison , qu’est le passage de la synthèse à l’analyse, la ligne de démarcation qui existe entre elles; c’est-là que l’on change de guide, et que l’imagination perd son objet de vue , pour ne la retrouver qu’à l’extrémité de la chaîne où les deux méthodes se réunissent de nouveau , et se confondent dans leurs résultats.

l5. La synthè.se ne s’applique point exclusivement aux mathématiques : c’est en général l’art de raisonner avec justesse, quel que puisse être le sujet de l’argumentation. Elle ne diffère point de ce qu’on nomme dialectique : l’une et l’autre ne sont que la méthode de changer la forme d’un argument , sans changer l’argument lui-même , soit en transposant ses parties , soit en substituant à une expression ou passage clair de cet argument, un autre passage équivalent. C’est cette série de transformations appliquée rigoureusement au raisonnement en général , qu’il soit exprimé par des signes ou par le langage ordinaire, qu’on nomme synthèse ou dialectique. L’analyse prbe généralement en diffère, en ce que la série des transformations s’opère sur des parties du discours tronquées et inintelligibles isolément prises , mais qui subordonnées comme les autres nu mécanisme de l’argumentation , peuvent ramener par une nouaelle série de transformations, à des résultats clairs et précis, aussi bien que ceux qui ont été amenés par la synthèse. Je ne pense pas qu’il soit impossible d’appliquer ce mécanisme analytique à des objets même considérés comme absolument étrangers à ceux qu’on traite en mathématiques ; mais cette application doit devenir d’autant plus difficile , que les rapports existans entre ces objets sont moins susceptibles d’une évaluation précise, d’une échelle exacte de comparaison. Or la plupart des questions traitées , non-seulement dans le commerce do la .société , mais même dans les ouvrages scientiHqucs , qui semblent donner plus de prise à l’exactitude du raisonnement, tels que ceux d’économie politique , tenant en partie au moral des

iH G E O JM E T K I E

lioninies , aux conjectures , aux faits vagues , à Jes accessoires Irès-multipliés ; il est peu de circonstances où la science analytique proprement dite, puisse trouver son application. Cependant je ne doute pas qu’on ne parvienne à étendre beaucoup son domaine, en cherchant les règles du mécanisme qu’on pourroit appliquer aux discussions exactes, et particulièrement à l’écriture sténographique.

l6. Cette digression, trop étendue peut-être , n’est cependant point étrangère au sujet que je traite ; car c’est précisément à justifier cet emploi que fait l’analyse des quantités absurdes en elles-mêmes, qu’il paroît nécessaire de s’appliquer: c’est a faire voir comment ces quantités absurdes en indiquent d’autres qui sont réelles, et comment les signes qui les affectent font reconnoitre les relations diverses, les positions respectives qu’elles doivent avoir. Cet ouvrage est un essai sur ces sortes de questions.

ly. Ce qui fait en général qu’une opération indiquée ne sauroit s’exécuter, c’est l’emploi des quantités dites négatives prises isolément; c’est-<à-dire des quantités à retrancher de o, ou de quantités moindres qu’elles ; c’est donc, a proprement parler , un examen de la nature des grandeurs dites positives et négatives que nous avons à faire.

1 8. Concevons donc d’abord un système variable de quan< tités quelconques tirées ou non de la géométrie, et considérons ce système dans deux états différens ; l’un que je prends pour terme de comparaison , et que je nomme système primitif; l’autre que je rapporte au premier, et que je nomme système transformé ou corrélatif,

1 Q. Regardons chacune des quantités qui composent le système primitif, comme la limite de sa correspond.inte dans le système transformé , c’est-à-dire, comme sa première valeur , lorsque le système commence à passer de son état primitif à son

état

état de transformation , ou si l’on veut , comme sa dernière valeur, en supposant que le système transformé revienne à son état primitif. Il est clair que si l’on compare entre elles, deux des quantités du système transformé pour en connoître le rapport, ce rapport aura de même pour limite ou pour première ou dernière valeur , le rapport des limites de ces mêmes quantités; et c’est ce rapport des limites ou cette limite du rapport des deux quantités du système transformé, qu’on nomme première ou dernière raison de ces mêmes quantités.

L’état de transformation du système n’étant pas encore déterminé , si l’on prend la dificrence de chacune des quantités qui le composent à sa limite, ces düférences sont ce que l’on désigne sous le nom d’ infiniment petits ; c’est-à-dire , qu’on nomme infiniment petite la diCfcrence d’une quantité quelconque indéterminée à sa limite , parce qn*en effet on peut rendre simultanément ces différences aussi petites qu’on veut , attendu qu’on peut rapprocher autant qu’on veut le système transformé du système primitif, et faire même évanouir toutes ensemble ces quantités, en poussant le rapprochement des deux systèmes jusqu’à leur ooïnoidanca.. ^ - ‘

On voit donc que la limite de chacune de ces quantités appelées infiniment petites, est zéro : ainsi on peut les définir, eil disant qu’o/i nomme infiniment petite toute quantité qui a zéro pour limite. Celte définition est rigoureusement exacte. Une quantité infiniment petite n’est point une quantité nulle, mais une quantité dont la limite est nulle, et cette simple notion fait disparoitre toute la diiEculté des principes de l’analyse infinitésimale.

En effet, nous avons dit ci-dessus, que la dernière raison de deux quantités variables , n’est autre chose que le rapport de leurs limites. Cela se conçoit parfaitement tant que ces limites ne sont pas o ; c’est-à-dire , tant que les variables comparées no sont pas de celles qu’on nomme infiniment petites ; mais dans ce dernier cas, le rapport des limites se réduisant à | , la dernière raison de ces quantités prend, comme l’on voit, une forme

i8 GEOMETRIE

indéterminée. Or quelle est la -valeur de cette indéterminée ? Voilà le point de la difficulté de l’analyse infinitésimale ; mais celte difficulté cesse de suite , si l’on considère que cette dernière raison n’étant autre chose que le terme dont se rapproche de plus en plus le rapport de ces mêmes quantités , a mesure que le système transformé approche de sa coïncidence avec le système primitif, sa valeur lui est assignée par la loi de continuité, et qu’ainsi elle sort de son état d’indétermination.

9.0. Si dans une équation rigoureusement exacte, des quantités infiniment petites se trouvent mêlées avec d’autres quelconques qui ne le soient pas , et qu’on puisse réduire cette équation à deux termes dont le rapport soit lui - même une quantité infiniment petite. La méthode des indéterminées proqvc que chacun des ternies en particulier est nécessairement égal à O ; car si l’on suppose que X + Y = o soit cette équation

exacte , et que ~ soit une quantité infiniment petite , je dis

qu’il faut nécessairement que X et Y soient chacune en particulier égales à zéro. En effet, supposons que X ne fût pas o, je

divise tout par X, et j’ai = mais par hypothèse —

JL JL

est une quantité infiniment petite; c’est-à-dire, qu’en rapprochant le système transformé du système primitif, on peut rendre

— aussi petite qu’on le veut; donc si X n’est pas o, on pourra

faire que i diffère aussi peu qu’on voudra de o; ce qui est absurde. Donc on a véritablement X= o , équation qui , retranchée de l’éqiialion pareillement exacte par hypothèse X+Y = o , donne Y = o. Donc X et Y sont chacune en particulier, égales à o; et comme Y est aussi par hypothèse la réunion de tous les termes dont le rapport à X a été supposé infiniment petit, il suit qu’on peut négliger tous ces termes, pour ne laisser subsister que l’équation X = o. Et tel est le principe de l’analj'seinfinitcsinudc, qui', comme on le voit, n’est qu’une application de lu os^ltode des indcterminccs.

DEPOSITION. ' iQ

Ayant voulu suivre les variations du système transformé depuis le moment où il se détache du système primitif, j’ai dù jeter un coup-d’œil sur l’état d’indéterminatiou où il demeure, jusqu’à ce que le calculateur ait changé ses premières limites; c’est-à-dire, jusqu’à ce qu’il lui ait assigné un autre état quelconque déterminé ; mais il faudroit plus d’étendue pour développer convenablement les notions précédentes. J’ai tâché de lo faire dans un autre ouvrage qui a été imprimé sous le titre do Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal , et qui doit par conséquent être regardé comme faisant partie de celuici. Je reprends donc la suite de l’article i8.

*2 1 . Au lieu de considérer , comme je viens de le faire , la différence de chacune des quantités du système transformé à sa limite, je considère celle de deux quelconques des quantités du système transformé entre elles, et je la compare avec celle des limites correspondantes de ces mêmes quantités. Cela posé :

La différence de deux quelconques des quantités du système transformé, sera dite en sens direct ou simplement directe, loi'squ’cn comparant ces deux quantités à leurs correspondantes dans le système primitif, il arrive que celle des deux, qui est la plus grande dans le système transformé, correspond, pendant tout le changement qui s’opère, à celle qui étoit aussi la plus grande dans le système primitif, et la plus petite de l’une à la plus petite de l’autre , sans qu’aucune des deux ait cessé d’être Unie; c’est-à-dire, sans qu’elle ait passé ni par o, ni par i ou =o .

Si au contraire celle qui étoit la plus grande dans le système primitif, est devenue la plus petite dans le système transformé et réciproquement , tandis que ces deux variables seront constamment demeurées finies l’une et l’autre ; c’est-à-dire , n’ayant passé ni par o , ni par so , leur différence sera dite en sens inverse ou simplement inverse.

Quant aux quantités même dont la différence est dite en sens direct, on dira qu’elles sont respectivement demeurées en ordre

direct ; et lorsque celle différence deviendra inversé , ou se trouvera en sens inverse, on dira de ces quantités dont elle est ladifférence^ qu’elles ont passé à Tordre inverse. Âinsion nomme directes , les différences des quantités qui demeurent constamment en ordre direct l’une à l’égard de l’autre pendant la mutation du système, et inverses, les différences de celles qui passent à Tordre inverse l’une à l’égard de l’autre , par l’effet de cette mutation, sans cependant que ni l’une ni l’autre ait cessé d’être finie , c’est-à-dire , sans qu’elle ait passé ni par o, ni par oo .

Mais on ne doit pas oublier , que d’après les notions données ci-dessus , il ne s’agit iamais , dans ces définitions , que de véritables quantités, et non de ce que j’ai appelé vn/eurs. Ainsi , les différences en question ne peuvent être entendues que de l’excès de celle des quantités qui est intrinsèquement la plus grande sur celle qui est intrinsèquement la plus petite , et abstraction faite des signes; et que par conséquent ces différences ellesmêmes sont toujours de véritables quantités.

Soit pris pour exemple un triangle ABC (fig. i) sur la base BC duquel soit abaissée de l’angle opposé A une perpendiculaire AO, que je suppose tomber entre les points B, C; considérons la base BC avec ses deux segmens BD, CD, et concevons que le point C se meuve vers le point B , jusqu’à ce qu’il ait passé le point D. La base BC est donc variable , ainsi que le segment CD , tandis que l’autre segment BD est constant.

Cela posé , prenons pour terme de comparaison la figure primitive, composée du triangle ABC, et de la perpendiculaire AD , et pour système transformé , cette même ligure après que le point C se sera rapproché du point D, sans cependant être arrivé jusqu’à lui : il est évident qu’alors , tant dans le système pnmilif que dans le système transformé , on aura constamment BC>BD, et que déplus, ces quantités seront demeurées finies pendant toute la mutation : donc ces quantités sont de celles que j’ai appelées en ordre direct; et leur différence CD est de

DE POSITION, celles que 7’ai nommées en sens direct ou simplement directes.

Prenons ensuite pour système transformé ,1a même figure considérée lorsque le point C a passé au-delà du point D , le système primitif servant toujours de terme de comparaison. Il est clair qu’on aura alors BÜ>BC. Donc d’après les notions données ci-dessus , ces deux quantités ont passé à l’ordre inverse , et leur différence CD se trouve de celles que j’ai nommées inverses ou en sens inverse ; c’est-à-dire, en sens inverse de ce qu’elles étoient dans la figure primitive, toujours prise pour terme do comparaison.

Lors donc qu’on dit de deux quantités , qu’elles sont en ordre direct ou en ordre inverse , ou d’une quantité, qu’elle est directe ou inverse; c’est par-là même rapporter, au moins tacitement, le système auquel appartiennent ces quantités , à un autre système pris pour terme de comparaison , ou pour système primitif, sans qu’il soit nécessaire de l’énoncer expressément.

23. Conformément aux premières notions déjà données (3 et suiv. ), j’appellerai systèmes corrélatifs tous ceux qu’on peut rapporter à un mème^ système primitif; c’eat-à-dire tous ceux qu’on peut considérer comme les diilérens états d’un même système variable qui se transforme par degrés insensibles.

Pour que deux systèmes soient corrélatifs , il n’est pas nécessaire qu’ils soient liés de fait entre eux; c’est-à-dire, qu’ils soient réellement les diverses transformations d’un même système primitif : il suilit qu’ils puissent être considérés comme tels , ou ramenés l’un à l’autre au moyen d’une mutation que l’on imagineroit s’opérer par degrés insensibles. Les quantités qui se correspondent dans les deux systèmes corrélatifs , sont pareillement nommées quantités corrélatives.

Si deux systèmes corrélatifs de quantités sont tels, qu’on puisse leur appliquer exactement un même raisonnement , ou une série de raisonnemens absolument semblables, je dirai, eu égard à cette même série de raisonnemens qu’ils sont entre eux > en corrélation directe ou directement corrélatifs. D’où il suit

G Ü E T il I E

évidemment, que si le résultat de ces raisonnemens est pour l’uii de ces systèmes une certaine formule qui lui soit immédiatement applicable , cette meme formule sera aussi immédiatement applicable à l’autre système; c’est-à-dire, que pour appliquer à celui-ci la formule trouvée pour le premier , il n’y aura d’autre changement à faire, que d’y substituer à la place des valeurs qui y entrent, les valeurs correspondantes de l’autre système sans aucun changement dans les signes de la formule ; ce qui s’accorde avec la notion déjà donnée ( 4).

Mais si les raisonnemens à faire sur les deux systèmes comparés cessent d’être littéralement les mêmes , je dirai qu’ils sont entre eux en corrélation indirecte , imaginaire , ou complexe , suivant les modifications plus ou moins sensibles qu’on scroil obligé de faire subir aux signes des formules qui expriment les propriétés du système primitif, pour les rendre applicables au système transformé ( 5 et suiv.).

Par exemple, dans le système primitif ABCD déjà considéré (fig. i'*), je puis faire ce raisonnement : le triangle A BD

donne AB* = BD*-f- AD*,

et le triangle ACD donne AC* = CD*-fAD*,

ôtant cette seconde équation de la première, il reste

ÂÜ*— ÂC* = BD* — C33*;

déplus, on a - BDi=BC — CD,

Substituant celte valeur de BD dans l’équation précédente , on aura AB' — AC' — BC' — aBC.CD.

Il est clair que ce raisonnement est applicable , littéralement et dans son entier, au système transformé , tant que le point D est placé entre B et C ; donc la formule précédente est immédiatement applicable à tous les cas , tant que CD sera en sens direct

Mais lorsque C aura passé le point D, la première partie seule du raisonnement {jusqu^à ces mots, de plus &c.) aura encore lieu. La seconde, au contraire, ne pourra s’appliquer au nouveau cas, puisqu’on n’aura plus, comme précédemment ,

CD = BC — BD ; mais au contraire, CD=BD — BCjc’està-dire, que CD sera devenu inverse (as) : aussi l’équation finale

sera-t-elle pour ce cas AB’ — AC’= BC’ + aBC.CD,

laquelle diffère de celle trouvée pour le premier cas, par le signe qui affecte le dernier terme ; ce signe étant — pour le premier cas , et + pour le second.

a4. Voyons donc ce qui a lieu en général , d’abord tant qu’il n’entre dans les formules qui expriment les propriétés du système que des quantités directes, et ensuite ce qui arrive, lorsque la mutation du système exige qu’on y introduise une ou plusieurs quantités inverses , afin qu’elles continuent à lui être immédiatement applicables.

Soient M, N, deux quelconques des quantités du système primitif; m, n, les quantités correspondantes du second sj'stème. Cela posé, d’après la définition, tant que les deux systèmes demeureront directement corrélatifs, m , n joueront dans les formules de ce second système, le même rôle exactement que leurs correspondantes M, N dans le premier.

De plus, en smmosant M>- N par exemple, si-l’on a pareillement m>n, ces dernières quantités seront en ordre direct , et leur différence m — n , en sens direct; c’est-à-dire , que si l’on nomme P la différence des deux premières M, N, et p la différence des deux dernières m, n, cette quantité p sera une quantité directe.

Or puisque M> N, etm>n, nous aurons P = M — N et p — m — n ou M = N + P et ;n = n -Hp.

Substituons dans les formules dont nous venons de parler, ces valeurs respectives de M et m ; il est clair que ces formules qui éloient semblables avant la transformation , le seront encore apièa, puisqu’à la place des quantités correspondantes M , m, qui y joiioient le iiièine rôle, on y aura substitué des valeurs N-fP, n+p, qui sont encore de mêmes formes.

Donc tant qu’il n’entrera dans le calcul que des quantités

s4 GEOMETRIE

tlirccles, les formules correspondantes dans le système primitif

et dans le système transformé, resteront semblables entre elles ,

parce qu’en effet les nouveaux raisonnemens qu’on aura ajoutés

aux premiers, c’est-à-dire, à ceux qui avoient fait trouver les

formules , auront encore été exactement les memes de part et

d’autre.

Voyons maintenant ce qui arrivera, s’il doit entrer dans la formule une quantité inverse.

Supposons donc qu’ayant toujours M>N, on ait an contraire «>7n, c’est-à-dire, que ces dernières soient en ordre inverse à l’égard des premières, leur différence p ne sera donc plus m — n comme auparavant, mais n — m-, c’est-à-dire, qu’on aura pour ce cas d’une part, P = M — N, et de l’autre p — n — m, ou M = N-bP et m=n-^p.

Substituons ces valeurs respectives de M , m , dans les formules correspondantes jusqu’alors semblables pour les deux systèmes, elles cesseront de l’ètre après celte substitution; car dans l’une, on aura mis N-l-P à la place de M, et dans l’autre , n — P à la place de /« : il y aura donc celle différence entre les nouvelles formules , que les valeurs des quantités P , p, s’y trouveront affectées de signes contraires. Donc, pour passer des formules du système primitif à celles du système transformé , il ne suffira plus, comme auparavant, de substituer dans les premières , aux valeurs absolues qui y entrent, les valeurs absolues correspondantes de l’autre système; il faudra de plus, changer le signe de la quantité p devenue inverse.

Et comme on peut appliquer le même raisonnement à toutes les autres quantités devenues pareillement inverses, il est clair qu’on peut établir ce principe général.

Pour rendre les formules d’un système quelconque de quantités applicables à un autre système qui lui soit indirectement corrélatif , il faut i®. établir la corrélation des valeurs absolues , en substituant pour chacune de celles qui appartiennent au système primitif, pris pour terme de comparaison , la

valeur

valeur absolue qui lui correspond dans L’autre système ; 2®. établir la corrélation des signes , en changeant dans les formules le signe de chacune des quantités qui se trouvent en sens inverse dans le second système , et laissant au contraire à chacune des autres, le signe qu’a sa correspondante dans le système primitif.

Concluons de- là que les signes -1- et — ■ ont véritablement deux fonctions très-ïdilTcrentes dans le calcul; la première, d’indiquer l’addition ou la soustraction ; la seconde, d’exprimer les mutations successives qui arrivent dans un système variable, et les divers degrés de conformité ou de non-conformité qu’il conserve dans ces dilTéreus états de transformation avec son premier état.

Ces deux fonctions ont lieu simultanément comme conséquences l’une de l’autre, et non en vertu de conventions distinctes. Si c’étolt comme on le suppose souvent, en vertu de conventions distinctes , il faudroit prouver que ces conventions n’ont rien d’incompatible entre elles, et qu’elles doivent conduire aux mêmes règles pour la combinaison des signes dans les opérations algébriques. Mais puisqu’elles sont, comme on vient de voir, suite néccssaÎTTrl*tme--*to Pmatre, l’identité des règles qui en dérivent en résulte évidemment.

Le nouveau signe que reçoit ainsi chaque valeur sera nommé son signe de corrélation , et cette quantité prise collectivement avec son signe de corrélation , sera nommée sa valeur de corrélation. Ainsi , en supposant que P soit la valeur absolue de l’une quelconque des quantités du système primitif, p la valeur absolue de la quantité correspondante dans le système transformé; si cette dernière quantité est inverse, — sera son signe de corrélation , et — p , sa valeur de corrélation.

Puisque d’après ces définitions, le signe de corrélation d’une quantité quelconque est celui qu’elle doit prendre, lorsqu’on veut rendre applicables au système indirectement corrélatif dont elle fait partie , les formules du système primitif, il suit évidemment du principe démontré ci-dessus, que toute

quantité qui reste directe dans ce système indirectement corrélatif a + pour signe de corrélation , et que réciproquement toute quantité du système indirectement corrélatif qui a + pour signe de corrélation, reste directe. Que pareillement toute quantité qui devient inverse dans le système indirectement corrélatif a — pour signe de corrélation, et que réciproquement, toute quantité du système indirectement corrélatif qui a — pour signe de corrélation , devient inverse.

Supposons , par exemple, que a étant une quantité constante , ou plus généralement une quantité directe, et x, une variable, on vienne à découvrir que ce qui étoit a+x dans le système primitif devient a — x dans le systêir-e transformé, sans qu’aucune autre quantité ait passé ni par o ni par oo ; on en conclura que x est devenue inverse, puisqu’elle a changé de signe dans une fonction où il n’entre d’ailleurs que des quantités qui n’en ont pas changé elles-mêmes ; car si l’on fait pour le système primitif, a + x=q, cette équation deviendra par hypothèse, pour le système transformé, a — * = donc ou aura pour le premier cas *= y — <j, et pour le second, au contraire , * = a — y ; donc a et y ont passé à l’ordre inverse j donc leur différence x est devenue inverse. Il en seroit de même , si ce qui étoit a — x dans le système primitif, devenoit o+.v dans le système transformé.

Pareillement , dans un calcul quelconque , pour s’assurer si une variable * doit rester directe ou devenir inverse, il suffit de considérer ce que devient une fonction quelconque où x se , trouve mêlée avec d’autres quantités toutes restées directes. Si dans cette fonction, on découvre que ni la variable, ni aucune des autres ne doit changer de signe ; c’est une preuve que cette variable est aussi restée directe. Mais si l’on trouve que les autres devant toutes conserver leurs signes dans la fonction , la variable seule en doit changer, c’est une preuve qu’elle devient inverse; car si l’on représente cette fonction par X et qu’ayant faitX = Q, on tire de cette équation la valeur de x comme inconnue, elle aura pour les deux syslèines la même forme, si

elle 11 'a pas clinngé de signe ; mais si son signe a changé , il fuiulra évidemment , pour obtenir le même résultat, le changer de nouveau : doue dans le premier cas , * sera restée directe , et dans le second , elle sera devenue inverse.

En général, pour reconnoître par les changemens qui surviennent aux signes des valeurs que prennent les diverses quantités dans le système transformé , si ces quantités restent directes ou deviennent inverses, il est clair, d’après ce qui a été dit (s.'i), qu’il faut suivre la même règle que celle qui est établie en algèbre pour la combinaison des signes ; c’est-à-dire , que la somme de deux quantités restées directes chacune , doit rester ellemême directe ; que la somme de deux quantités inverses est ellemême inverse ; que celle d’une quantité directe et d’une quantité inverse, est elle-même directe ou inverse, suivant que la première est la plus grande ou la plus petite des deux; que le produit de deux quantités , l’une et l’autre directes , ou l’une et l’autre inverses, est toujours lui-même direct, de même que leur quotient; et qu’au contrairé, celui d’une quantité directe par une quantité inverse , est lui-même toujours inverse.

Cela peut aussi se démoatv— -dixictement pouf chaque cas particulier. Je suppose, par exemple, que p, 7, soient deux quantités inverses; je dis que p q est une quantité directe. En effet, d’après les définitions, si l’on suppose que p, q, soient P, Q, au système primitif, il faudra que F soit la différence M — N de deux quantités, dont la plus grande M devienne la plus petite au système transformé; c’est-à-dire, que p = n—m en supposant que m, n correspondent à M, N. Pareillement, il faudra que Q étant M' — N' au système primitif, devienne n — m' au système transformé, en supposant que m, n correspondent à M', N'. Il s’agit donc de prouver que (n — m) {n — m) ou {^mm ■‘rnn) — {nm' -^mn') , est une quantité directe. Or cette quantité correspond à (M — N) (M'— N') ou (MM'-f-NN') — (NM'-t-MN') ; mais puisque, M>N, M'>N', n>m, n>m', il est clair que (M — N) (M' — N') et (n — m) {n—m) sont de véritables quantités ; donc (MM' -H NN')> (NM' + MN') et {mm' -f nn)

Donc ces deux dernières quanlilés sont dans le même ordre au système transformé, que leurs correspondantes au système primitif; donc leur dilTércnce est une quantité directe ; mais cette différence est («— m) {n — m) onpy.q, donc pq est une quantité directe ; ce qu’il falloit prouver.

a8. Lorsque dans deux systèmes qui sont corrélatifs à un même système primitif, il arrive que deux quantités correspondantes ont le même signe de corrélation , nous disons que ces quantités sont entre elles en corrélation directe, quand même ce signe de corrélation seroit — ; c’est-à-dire, quand même chacune de ces quantités se trouveroit en corrélation inverse avec sa correspondante dans le système primitif; parce que si l’on prenoil, comme on en est toujours le maître, l’un de ces nouveaux systèmes pour terme de comparaison , le signe de corrélation de la quantité appartenante à l’autre redeviendroit -f- ; car les deux quantités correspondantes en question , sont bien l’une et l’autre inverses, à l’égard du système pris actuellement pour terme de comparaison ; mais elles sont en sens direct l’une à l’égard de l’autre.

2Q. Si deux systèmes corrélatifs sont regardés comme un seul et même système variable dans deux positions dilTércnlcs , tel que seroit , par exemple , le système des coordonnées d’une même courbe ; les quantités corrélatives étant alors représentées par les mêmes lettres.; par exemple, les abscisses par x, et les appliquées par y : le premier objet du principe énoncé cidessus (a5) se trouvant rempli ; il n’y auroit plus pour rendre applicables à l’un des systèmes les formules trouvées pour l’autre , qu’à remplir le second objet , c’est-à-dire , à établir la corrélation des signes. Donc ;

Pour rendre applicables à un système de variables, lorsqu'il est parvenu à une situation quelconque déterminée , les formules trouvées pour une autre situation quelconque indirectement corrélative avec l’autre , il suffit d’y changer le signe de chacune

des variables , qui par la mutation du système sont devenues inverses.

30. Mais comme il est indiirérent pour le résultat, de cliauger le signe d’une quantité quelconque, au cominenccmcut , au milieu ou à la lin; on pourra, comme c’est l’usage pourl’uniformité et la simplicité des calculs, n’employer pour le système considéré dans toutes les positions possibles, que les seules formules du système pris pour terme de comparaison; c’est-à-dire, sur lequel les raisonnemens ont été établis , pourvu que dans les applications qui en seront faites, on change le signe des quantités, qui dans chaque cas particulier se trouveront en sens inverse.

31. Lorsqu’on a opéré, comme on vient de le dire, le changement des signes , les formules deviennent propres au système transformé; c’est-à-dire, identiques, avec celles qu’on auroit trouvées en établissant le raisonnement sur ce système transformé lui-même,, au lieu de l’établir sur le système primitif. Nous pouvons donc nous résumer ainsi :

1°. I?ans les fommtv» immMatement 'appUcabîes à

un système quelconque , les signes + et — n^indiquent jamais que des opérations exécutables sur les quantités absolues dont ils affectent les valeurs.

2°. Il n’y a aucun changement de signes à opérer dans les formules du système primitif , pour les rendre immédiatement applicables à tous ceux qui sont avec lui en corrélation directe.

5°. Pour que les formules du système primitif puissent devenir immédiatement applicables à un autre système quelcoruque qui lui soit indirectement corrélatif, il faut changer dans ces formules le signe de chacune des quantités qui deviennent inverses dans ce système indirectement corrélatif

3l. On voit par-là, qu’ayant des formules immédiatement applicables à un système quelconque de quantités , si l’on vient à changer le signe de l’une ou de plusieurs des quantités qui y entrent, ces formules pourront cesser d’être immédiatement

3o GEOMETRIE

applicables à ce même système, et que pour trouver celui pour lequel elles sont devenues explicites, il faut, parmi tous les systèmes indirectement corrélatifs possibles, chercher celui auquel satisfont les changemens opérés dans les signes, pour qu’ils n’indiquent plus dans les formules que des opérations exécutables.

Réciproquement, si ayant un système quelconque , on lui fait éprouver divers changemens par mutation insensible, il faudra, pour trouver les formules qui lui sont immédiatement applicables dans son nouvel état , changer de toutes les manières possibles , les signes des quantités qui entrent dans la composition du système primitif, et voir parmi tous ces changemens de signes, quels sont ceux qui peuvent satisfaire à la transformation du système.

55. Mais il pourroit se faire qu’aucun changement de + en — , opéré sur les signes des quantités qui entrent dans les formules du système primitif, ne pût satisfaire à la transformation opérée dans ce système; et qu’il fallût changer les signes

ou quelques-uns d’entre eux de -h en — i ou autres racines imaginaires de l’unité. Dans ce cas, le système transformé ne seroit plus ni directement , ni indirectement corrélatif avec le premier; et par conséquent, les principes donnés ci-dessus n’auroient plus leur application , parce qu’ils sont établis sur l'hypothèse, que les deux systèmes comparés sont en corrélation , soit directe , soit au moins indirecte. Mais le nouveau système conserveroit encore avec le système primitif, une sorte d’analogie que j’ai désignée sous le nom de corrélation imagiirairc, et dont je parlerai avec détail plus loin.

54. Puisque pour rendre les formules d’un système primitif, immédiatement applicables à un système indirectement corrélatif, où il n’entreroit qu’une quantité inverse , il seroit nécessaire d’en changer le signe ; il suit que réciproquement, si prenant pour inconnue dans ces formules , cette quantité devenue inverse, on en tire la valeur ; ce qu’on obtiendra en résolvant l’équation ne sera pas la valeur même cherchée ; mais cette

DE POSITION, même valeur affectée du signe négatif ; car n’ayant pas changé le signe de cette quantité dans les formules primitives, il faut absolument le changer dans le résultat , pour qu’il soit exact ; c’est-à-dire , applicable au système transformé.

^35. En supposant donc, qu’on ignorât d’abord si la quantité cherchée étoit directe ou inverse, on en conclura qu’elle est inverse , puisque sa valeur est négative (U7), c’est-à-dire, que le système auquel elle appartient n’a avec le système primitif qu’une corrélation indirecte, et que pour connoitre ce nouveau système, il faut parmi tous les systèmes corrélatifs possibles , chercher celui auquel pourront satisfaire les formules du système primitif, après qu’on y aura changé le signe de la quantité reconnue inverse.

56. Par conséquent , si en résolvant un problème on trouvoit pour l’inconnue une valeur négative , ce seroit une preuve , ou que le problème ne serqit pas soluble tel qu’il a été proposé , et qu’il faudroit, pour le rendre tel, en modifier l’énoncé; ou que ce problème Ti*«»ro«t pas été mis exactement en équations , parce qu’on auroit supposé le système autre qu’il n’est réellement, c’est-à-dire , qu’on auroit pris au lieu de système sur lequel le raisonnement doit être établi , un autre système qui n’auroit avec le premier qu’une corrélation indirecte ; que pour rectifier ces équations et trouver, le véritable système auquel se rapporte la question si elle est soluble , il faut , dans toutes celles par lesquelles on est parvenu au résultat trouvé, et dans ce résultat lui-même, changer le signe de l’inconnue, et voir quel est le nouveau système auquel ces équations et ce résultat deviennent immédiatement applicables ; car c’est sur ces nouveaux systèmes que les raisonnemens devront être établis; c’est à lui que se rapporteront les équations ainsi rectifiées, et c’est par conséquent ce système et ecs équations rectifiées qui donneront la solution du problème.

Soit proposé par exemple, de trouver le segment CD dans le

It'langle ABC (fig. i) en supposant les trois côtés connus, et tels qu’on ait AC = BC=jAB.

Comme nous ignorons encore , si le point C doit se trouver placé entre B et D, ou si c’est je point D qui doit se trouver entre B et C, établissons d’abord le calcul sur cette dernière hypothèse. j

Nous aurons (aS) AB’ — AC’=BD’ — CJJ’.

De plus , puisque nous raisonnons dans l’hypothèse que D tombe entre B et C, nous aurons aussiBD=BC — CD, o>i BU’=BC’ + CD’ — aBC.CU. Substituant cette valeur de BD’ dans l'équation ci-dessus , on aura l’équation AB^ — AC’ = BC’ — sBC.CD, qui, à cause de AC = BC=|AB, donne en réduisant CD= — rjAB.

C’est-à-dire, que le calcul donne pour l’inconnue CD une valeur négative. Donc le problème, s’il est soluble, n’a pas été mis exactement en équation , parce qu’on aura établi le raisonnement sur un système autre qu’il n’est réellement ; c’est-à-dire, sur un .système qui ne peut pas s’accorder avec les conditions proposées. Il faut donc rectifier ce système et les équations qui nous ont conduits au résultat trouvé j en changeant dans ce.s équations et ce résultat, le signe de CD, et cherchant quel nouveau système pourra satisfaire à ce changement.

Or par ce changement , l’équation qui étoit BD=BC — CD, devient BD=BC+CD, laquelle ne peut avoir lieu, sans que lo point C ne se trouve placé entre B et D. Tel est donc.le nouveau système auquel satisfait le changement du signe de CD, c’est-àdire , le véritable système sur lequel on devoit établir le raisonnement. Changeant donc aussi le signe de CD dans le résultat ou équation finale, CD=— -^AB que nous avons trtuvée, nous aurons pour ce résultat rectifié CD=7^AB. Donc enfin le véritable système qui satisfait aux conditions du problème est celui dans lequel on suppose que C tombe entre B et D , et la véritable

DEPOSITION. 3-î

table valeur de CD est CD=-^AB. C’est en effet celle que l’oii trouve pour CD, en recommençant le calcul dans cette dernière hypothèse.

5y. Si l’équation avoit plusieurs racines, les unes positives , les autres négatives , les premières feroient voir que les conditions proposées conviennent véritablement au système de quantités sur lequel les raisonnemens avoient été faits, et chacune d’elles satisferoit réellement à la question proposée. Mais les racines négatives n’étant pas de véritables quantités , ne sauroient satisfaire à ces conditions, sans qu’elles fussent modifiées, ou sans qu’on modifiât les hypothèses sur lesquelles on auroit établi le raisonnement; d’où il suit que ces racines ne se rapportent pas précisément à la question proposée, mais qu’elles peuvent seulement indiquer d’autres questions qui lui sont analogues ; que pour trouver quelles sont ces autres questions s’il en est , il faut changer le signe de l’inconnue , tant dans l’équation finale que dans celles qui y ont amené par le cours du calcul, et chercher quel est le nouveau système, ou les nouvelles conditions qui peuvent satisfaire à ce clmngemcnt do signes. '

Supposons par exemple , que l’objet du problème soit de trouver sur la droite indéfinie FG (fig. a) un point M qui satisfasse à telles ou telles conditions , et qu’ayant pris sur cette droite un point fixe F, et réduit la question à trouver la distance FM prise pour inconnue, ou ait trouvé pour cette même inconnue que je nomme x, deux valeurs, l’une positive, l’autre négative: la première donnera évidemment le point cherché M: mais que signifiera l’autre racine? Pour le découvrir, il faut observer , que la question étant en général de-trouver sur la droite indéfinie, un point M qui satisfasse à telle ou telle condition, et le problème ayant été mis en équation dans la seule hypothèse que le point cherché M est ê droite du point fixe F, on n’a exprimé que partiellement la condition proposée ; car il peut arriver au contraire, que le point cherché soit à gauche du point F. Or je

dis , 'qae la valeur négative trouvée , est précisément celle qn’il faut porter à gauche du point F , pour répondre à cette seconde hypothèse, c’est-à-dire, qu’en supposant que les deux racines données par l’équation soient x—m, x= — rn, on aura pour première solution de la question générale , le point M, à droite du point F, comme on l’a supposé dans la mise en équation; et pour la seconde le point M', qu’on obtiendroit en portant m' à gauche du même point F.

En effet, puisque nous n’avons répondu par la racine x = r?i qu’à la question partielle où l’on suppose le point M à droite de F, voyons ce qu’il faut faire , pour répondre au cas où l’on supposeroit le point demandé à gauche de ce même point F.

Pour cela, au lieu de prendre pour l’inconnue, comme cidessus, la dbtancc du point F au point cherche ; prenons à volonté un autre point K, au-delà du point M', qu’on obtiendroit en faisant F M'=/n', et choisissons pour l’inconnue la distance de ce nouveau point K au point demandé ; nommonsy cette inconnue, et h la distance arbitraire FK.

Il est clair que pour avoir le point M, qui donne la solution déjà obtenue ci-dessus, je n’ai qu’à mettre dans l’équation x=m trouvée , y — h à la place de x et réciproquement lorsque j’aurai l’équation eny , pour retrouver l’équation en * , je n’aurai qu’à y substituer A-j-v à la place de y.

Maintenant, pour avoir l’autre point qui satisfasse à la question, s’il s’en trouve un second à la droite du point K comme le premier, j’observe que s’il en est un en effet, comme il se trouve alors du même côté que M , la mise en équation du nouveau problème ne peut différer en rien de la mise en équation du premier, qui avoit pour objet de trouver le point M ; les deux systèmes étant en effet dans ce cas directement corrélatifs. Donc la même équation doit me donner les deux solutions , c’est-àdire, que la distance du point K au nouveau point cherché, est la seconde valeur de y , que doit donner l’équation , où cette quantité y est prise pour inconnue.

Cela posé , s’il y a en effet deux points qui satisfassent ît lu question , il est clairque l’un doit être placé à droite et l’autreÀ gauche du point F; car s’ils avoient été tous deux à droite, il n’y auroit point de raison pour que l’équation trouvée en a; eût donné l’une de préférence à l’autre ; donc s’il y a un nouveau point à droite de K , qui satisfasse à la question proposée , il ne peut être plac^qu’entrc K et F. Donc nommant dans cette nouvelle question comme dans la première , x la distance de ce poin l

cherché au point F, on aura à cause de KF = A, y = h — x. Donc pour avoir x, il faut substituer dans l’équation trouvée en y, h — x , au lieu de cette quantité^. Mais comme on l’a vu ci-dessus, pour trouver le point M, il auroit fallu substituer h+x à la place de y. Donc les deux équations qui doivent donner l'une la distance de M , l’autre celle de M', ne différent que par le signe de l’inconnue. Donc il n’y a qu’à changer le signe de l’inconnue dans la première, pour avoir la seconde. Donc la racine qui donnera la nouvelle inconnue sera précisément celle qu’avoit donnée l’autre avec le signe négatif; donc en effet, il y a un nouveau point qui résoud la question, lequel est placé entre K et F, précisément an point M', paiaque par hypothèse , pour avoir ce poiiU M', on a porté de F en M', la quantité m qui étoit la valeur que la première équation avoit donnée pour v, avec le signe négatif.

On voit que la raison pour laquelle il s’est trouvé une racine négative pour x , c’est qu’on n’a voit exprimé que partiellement les conditions du problème , en supposant dans la mise en équation , que le point demandé devoit se trouver à droite du point F; mais que les deux racines sont devenues toutes deux positives , du moment qu’en transportant le point hxe en K, on a cessé de restreindre l’hypothèse , et qu’on lui a donné l’étendue nécessaire, pour qu’elle pût comprendre les deux solutions dont la question étoit susceptible. Ainsi chacune des racines correspond à une question partielle , qu’on peut embrasser par une seule et même équation , dont les deux racines soient signihea» liveÿ et n’exigent aucune modiUcalion.

58. Ponr donner an autre exemple , supposons que l’équation trouvée se rapporte à une courbe , dont l’appliquée considérée comme l’inconnue soit représentée par y ; et que pour une certaine valeur déterminée de l’abscisse , il y ait parmi celles de y ^ une ou plusieurs valeurs négatives.

Il suit de ce qui a été dit (67), que chacune des racines positives donne pour y , une valeur qui satisfait imm Aiatement aux conditions par lesquelles est déterminée la nature de la courbe, et aux hypothèses sur lesquelles le raisonnement a été établi. Ainsi, par exemple, si ce raisonnement a été établi dans la supposition que les appliquées seroient prises à droite de l’axe, chaque racine positive donne réellement un point de la courbe à droite de l’axe, mais aucune des racines négatives ne peut satisfaire à cette même supposition. Il faut donc, pour savoir ce que signiilent ces racines négatives, en changer le signe, et voir quelles modifications l’on doit faire éprouver au système sur lequel le raisonnement a été établi , pour que l’équation ainsi changée y satisfasse, c’est-à-dire, exprime sur ce nouveau système , les conditions données par lesquelles est déterminée la nature de la courbe.

Or je dis que ce nouveau système auquel satisfera l’équation ainsi modifiée , n’est autre chose que la portion de ïourbe située de l’autre côté de l’axe, par rapport au système primitif, c’està-dire, par rapport à la portion de courbe sur laquelle le raisonnement a été établi et l’équaiion trouvée.

Car en prenant pour inconnue l’appliquée que je nommey , on prouvera par le même raisonnement que ci-dessus , que si chaque racine positive de y désigne un point à droite de l’axe des abscisses, chaque racine négative doit désigner un point de l’autre côté ; d’où l’on voit que dans une même courbe, les branches situées des deux côtés différens par rapport à un axe quelconque, forment deux systèmes indirectement corrélatifs.

5^. C’est sur de semblables exemples, fréquens à la vérité, qu’on a cru pouvoir conclure généralement , qu’en géométrie les racines négatives iudiquoient toujours des quantités cllectives,

nÊPOSITION. 37

prises seulement dans le sens opposé à celui des racines positives ; mais cette conclusion paroit sujette à bien des restrictions , car si le signe négatif qui affecte ces racines peut venir, comme on l’a vu ci-dessus , de ce que la question proposée renferme en clle-inème des conditions incompatibles ou de ce qu’on auroit établi le raisonnement sur des hypothèses incompatibles avec ces mêmes conditions; ce signe peut venir aussi, de ce que les transformations algébriques auroient amalgamé des racines insignihantes avec les racines positives , les seules qui résolvent réellement et pleinement la question ; et il est aisé défaire voir par maints exemples, 1°. qu’il se trouve en effet souvent des racines négatives absolument insignifiantes ; a®, que dans le cas même où elles sont significatives, elles ne doivent pas toujours être prises dans le sens opposé aux racines positives.

Il est clair, par exemple, qu’un cercle ne peut avoir deux rayons : cependant si l’on nomme a, i, c , les trois côtés d’un triangle proposé , et qu’on demande le rayon R du cercle circonscrit , on aura comme on sait

abc

V ao*i*-t-aa’o*-i-a 6’c’ — -t- é* -f- C*)

ce qui feroit pour R deux valeurs, l’une positive, l’autre négative , si l’on donnoit le double signe au radical ; mais un cercle à rayon négatif est absurde; la seconde racine est donc insignifiante.

Pour second exemple, proposons-nous la question suivante.

Deux points A, B, (fig. 3) étant donnés sur la circonférence d’un cercle, trouver sur cette circonférence un troisième point K, dont les distances respectives AK, BK, aux deux points proposés soient en raison donnée.

Je prends BK pour inconnue, et je suppose

l’inconnue BK= x

1 J . ak

le rapport donné ■ a

BK

la droite donnée AB b

l’angle connu AKB= Je.

Par les propriétés connues des triangles, nous aurons AB' = AK' + BK' — aAK.BK.cos.ARB; ou à cause de AK=a.BK, b' =a'x’‘+x' — lax'cos. b ; d’où l’on tire

1 + a* — 3acos.il'

Voilà bien deux solutions algébriques , c’est-à-dire deux racines , l’une positive , l’autre négative ; et il ne peut y avoir d’incertitude sur l’emploi de la première; mais que signifie la racine négative?quelle sera dans cet exemple l’application deceprincipe qu’il faut prendre les racines négatives dans le sens opposé aux racines positives? dira-t-on qu’il faut du point B avec la valeur absolue trouvée pour x, décrire un arc K R, et que les points K, R donneront les deux solutions? Mais cela n’est pas; car il est visible que si , par exemple , on supposoit AK double deBK, c’est-à-dire, a= 3 , K et R ne pourroient remplir en même tems l’un et l’autre cette condition : et de plus BK et BR ne se trouveroient pas pris en sens opposés , comme on suppose que cela doit être ; et comme d’un autre côté celte seconde racine ne peut être fausse, pubqu’elle est rigoureusement déduite d’une mise en équation exacte, il suit qu’elle est purement insignifiante.

11 y a plus, le problème a réellement deux solutions effectives ; mais la racine négative trouvée ci-dessus , ne se rapporte à aucune des deux, et pour trouver la seconde, il faut mettre le problème en équation, en partant d’une nouvelle hypothèse.

En effet, nous avons supposé que le point cherché K étoit dans la partie AKB de la circonférence, et la solution trouvée s’adapte à cette hypothèse ; mais il n’y a aucune raison de supposer que le point cherché est placé plutôt sur cette partie de la circonférence que sur l’autre. Supposons donc maintenant que le point cherché soit situé en K': l’angle AK'B étant supplément de l’angle donné b ; il est clair qu’on aura cos. AK'B = — cos. b ; donc l’équation trouvée ci-dessus devient pour le cas présent ,

i-j-a*-t-aacos.^'

équation dans laquelle la seconde racine est par les mêmes raisons que ci-dessus purement algébrique et insignifiante.

Les deux solutions effectives du problème peuvent être , comme on le voit, réunies sous cette même formule ;

V i4-a‘=fc2ucos.v

formule qui n’est ni l’une ni l’autre des équations trouvée» cidessus.

4o. Nous venons de voir que quoiqu’une équation ait deux racines, elles ne donnent pas pour cela deux solutions effectives pour la question proposée. Le même exemple nous servira à prouver, que quoiqu’un problème soit susceptible de deux solutions effectives, il ne s’ensuit pas que l’équation finale doive avoir deux racines ; mais qu’on peut trouver séparément chacune d’elles , par une équation du premier degré. Cela dépend d’un choix convenable de l’inconnue.

En effet, abaissons la perpendiculaire KD sur AB, prenons ÂD

pour inconnue ■===:, et nommons ce rapport z. Le triangle AKB

nous donnera BK : AK : : sin. KAB : sin. KBA ou c’est-

BK

à-dire, a ou asin. KAB = sin. KBA = sin.(i-f-KAB) sin.KAo

= sin.i-.cos.KAB-t-cos.-t.sin.KAB ; divisant par sin.KAB, on aura a= sin. i.cot. KAB-^-cos. A

Mais .il est évident que le triangle rectangle AKD donne ÂD

cot.KAB=-=- = z; substituant donc dans l’équation précé- KD

, , , „ . O — cos./ê' ,

dente cette valeur de cot.KAB; on tirera z= — : — ^ , équa-

sin. i ^

tion qui n’est que du premier degré.

Celte solution répond comme ci-dessus à la portion AKB de la circonférence. Un raisonnement semblable fait sur l’autre