SECTION IV

Des rapports qui dans un système de lignes droites peuvent être trouvés sans l’intervention des quantités linéo-angulaires. Recherches trigonomé triques sur les figures tracées , soit dans un même plan , soit sur la surface de la sphère ; diverses propriétés des polygones et des polyèdres.

187. J iES quantités llnéo - angulaires ont été imaginées, comme nous l’avons déjà observé , afin de pouvoir établir la comparaison des angles avec les lignes. Les angles et les lignes étant des quantités hétérogènes, ne pourroient être directement comparés : il a donc fallu trouver des quantités intermédiaires qui ne fussent ni des angles ni des lignes, mais qui pussent servir de terme de comparaison entre les uns et les autres; ce sont les quantités linéo-angulaires. Ces quantités sont celles qui expriment le nombre des parties du diamètre que contient la corde sur laquelle est appuyé chaque angle inscrit à la circonférence, suivant le nombre des parties de la même circonférence que contient l’arc qui sert de mesure à cet angle; de sorte que le calcul est ramené à des comparaisons de nombres abstraits.

Il suit de-là, que l’intervention des quantités linéo-angulaires n’est indispensable que dans le cas où l’on a réellement à conclure la valeur d’un angle de la valeur d’une ou plusieurs lignes; ou réciproquement, de trouver les rapports de celles-ci par la connoissance des premiers. Or je me propose ici de rechercher les cas où les données sont telles, qu’on puisse trouver les angles .sans recourir aux lignes, ou les lignes sans recourir aux angles. Celle question inlcrcssc, parce que le calcul

a5i GEOMETRIE

des quaiililés liiico .angulaires , quoiqu’aussi exact qu’on puisse le désirer pour la pratique , n’est cependant , comme on le sait , qu’un calcul d’approximation sous le rapport de la théorie. Or voici le principe général.

Dans toute figure qui peut être construite avec la règle et le compas seuls , sans employer le cercle gradué , toutes les lignes peuvent être calculées sans l'intervention des angles; et dans toute figure , au contraire, gui peut être marquée avec la règle et le cercle gradué seuls , sans employer le compas , tous les angles peuvent être calculés sans l’intervention des lignes, ^insi , dans le premier cas , on peut avoir tous les côtés de la figure, et dans le second, tous les angles, sans l’intervention des quantités linéo-angulaires.

Car il est évident que ce qu’on peut obtenir par une opération graphique , ou peut l’obtenir aussi par le raisonnement, d’apres les données. Ainsi puisque dans le premier cas les données sont toutes des lignes , et dans le second , toutes des angles , il suit que dans le premier cas, on peut avoir tontes les lignes s.ans recourir aux angles; et dans le second, tous les angles sans recourir au.x lignes.

1 88. Une figure étant tracée, supposons qu’on ne connois.se aucun des angles ; niais que parmi les côtés ou quantités linéailes on ait assez de données pour que toutes les autres quantités linéaires de celle même figure soient déterminées, on trouvera chacune d’elles par les règles de la ti'igonoinétric ; en exprimant d’abord par des équations, le.s rapports qui existent entre les angles cl les côtés de la figure , puis combinant ces équations par les règles ordinaires de l’algèbre, afin d’éliminer celles de ces inconnues qui doivent disparoître. Mais par hypolhese , tiaus le cas proposé , toutes les quantités angulaires sont au nombre des inconnues ; donc elles doivent toutes disparoître de l’équation finale qui donnera chacune des quantités linéaires cherchées. Donc celle équation finale ne renfermera que des qnaulilés linéaires. Or ce sont ces équations finales que je me

DE POSITION. a5r>

projwse de rechercher directement, c’est-à-dire, sans l’intervenlion des quantités angulaires; lesquelles, en effet, ne figurent qu’auxiliairement dans le calcul , puisqu’après les y avoir introduites, on est obligé de les éliminer, pour parvenir au résultat cherché.

Réciproquement, si l’on ne connoissolt aucune des lignes de la ligure proposée; mais que parmi les angles on eût asse^'dc données pour que toutes les autres quantités angulaires de cette même ligure fussent déterminées , on pourroit trouver chacune d’elles par les règles de la trigonométrie, en exprimant d’abord par des équations, les rapports qui existent entre les angles et les côtés de la figure; puis combinant toutes ces équations pour faire disparoître les quantités linéaires, lesquelles sont toutes par hypothèse, au nombre des inconnues. Ces équations finales ne renfermeroient donc plus que des quantités angulaires : oc ce sont ces équations finales qu’il s’agit de trouver directement, comme nous l’avons dit ci-dessus pour les quantités linéaires.

Ainsi, mon but est de trouver séparément les rapports qui n’existent qu’entre les quantités linéaires d’une part, et de l’autre ceux qui n’existent qu’entre les quantités angulaires d’une figure quelconque. Ces réfiexions se trouvent déjà en partie dans ma lettre à Bossut, imprimée à la fin de la nouvelle édition de sa Géométrie : je me propose ici de leur donner plus de développement.

Examinons d’abord les cas où les angles peuvent être déterminés sans recourir aux lignes , et proposons-nous la question suivante.

PAOBLâME XXIV.

189. Trois droites quelconques étant tracées dans un même plan, et connoissant les angles que forment les directions de deux quelconques d’entre elles , chacune avec la direction de la troisième , trouver l’angle que forment entre elles les deux premières directions.

Prolongeons, s’il est nécessaire, les trois droites proposées

jusqu’à ce qu’elles forment un triangle. Il est facile de voir , que chacun des angles de ce triangle .sera égal, ou à l’im des angles formés par les deux directions qui se croisent à son sommet , ou B son supplément : c’est ce qu’il faudra d’abord bien reconnoîlre, d’apres les directions indiquées par l’arrangement des lettres prises pour les désigner (87). En égalant donc la somme de ces trois angles à deux droits, et mettant dans cette équation pour chacun d’eux suivant le cas particulier , ou bien l’angle formé parles directions qui se croisent à son sommet, ou bien son supplément; on aura l’équation du premier degré qui donnera l’angle cherché.

Supposons, par exemple, que les directions des trois droites proposées , soient mn, py , rs (lig. 65, G6), et que connoissant les angles mn rs , pq rs , formés respectivement par les deux

premières avec la troisième , on veuille trouver l’angle mn pq formé par ces deux premières directions entre elles.

Je considère le triangle ABC formé par les trois directions

proposées , et je reconnois 1*. que l’angle BAC est l’angle formé par les deux directions mn,pq; c’esUà-dire l’angle cherché:

donc B AC = mn pq ,• 2". que l’angle ABC est le supplément de l’angle «BC, formé par la direction mn avec la direction rs ; donc ABC = av — mn rs, 3®. qu’enfin l’angle ACB est l’angle opposé au sommet, et par conséquent égal à celui s^q, qui est

formé par les directions de pq , ra ; donc ACB =pq rs.

Ajoutant ces trois équations, et observant que la somme des trois premiers membres de ces équations fait deux droits, ou a

onauraa«=mra pq + av — mn rs+pq rs, laquelle donne mn pq = mn rs — pq rs ; ce qu’il falloit trouver.

1 go. Far un point quelconque A pris dans le plan de trois directions proposées, menons une droite parallèle à chacune d’elles et dans le même sens : cette construction achevée, rien

ne

ne sera plus facile que de voir quelle sera l’expression de l’angle cherché en valeurs des deux autres, et l’on verra qu’il est nécessairement toujours, ou la somme de ces deux autres, ou leur différence, ou la somme de leurs supplémeiis.

En effet, supposant que les trois directions soient (Cg. 67,

68, 69) AB, .A.C, AD, et que BAC soit l’angle cherché, il y aura trois cas possibles. 1°. Celui où la droite AU passe dans l’angle même B.AC (fig. 67), et alors celui-ci est la somme des deux autres AB AD, AC AD; 2°. celui où ce n’est point la droite AD mais son prolongement AD' qui passe dans l’angle

cherché BAC (Gg. 68), et alors celui-ci est BAD'+CAD', c’esl-àdirc, la somme des supplémens des deux autres angles. 3“. EnGn celui où ni la droite AD ni son prolongement AD' ne passent

dans l’angle B.‘\C (fig. 69), et alors cet angle est évidemment la différence des deux angles donnés. Donc en général ,