THÉORÈME PREMIER
Les angles que forment entre elles les directions de trois lignes droites quelconques tracées dans un même plan sont telles , que chacun d’eux est toujours égal , ou à la somme des deux autres , ou à leur différence , ou à la somme de leurs supplémens.
igi. Concevons maintenant un système quelconque de lignes droites tracées dans un même plan. Supposons qu’on mène encore dans ce plan une nouvelle droite ou transversale quelconque qui coupe toutes les autres , et qu’on connoisse tous les angles formés par la direction de cette transversale, et celle de chacune des autres droites du système : on demande les angles que forment entre elles deux à deux les directions de toutes ces droites.
On considérera successivement tous les triangles formés par la transversale prise pour objet de comparaison , et les autres lignes du système prises deux à deux; et l’on trouvera, comme
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dans le problème ci-dessus, l’angle formé par les directions de
ces deux dernières lignes.
Il en seroit de même, si connoissant tous les angles formés par les directions des côtés d’un polygone , et celle d’une base ou transversale fixe, on demandoit chacun des angles de ce polygone.
On considéreroit le triangle formé par cette base fixe, et les deux côtés consécutifs du polygone qui comprennent entre eux l’angle cherché , et l’on Irouveroit ensuite cet angle par la même marche que ci-dessus.
1^2. Si l’on a un nombre n de droites tracées dans un même
plan, elles formeront entre elles deux à deux ^ angles,
en comptant pour un seulement les quatre que forment autour de leur point d’intersection deux droites qui se croisent. Sur ces
angles, je suppose qu’on en connoisse n — ï, indé-
pendans les uns des autres ; tels par conséquent qu’il n’y en ait jamais deux qui soient opposés au sommet , ou supplémens l’un de l’autre ; ni trois qui appartiennent à un même triangle. Cela posé, je dis qu’on pourra trouver tous les autres angles du système, sans faire intervenir les quantités linéo-angulaircs , mais par de simples additions et soustractions. Pour cela, on prolongera indéfiniment toutes les lignes du système, et dans les triangles qui résulteront du croisement de cos lignes , on formera, par la propriété de la somme des trois angles du triangle égale à deux droits, autant d’équations indépendantes les unes des autres , qu’il en faudra pour compléter le nombre n.n — 1
, des angles du système. Par exemple , si l’on a un quadrilatère, le nombre des lignes tracées sera de 4, on aura donc n — 1 = 3; il faudra donc que ti-ois des angles soient
connus pour trouver tous les autres. Le nombre total
D J:: P O s I T I O N. ajg
(les angles du système, sera 6. Sur ces 6, trois étant connus, il faudra trois équations indépendantes les unes des autres, pour trouver ceux qui restent inconnus; c’est-à-dire, que le nonibni des équations indépendantes à former par le principe, que lir somme des trois angles de tout triangle vaut deux droits, sera de 3.
Si l’on avoit un pentagone, on auroit n = 5 : le nombre des angles donnés devroit donc être 4 ; le nombre total des
angles du système seroit lo. Par conséquent le nombre des équations indépendantes à former par la propriété du triangle dont
nous venons de parler seroit n — i =6, ainsi de»
autres, suivant la progression des nombres triangulaires.
Toutes ces équations sont du premier degré, et donnent évidemment tous les angles cherchés, par de simples additions et soustractions.
1 Il suit de là que si dans deux figures corrélatives formées chacune par l’assemblage d’un nombre n de lignes droites ‘ il y a un nombre n — i d’angles correspondans égaux chacun à chacun , tous les autres angles correspondans de ces mêmes figures seront aussi égaux chacun à chacun ; car on aura de part et d’autre les mêmes équations pour déterminer les angles de chaque système.
Cette observation peut être mise à profit, pour résoudre facilement une classe assez étendue des problèmes qui sont l’objet de l’application de l’algèbre à la géométrie. Cet objet , en général , est de trouver l’opération graphique à exécuter pour satisfaire à telles ou telles conditions proposées. Si ces conditions sont assez simples, pour qu’on puisse facilement, par la seule synthèse, construire la figure cherchée, on pourra se passer du secours de l’analyse. Mais si sans pouvoir construire la figure cherchée , elle-même , on pouvoit en construire une qui lui fût semblable, il seroit facile de ramener le problème au précédent ;
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car on connoîtroit tl’abord par la figure semblable qu’on auroit construite, sinon les valeurs absolues des lignes qui entrent dans la composition même de la figure cherchée, au moins leurs rapports deux à deux. Il suffi roit donc de connoître l’une quelconque d’entre elles, pour avoir toutes les autres : mais par les conditions du problème proposé, l’une au moins des lignes qui entrent dans la composition de la figure cherchée, doit être donnée, puisqu’il faut évidemment au moins un paramètre ou base I
linéaire connue, pour que les dimensions absolues d’une figure j
soient déterminées. Donc on aura par une simple proportion ^
chacune des autres lignes de la figure cherchée.
l()4. Soit proposé, par exemple, d’inscrire un carré dans un triangle donne.
Soit ABC (fig. 70, 71) le triangle donné; MNOP le carré cherché. Quoique je ne puisse pas construire immédiatement la ligure ABCMNOP qui satisferoit à la condition proposée, il est clair que j’en connois tous les angles, puisque par hypothèse,
MN est parallèle, et MO, NP, perpendiculaires à la droite donnée BC; et comme je sais aussi par les conditions du problème, que MO = OP, il est évident que je puis construire une figure semblable à la figure cherchée, en commençant par tracer un. carré mnop de grandeur arbitraire, et menant ensuite du
point m la droite ab qui fasse avec bc , l’angle abc égal à l’angle connu ABC. Soit donc abemnop , celte figure semblable à la figure cherchée. Cela posé, pour trouver MO, par exemple, je
n'aurai que celle proportion à faire MO : mo:;BC : Ac dans
laquelle les trois derniers termes sont connus. Je Irouvcrois de
même toutes les autres droites du système comme AM, MB, 1
BÜ, &c. !
La même méthode s’appliqueroit évidemment au cas oii la figure MOPN à inscrire au triangle ne seroit pas un carré, mais un quadrilatère quelconque de figure donnée MOPK;
c’est-à-dire, dont les angles et le rapport des côtés scroient donnes.
Elle s’appliqueroit également au cas où l’on se proposerolt d’inscrire un cube dans une pyramide triangulaire donnée. Dans la cinquième section , nous donnerons plusieurs autres exemples susceptibles de solutions de ce genre.
1 g5. Lorsque dans une figure formée par l’assemblage d’un nombre n de droites, on connoit suffisamment d’angles pour que tous les autres puissent être déterminés sans l’inlerventiou des quantités linéo-angulaires , c’est-à-dire, n — 1 angles indépendans les uns des autres : si l’on vient à tracer dans cette même figure de nouvelles droites parallèles ou perpendiculaires aux premières, ou formant avec elles des angles donnés , il est évident que par leproblême énoncé (190) on pourra trouver tous les angles des figures qui résulteront de ces nouvcan.v tracés , sans l’intervention des quantités linéo-angulaires, niais par de simples additions et soustractions. 11 n’en seroit pas de même, si l’on traçoit les diagonales de ces figures : les angles que formeroient ces diagonales entre elles ou avec les premières lignes , ne pourroient se trouver que par le calcul des quantités linéo-angulaires. Voilà pourquoi dans la résolution des problèmes d’application de l’algèbre à la géométrie, on prend ordinairement autant que possible les lignes auxiliaires de construction , parallèles on perpendiculaires aux lignes déjà connues , ou formant avec elles des angles connus.
Ce que je viens de dire concerne les angles qui peuvent être déterminés dans les figures sans rinlervontion des lignes. Passons à ce qui regarde les lignes qu’on peut déterminer sans l’intervention des angles.
I(j6. Concevons un système quelconque de lignes droites tracées dans un même plan; et supposons que sans connoître aucun des angles de la figure, on ait assez de données parmi ces droites ou les segmens qui résultent de leurs mutuelles intersections, pour que toutes les parties de cette figure soient délerr
iiüj GEOMETRIE
minées. Il est clair que toutes les autres lignes ou segmens do ligne de cette ligure pourront être trouvés sans l’intervention des angles, puisqu’ils sont construits ou déterminés graphiquement , sans que ces angles soient donnés. Il s’agit donc de les trouver en effet dans chaque cas particulier. Commençons par la plus simple des figures, le triangle.
Soit BGA (fig. 7a) un triangle quelconque : du sommet B de l’un des angles soit menée une transversale BC à un point donné C de la base : on demande la valeur de celte droite BC sans faire intervenir les angles dans le calcul , puisqu’en effet la construction s’opère sans en connoître aucun.
J’abaisse du point B la perpendiculaire Bwi sur GA, et du
point A la perpendiculaire An sur BG. Cela posé, le triangle rectangle B Cm donne
BC = Bm + Cm = Bm -(- ( Gm — GC) = Bm -f Gm -i-GC
— a.Gm.GC, équation qui à cause de Bm -|-Gm=BG, SC réduit à
■bc‘=BG’+'gc' — aCj^.GC (A) par la même raison , on doit avoir
BÂ’= Âg‘ -P BG*— 2 . G^ . BG.
Mais les triangles semblables AGn, BGm donnent
GA î G/iîîBGiGm, ouGA.Gm G n. BG
Substituant celte valeur deGra.BG dans l’équation précédente, elle devient '
BÂ*= ÂG* + BG*— 2 GÂ.G^ (B) Multipliant maintenant l’équation (A) par GA, et l’équation (B) par GC;puis retranchant celle-ci de la première pour éliminer Gm, on aura, en transposant et réduisant ,
BC*.GA = BG*. CÂ-4-BÂ’.GC— GÂ.GC.ÂC (C)j
d’où divisant tout par G A, on tire BC. Ce qu’il falloit trouver. Donc nous avons la proposition suivante.
T’HÉORÊME II.
Dans tout triangle , ai du sommet de l’un quelconque des angles on mène une transversale à la base opposée {de manière qu’elle coupe cette base même et non son prolongement) , le carré de cette transversale , multiplié par cette base, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, multipliés chacun par le segment opposé de cette base , moins cette même base multipliée par le produit de ses deux segmens.
Cet énoncé n’est en effet que la traduction de l’équation (C). Ce théorème est très-utile pour trouver les rapports des quantités linéaires d’une figure sans faire intervcftir dans le calcul les quantités linéo- angulaires. Nous aurons souvent l’occasion d’en faire usage , et l’on doit le regarder comme fondamental.
Supposons, par exemple, que la transversale BC coupe GA
en deux parties égales, on aura CG= CA = jGA. Donc la formule se réduira à
4ÏÏC = aBG‘-l- aÂB’— GA .
Supposons pour second exemple, que la transversale BC
divise l’angle GBA en deux parties égales , on sait qu’alors les segmens de la base sont entre eux comme les côtés adjacens ;
c*est-?i-dire que CG : CA :: GB : BA. Donc CA.GB = CG.BA. Substituant cette valeur dans le second terme de la formule (C), elle se réduit à
• W.ÏÏÂ==CG.BÂ.(BG-b¥Â) — tTÂ.CG.ÂC.
Mais la proportion ci-dessus donne aussi ,
CG.CÂ, ou gT:CG::GË-|-BÂ : GB.
Tirant de celle équation la valeur de CG , et les substituant dans le second terme de l’équation ci-dessus, on aura en divisant tout par GA . UG = GB . BA — CG . CA. Formule connue.
üGi
igy. Soit ABC un triangle (flg. yS). Supposons que l’angle BAC soit divisé eu deux parties égales par la transversale AH; on aura, comme on sait, BH :CH::AB : AC. Soit maintenant AH' perpendiculaire à AH, il est facile de voir qu’on aura
aussi, BH' CH' :: AB : AC. Donc on aura BH ; CH :: BH' : CH'. Proportion assez remarquable.
1^8. Nous venons de voir (196) qu’on a
Âh’==ÂB.ÂC — BH.CÏÎ.
Je dis qu’on aura au contraire ,
ÂH'’=BHF.CÏr— ÂB.ÂD.
En elTct , par la proposition démontrée ( 196) , on a
Âc* . bTt =z1b. ch'+âh'*. bc — bïT . cïr . Bc.
Or nous venons de voir que B H' : C H' : : AB : A C , ou ^ C
B H' = — ■ — . Substituant dans le premier terme de l’équa-
AC
tion ci-dessus, et transposant , on aura
CÏT. ÂB (ÂC — Âb) + BÏr.CÏr'.BC = ÂH'’. BC. Déplus , la même proportion ci-dessus BH': CH'; AB. AC donne
BÎT— CÏP: eïT' : ; ÂB — ÂC : ÂC , ou CÏË =
ÂB— AC
Substituant cette valeur de CH' dans le premier terme de l’équation précédente, et divisant tout par BC, on a
Âïï' = BH . CËT— ÂB . ÂC.
Ce qu’il falloit prouver.
