AH' étant par liypoüièse perpendiculaire sur AH, si
sur H JT conunc diamètre on décrit une circonférence (fig. 74), elle passera par le j)oint A. Donc réciproquement , si sur une droite quelconque UH' comme diamètre, on décrit une circonférence , et si d’un point quelconque A pris sur cette circonférence ayant mené les droites AH, AH' aux extrémités
de ce diamètre', on fait les angles BAH = CAIJ,* les deux points B , C seront tels , qu’on aura
AB : ÂC :: BH : CÏÎ : : MÎ' : CÏT.
201. Donc deux points fixes ou foyers B, C étant donnés, si l’on proposoit de trouver le lieu géométrique de tous les points dont les distances à ces deux foyers B, C fussent en raison donnée, on satisferoit à la question en partageant d’abord la droite BC dans la raison donnée au point U, et cherchant ensuite sur le prolongement de cette droite un autre point H' tel que BIT, CiT fussent aussi dans la même raison donnée. Car en décrivant sur HH' comme diamètre une circonférence HAIT, cette circonférence scroit évidemment, d’après ce qui vient d’être dit , le Heu géométrique cherché. Propriété connue.
La même propriété appartiendroit évidemment à tous les points de la surface d’une sphère qui auroit HH' pour diamètre.
202. Puisque les angles BAH, CAH sont égaux par construction, il suit que la circonférence H AU' est aussi le lieu géométrique de tous les points , qui comme A sont tels qu’en menant de cliacun d’eux aux trois points fixes B, H,C, les
droites AB, AH, AC, l’angle BAH est constamment égal à II AC, ou l’angle BAC constamment partage en deux partie.s égales par la droite AH.
2o5. Revenons au lliéorème énoncé ci-dessus (196).
0;i voit que pour trouver la transversale clicrchée HC , nous n’avons point emplo)'é les quantités linéo-anpulaires, parce qu’en eflet les données étant toutes des quantités linéaires, il n’étoil pas nécessaire de faire intervenir les angles dans le calcul.
Cependant il eût été possible, et il est souvent plus commode de les employer comme auxiliaires , même lorsqu’à la rigueur on peut s’eu passer. Ainsi dans l’exemple précédent, nous avons d’une part, par les propriétés connues du triangle ,
B C = BG +• G C — a B G. G C. cos. BGC j et d’autre part
B‘= ÂG + ÎÏG - a ÏÏG .G cos. BGC.
multipliant comme ci-dessus la première équation par GA, la seconde parGC; puis retranchant la seconde de la première, et réduisant, on obtient le même résultat que précédemment.
201. D’après les principes que nous avons développés sur la corrélation des figures, il est clair que si le point C, au lieu de tomber entre G et A comme dans la figure sur laquelle nous venons d’établir le raisonnement, tomboit au-dcliors du côté du point G, comme en C', (îC deviendroit inverse : car on a dans le système primitif, GC = G A — CA , et dans le .système
transforme, GC' = C'A — G.A ; c’est-à dire, que pour rendre la formule (C) applicable au nouveau cas, il faudroit mettre dans celte formule — GC, au lieu de -f-GC.
Si au contraire le point C tomboit en dehors de GA du coté du point A comme en C“, ce seroit AC qui deviendroit inverse : c’est-a-dire , que pour rendre la formule (C) applicable à ce nouveau cas , il faudroit y substituer — AC au lieu de -1- AC.
jLOJ, La formule contenant les trois cotés du triangle et les deux segmens tfe la base, parmi lesquels on peut en faire disparoître un, eu substituant à sa place la base moins l’autre j il
suit que par celte formule on peut résoudre la question suivante.
De ces six choses , les trois côtés d’un triangle, la transversale menée d’un des Ongles sur la côté opposé, et les deux segmens formés sur ce même côté , par celte transversale , quatre quelconques étant données indépendantes les unes des autres , trouver les deux inconnues.
Mais nous pouvons p.ac la même marche , résoudre le cas plus général où la transversale , au lieu de partir d’un angle partirait d'un autre point quelconque , D comme il suit.
FROBl.:éME XXV.
206. Des six côtés qui composent deux triangles qui oui un angle commun ou égal , cinq quelconques étant donnés , trouver le sixième.
Supposons que ces deux triangles (11g. 73} qui ont un angle commun ou égal soient BGA, DOC; du point D menons sur GC la perpendiculaire D/m', et du point A la perpendiculaire A/«. Le triangle rectangle DC m' «tonnera ^
î)c’= Ï5^’+ Cm'’= iw‘+ (GC— G/m')’=ïwVgm'Vgc' — 3G//t'.GC;
équation qui à cause do Dm' + Gm' = DG se réduit à
DC*==DgVgG — aG^.GC (A)
Pur la même raison , on doit avoir
ÏÏÂ’='Âg‘ + Bc’— 2 GB .G^ ; mais les triangles semblables DG/m*, AGm donnent
GÂ:G7j::DG:G^', ou G^ = .
DG
Siibslitiianl cctlc valeur de G/i dans l’équation précédente, elle devient
3(TÂ.G///'.ÏÏG
BA =i\G +13G —
DG
r»G8 GEOMETRIE
Multipliant l’cqualion (A) par GA.BG, et rcquatum (U) par
DG .GCj puis retranchant celle-ci tle l’autre pour éliminer Gm, on aura, en transposant et réduisant,
(bg’-pGÂ’— R‘) GD.(ûr== (dG V GC’— DC’) gIÎ.G équation qui renferme les six côtés dosticux triangles proposés BGA , DGC , et au moyen de laquelle par conséquent , cinq de CCS six côtés étant donnés, on trouvera le sixième. Ce qu’il falloit prouver.
De plus, il est évident qu’ayant AC = GA — C.A,
BI) = GB — GD, les segmens AC, B ü, seront connus, .si les six autres quantités du système le sont; et réciproquement, ces deux quantités étant données, avec trois des premières, on trouvera les autres au moyen des deux équations précédentes et de la formule trouvée ci-dessus. Donc, en général, dans un triangle BGA coupé par une transversale quelconque DC, des liiiit quantités linéaires qui entrent dans la composition du système, cinq quelconques étant données indépendantes l’une do l’autre, on trouvera les trois autres par la formule précédente. 208. En appliquant des raisonnemens du même genre au
cas où les angles BGA, BGC, au lieu d’ètre égaux, scroient supplémens l’un de l’autre, on trouvera que la formule devient
(bgV GÂ’— BÂ’) GD.GC= (ÏÏC’— DG — "^’OgB.gX
20g. D’après les principes que nous avons développés sur la corrélation des ligures, il est clair que si le point C, au lieu de tomber entre G et A, comme dans la figure sur laquelle nous avons établi le raisonnement, tomboit au-deliors du côté de G comme en C', GC deviendroit inverse; et que par conséquent, il faudroil dans la formule ci-dessus trouvée , substituer — GC au lieu de -pG C ; car dans le système primitif, on a. . . i
