partie tlonncroil pour la seconde solution z

o + cos.I

et

sin.(

lions pourrons réunir ccs deux solutions sous une seule et même a cos. k

formule z — -

sin.A:

-, quoique trouvées chacune séparé-

incnl par une équation du premier degré.

Cela arrive ainsi, parce que, quoique le problème soit susceptible de deux solutions , et que par conséquent l’équation doive naturellement monter au second degré , les facteurs de cette équation se trouvant rationnels , elle se décompose en deux équations du premier degré ; et la même chose a lieu pour les degrés supérieurs, lorsqu’on tombe sur un lieurcux choix des inconnues ; car nous verrons que par une équation du second degré , on obtient quelquefois la solution d’une question qui a quatre , huit et meme seize solutions effectives différentes.

4 1 • Je conclus dc-là , qu’on ne sauroit juger exactement du nombre des solutions effectives d’un problème, par celui des racines algébriques positives et négatives de l’équation , faisant même abstraction des racines imaginaires; que le nombre des racines algébriques positives et négatives peut être plus grand que celui des solutions effectives , parce que les diverses transformations qu’il a fallu faire subir à l’équation pour la rendre rationnelle, ont pu amalgamer des racines insigniQantes «veç les racines effectives ; que le nombre des solutions effectives peut aussi être plus grand que celui des racines algébriques, parce que l’équation a pu se décomposer en plusieurs facteurs rationnels, dont quelques-uns ne sc trouvent plus dans l’équation finale. D’où il suit que la règle de porter les racines négatives, en sens contraire des racines positives , est au moins très- vague. Mais nous allons faire voir de plus qu’elle est fautive, et que même, lorsque les racines négatives indiquent des solutions effectives , ces racines ne doivent pas toujours être prise en sens opposé aux racines positives.

4ti. Proposons-nous celle question. Une corde BC étant

tracée

DEPOSITION. i«

Iracée à volonté dans un cercle donné (fig. 4) mener du point A , où l’arc CAB est coupé par la perpendiculaire élevée su rie milieu de BC, une nouvelle corde AK , telle que la partie H K interceptée entre la porde donnée BC et l’autre extrémité K de la oorde AK, soit égale à une ligne donnée.

Je prends A^II pour l’inconnue, et je suppose ,

l’inconnue A H = . • ■ .

la corde donnée BC. = a

la droite donnée H K = b

la perpendiculaire connue AF = c

Par la propriété des cordes qui se coupent dans le cercle, nous aurons HK .Âïî ou = BH . CH = ( BF -1- FIJ ) ( BÎ’— FÎT)

= BF= — FÎÎ’=ia’— Fïi’.

Mais le triangle rectangle AFH donne FH' =AH’ — AF* — z' — c'. Substituant cette valeur de FH* dans l’équation précédente, nous aurons = ^o* — z* + c*, d’où l’on tire

zz= c' + jo.' + ^b' -, ce qu’il falloit trouver.

De ces deux racines, l’une positive, l’autre négative ; la première répond immédiatement à la question proposée, et à l’hypothèse sur laquelle le raisonnement a été établi ; savoir que KH est placée sur l’aire même du cercle : la seconde répond à l’hypothèse où H tombe roit en dehors de BC sur son prolongement en H'; car il n’y a pas de raison pour supposer H sur BC plutôt que sur son prolongement. La condition étant seulement que la partie interceptée entre BC et la circonférence soit =6, on peut la prendre en dehors , de K' en H', aussi bien qu’en dedans , de K en H. Voilà donc la seconde solution effective qu’indique la racine négative. Or AH et A H' ne sont point prises en sens opposés. Donc, ainsi que nous l’avons avancé , les racines négatives , même lorsqu’elles expriment des solutions effectives, ne se trouvent pas toujours en sens contraire aux racines positives.

Cette solation confirme encore ce que nous avons dit cidessus ; savoir , que par un choix convenable des inconnues , il est possible d’obtenir une équation finale d’un degré moindre que le nombre des solutions effectives, dont le problème est susceptible ; car dans le cas présent , quoique l’équation ne monte qu’au second degré , le problème a réellement quatre solutions , savoir les deux qu’on vient de trouver à droite du point F, et deux autres pareilles à gauche , puisque la figure étant symétrique, il n’y a pas plus de raison pour que les points H, II', tombent à droite plutôt qu’à gauche du point P.

Il seroit facile d’obtenir ces quatre solutions par une seule et même équation du quatrième degré, en prenant une autre inconnue, par exemple F H. Car en nommant y cette nouvelle inconnue, nous aurons par le triangle rectangle AFH, FH* Œ. AU^ — AF^, ou — e*, ou ^=dcV^z‘ — c*, ou

^ = iôrfct/c'-t-ia'+IF*)" — c*j.

équation qui donne les quatre solutions demandées ; les racines positives indiquant comme ci-dessus FH, FU', et les racines négatives, les mêmes quantités prises dans le sens opposé.

43. Par tout ce qui vient d’ètrc dit, on voit que la règle donnée ordinairement pour l’emploi des racines négatives en géométrie, n’est point exacte; mais elle l’est, ainsi que nous l’avons démontré ci-dessus (i»7) , pour un cas très- général , (pourvu, comme on le verra (6i), qu’il n’entre pas d’imaginaires dans ces racines) , celui où la question est réduite à trouver, comme dans l’exemple précédent , la partie Fil d’une droite fiC, déterminée de position , à partir d’un point donné F ; car alors les racines positives sont poiHées dans le sens FH, conformément à l’hypothèse snr laquelle le raisonnement a été établi, et les racines négatives de l’autre; et c’est ce qui fait, que dans les courbes dont l’équation exprime le rapport de l’abscisse et de l’appliquée respectivement parallèles à deux axes donnés, cette équation monte toujours au degré marqué par le nombre des

points d’inlerseclion de la courbe avec chaque abscisse ou chaque appliquée. Mais cela n’auroit pas lieu ainsi, et l’équation monteroit tantôt à un degré plus haut, tantôt à un degré moindre , si l’on changeoit le système des coordonnées , en cessant de les prendre respectivement parallèles à deux axes donnés. Car par exemple , en prenant dans une section conique , pour coordonnées , les deux rayons vecteurs ou distances aux deux foyers, l’équation n’est plus que du premier degré, et elle monte au quatrième, si au lieu des foyers on prend , parexemple^ les sommets de la courbe.

Ce qui a été démontré (37) pour la ligne droite , est visiblement applicable à la circonférence d’un cercle et à toute autre courbe. Si l’équation qui donne la solution d’un problème a pour racine un arc négatif; cet arc doit être pris positivement du côté opposé, pourvu qu’il n’entre point d’imaginaires dans cette racine.

44. De ce que la règle communément établie pour l’applicatiou des racines négative.s en géométrie est sujette à exceptions , il ne s’ensuit nullement que ces racines doivent être rejetées comme inutiles. Car d’abord fai démontré (37) que la règle devoit avoir son application , lorsque la question est ramenée à trouver la distance d’un point cherché à un autre point donné sur une ligne donnée, pourvu que l’équation finale ne renferme point d’imaginaires, et il est évident que la même chose a lieu toutes les fois que la question se réduit à trouver les distances d’un point cherché à des axes ou plans fixes quelconques : ce qui est le cas le plus ordinaire. De plus , quoique les racines négatives et imaginaires ne soient que des formes algébriques , insignifiantes par elles-mêmes , nous avons vu que par leurs transformations elles peuvent ramener à des résultats réels et effectifs ; et nous avons fait observer que c’est précisément dans l’emploi de ces formes algébriques sous ce rapport, que consiste la nature même de l’analyse, et son avantage sur la la synthèse. Tout cela est parfaitement étranger à la fausse

/j4 GEOMETRIE

application qu’on pourroit en faire dans la solution des quelques questions particulières de géométrie. Revenons à la discussion générale.

45. Nous avons vu (37) comment il est possible qu’une même formule réponde immédiatement et sans aucune modification, à deux questions différentes, et qui traitées autrement, auroient exigé deux solutions particulières. Une même formule peut également comprendre trois ou un plus grand nombre de questions , cl l’on pourroit demander comment ayant la formule spéciale, propre à chaque question particulière, on pourroit trouver la formule générale qui les comprendroit toutes; c’està-dire , qui seroit applicable à chacune d’elles, immédiatement et sans aucunes modifications. On peut y parvenir par divers moyens, et c’est ce qu’on obtiendroit d’une manière générale, si l’on pouvoit rapporter toujours ces diverses formules particulières à leur origine commune, c’est-à-dire, si l’on pouvoit éliminer de ces formules , les quantités respectivement inverses qui les rendent disparates , et remettre à leur place les quantités directes dont clics sont les différences (24).

En effet , puisque la quantité inverse p (24) , n’a été introduite dans le système, que par la substitution de n — p à la place de /«, il est clair qu’on reviendra au premier ordre de choses , c’est-à-dire, à la formule qui ne contenoit pas de quantités inverses, et qui par conséquent étoit applicable aux deux systèmes , en remettant n — m à la place de p ; et si l’on fait la même chose pour toutes les antres quantités respectivement inverses entre les deux systèmes, la formule deviendra immédiatement applicable à chacun d’eux , sans aucun changement de signes, et sera par conséquent la formule générale cherchée.

Par exemple , dans le triangle ABCD ( lig. 1 ) cité plus haut , on a pour le système primitif, c’est-à-dire, lorsque D tombe cntrcBelC, AB’ — AC’=BC’ — aBC.GD, et dans le système transformé; c’est-à-dire, lorsque C tombe entre B ctD, ÂB’-- ÂC’ = BC’ -1- sBC.CD.

Ces deux formules difi’èrcnt , parce que dans le dernier cas , CD est inverse, attendu qu’on y a CD = BD — BC ; tandis que dans le premier, on avait au contraire, CD = BC — BD. Mais si l’on veut trouver une formule qui soit immédiatement applicable aux deux systèmes, il n’y a qu’à éliminer la quantité inverse CD, en substituant sa valeur en quantités directes, laquelle est pour le second système, par exemple , comme on vient de voir CD = BD — BC : ce qui donnera AB^ — AC'' = aBC.BD — BC. Equation qui a lieu, soit que le point C tombe entre B et D , soit que le point D tombe entre B et C.

Mais si le poinlC après être parvenu entre B et D , continuoit sa route cl passoit au-delà du point B, la formule pourroit changer, parce que nous sortirions de la définition établie (a4), en ce qu’elle suppose que les quantités M, N, demeurent toujours finies, c’est-à-dire, ne passent ni par o , ni par oo , pendant toute la mutation du système : or ici BC passeroil par o, au moment de la coïncidence de C avec B. Celte formule changeroit en effet, car prenant pour terme de comparaison ce système , lorsque C est entre B et D, on a pour ce même système BC = BD — CD. Au lieu qu’après le passage de C au-delà de B, on a au contraire, BC =CD — BD. Donc BC est inverse; donc il faut mettre — BC à la place de BC , pour rendre la formule précédente immédiatement applicable à ce dernier cas. Donc la formule devient AC’ — AB’ =BC’-+- 2 BC.BD.

De même, soit AMBM' (fig. 5) une courbe rapportée à l’axe AB; nous avons vu que les branches A MB, AM'B , situées des deux côtés de l’axe, forment deux systèmes indirectement corrélatifs , dans lesquels les appliquées correspondantes EM, FM', sont inverses l’une à l’égard de l'autre; et en effet , si sur le prolongement de MM' on prend à volonté un point fixe K, on aura FM=KM — KF, et au contraire, FM' = FK — KM' : mais si l’on veut faire disparoîlre ces

/iB GEOMETRIE

quantilüs respcclivcmcnt inverses, afin d’avoir une équation qui donne les deux points M, M', sans aucun changement do signe , il n’y aura, en nommant EM, j', KM, z, et la constante KF, O ,• il n’y aura , dis-je , qu’à substituer dans l’équation trouvée pour le point M rapporté à l’axe AB, z — a à la place de J', car l’équation en z appartiendra alors , et sans aucun changement de signe , au point M' aussi bien qu’au point M.

46. Puisque les formules propres à deux systèmes indirectement corrélatifs, ne diffèrent entre elles que par les signes dont sont aifeclécs les quantités qui composent ces systèmes , il suit que si ces formules ne renferment que ces mêmes quantités élevées au carré , les formules propres à l’un sont immédiatement applicables à l’autre; car pour rendre les formules de l’un immédiatement applicables à l’autre, il n’y a qu’à changer le signe des quantités qui sont inverses dans celui-ci ; mais le changement du signe de la quantité simple ne changera pas celui de son canré. Donc la formule restera la même; c’est-à-dire, qu’elle sera immédiatement applicable an système transformé comme an système primitif.

C’est ainsi que l’équation AB’ — AC’ = BD’ — CD’ appartient au triangle considéré ci-dessus , soit que le point D tombe entre B et C , soit que C tombe entre B et D ; soit enfin que H tombe entre C et D.

4 y. Enfin toute formule du système primitif à deux termes seulement , est aussi immédiatement applicable à chacun des systèmes qui lui sont , soit directement , soit indirectement corrélatifs. En effet, si elle ne l’éloit pas, il faudroit pour qu’elle le devînt , changer le signe des quantités qui deviendroient inverses ; mais la formule ne changeroit pas pour cela , puisque si l’un des termes devient négatif, il faudra que l’autre le devienne aussi; car une valeur positive ne peut jamais se trouver égale à une valeur négative.

Par exemple, lorsque deux droites AD, BC (fig. 6), se

coupent au'dcdans d’an cercle en un point R, on a , comme l’on sait, réqnation AK.DK,=BK.CK qui est à deux termes.

Concevons maintenant que le système change par degrés insensibles, de manière que le point K d’intersection sorte de l’aire du cercle, et qu’ainsi le système devienne tel qu’il est représenté (fig. 7), on aura également , dans ce système transformé , AK . OK = BK . CK. Cependant CK est devenue inverse ; car dans le premier système on a, CK=CB — BK, et dans le second, au contraire, on a, CK = BK — CB : par conséquent CK doit changer désigné. Mais comme d’un autre côté , DK devient aussi inverse , puisque dans le premier cas , on a »

DK = AD — AK, et dans le second cas, au contraire

DK=AK — AD; il suit que DK doit aussi changer de signe , et que par conséquent, l’équation finale doit se retrouver la même, que lorsque le point d’intersection K éloit au-dcdaiis du cercle.

48. D’après ce qui a été dit (a4), pour juger si une quantité rpstc directe ou devient inverse, pendant la mutation du système , il faut que lés deux quantités , comme M , N dont elle est la diil'érence, demeurent finies pendant cette même mutation ; c’est-à-dire , qu’elles ne passent ni par o ni par 00 .

Supposons donc M>N et soitM — N=P, concevons que le système varie, sans que ni M ni N passent par o on par ao que M devienne m; N, n; P,p, en ne considérant toujours que les valeurs absolues de ces quantités.

Supposons de plus, que pour ce changement. Met N aient commencé , la première allant en diminuant, la seconde en augmentant, à se rapprocher l’une de l’autre jusqu’à devenir égales, et par conséquent leur difierence P égale à o; qu’ensuite ces deux quantités continuant, la première à diminuer, la seconde à augmenter, celle-ci devenue «, se trouve plus grande que m , valeur que l’autre est supposée avoir prise en même temps ; leur différence p, qui éloit P dans le système primitif, sera

devenue inverse, et l’dn aura par conséquent /j=n— OT,aulieu de P=M — N, qui a lieu dans le système primitif.

Donc lorsqu’une quantité devient inverse par ce mode, il faut nécessairement que les deu.v quantités dont clic est la différence, aient passé par le rapport d’égalité, et que celte quaulilc clle-méme ait passé par o.

4g. Mais la quantité p peut aussi devenir inverse, par un mode autre que celui qu’on vient d’indiquer ; c’est en passant par 00 , au lieu de passer par o ; alors les deux quantités dont elle est la différence, peuvent être également considérées comme ayant passé par le rapport d’égalité, mais en devenant l’une et l’autre infinies.

En effet, je dis que si p est devenue inverse, - l’est aussi

devenue. Il est clair d’abord qu’au moment où p est devenue o,

- est devenue oo . 11 faut donc prouver que quand M est deve* P

nue m, et N , n; - est devenue inverse aussi bien que p.

Or puisqu on a^p=n — m, on a aussi - = ■: =

OU “ = — ; — , donc ( 25) , 1 cquatiou

p m +71 —^mn m*+n*—2mn

primitive à laquelle celle-ci répond doit être telle , qu’en y remettant pour ces quantités leurs correspondantes, et changeant le signc'de celles qui ont pu devenir inverses, elle s’accorde avec celle qui précède; mais par hypothèse m et n n’ont passé ni par o ni par oo ; elles sont donc restées directes , et ne doivent pas changer de signes, p au contraire est devenue inverse par hypothèse, il faut donc que son signe ait changé. Donc l’équation primitive a dû être

P~M*+N‘— aMN M*-i-N*— Î.MN’

donc - est dans le nouveau système la différence de deux quan-

tités

DEPOSITION. 4f)

tilés — quLonlchaneéd’oriîrc;c’est-

à-diro , düiil la plus petite se Irouvoit la plus grande dans le système primitif, et réciproquement. Donc - est devenue inverse,

comme nous l’avions annoncé; c’est-à-dire, qu’en général, lorsqu’une quantité quelconque devient inverse, l’unité divisée par cette même quantité, devient aussi une quantité inverse.

SOt On voit par-là qu’une quantité peut devenir inverse, par deux modes différens ; ou en passant par o , ou en passant par «.Cependant on ne sauroiten conclure, que réciproquement toute variable qui passe par o ou par oo devient pour cela nécessairement inverse ; car en supposant que p devienne inverse, p‘, par exemple, ne le deviendra pas pour cela, quoiqu’elle ait évidemment passé par o ou par ao en même temps que p. En effet, si/>* devenoit inverse, elle changeroit de signe; or c’est ce qui n’arrive pas , quoique p en change , puisque ( — pY fait toujours p*. Donc cette quantité p* n’a pas changé de signe on passant par o ou par oo ; donc elle ii’cst pas devenue inverse.

5lt Quant aux quantités constantes, c’est-à-dire celles qui restent les mêmes pendant toute la mutation, on peut les regarder comme faisant partie de chacun des systèmes corrélatifs en particulier ; et puisqu’elles ne peuvent passer ni par o , ni paroo , leur signe de corrélation avec le système primitif est toujours -h.

5a. Des quantités qui composent le système primitif ne sont que des quantités absolues, et les signes qui ei\trcnt dans l’expression de leurs rapports ne servent qu’à indiquer des opérations toujours exécutables (5i); ainsi ces quantités n’ont, à proprement parler , aucun signe de corrélation. Cependant , comme parmi tous les systèmes qui sont en corrélation directe avec ce système primitif, le premier en ordre est ce système primitif lui-mème, on peut regarder chacune des quantités qui le composent comme étant en corrélation directe, et par consé-

6o GEOMETRIE

qaent lai donner + pour signe de corrélation. C’est ainsi qnt

noos en userons ordinairement

53. En regardant tons les systèmes qni sont corrélatifs entre cox , comme les di£férens états du système primitif qui varie par degrés insensibles , on pourra regarder les formules trouvées pour ce système primitif, comme appartenant à tous les autres, en 'supposant qu’alors les quantités qui y entrent cessent de représenter ces quantités primitives ; mais qu’elles y expriment les valeurs corrélatives qu’elles ont dans le système auquel ou voudra les appliquer. C’est dans ce sens que ces formules deviennent générales ; mais alors l’application à chaque cas particulier ne peut réellement être effectuée , qu’en opérant cette substitution de la valeur corrélative , à la place de la quantité absolue correspondante dans le système primitif. Il faut donc dans toute formule générale, regarder les lettres ou caractères quelconques, employés pour exprimer les quantités, non comme les quantités même sur lesquelles le raisonnement a été établi , mais comme les valeurs corrélatives de celles qui leur correspondent dans le système particulier auquel on veut faire l’application de ces formules.

54. Ce que j’ai dit jusqu’à présent , ne concerne encore qup le cas où la transformation du système, est supposée n’avoir pas été jusqu'au point d’exiger une plus grande mutation dans les signes des formules contenues au tableau général (a) que celle de -l- en — pour les quantités simples qui entrent dans la composition du sy.stême. Voyons maintenant ce qni arriveroit , si la transformation étoit poussée au point, que pour faire cadrer les formules du tableau avec le nouvel état du système, il fût nécessaire de rendre imaginaire le signe d’une ou plusieurs de ces quantités.

Nous avons vu (a4) qu’en laissant subsister les quantités primordiales M , N, dans les formules, elles demeurent applicables sans aucun changement de signes à tous les systèmes possibles ; •oit que M reste plus grande ou devienne moindre que N : qu’en

nommant P leur différence , les formules demeurent encore applicables sans changement de signes au système transformé, aussi long-temps que M reste plus grande que N; mais que du moment qu’elle devient plus petite , ou que ces quantités passent à l’ordre inverse , il faut pour que les formules continuent d’étre applicables au système transformé, changer le signe do cette différence P.

Donc si au lieu de faire M— N=P, nous eussions fait M — N = P*, c’est de P* qu’il auroit fallu changer le signe , pour rendre propres au système transformé , les formules du système primitif f c’est-à-dire, que pour cela il auroit fallu mettre dans les formules du système primitif, —P* à la place de +P*. Mais substituer — P* à -b P*, c’est la même chose que de mettre PV^—ï à la place de P ou de FV^ + 1 ; donc pour opérer le changement nécessaire, il suffit de donner à P le coefficient on plutôt (6) la signe I, an lieu du signe V^ + 1 ou du coefficient naturel i ; c’est-à-dire , qu’alors pour établir la corrélation des signes , ce n’est plus le signe — qu’il faut prendre pour signe de corrélation de la quantité absolue P, mais le signe imaginaire V — >i.

De la même manière, on auroit pu faire M — NrriP*; et alors dans les formules du système transformé, ce seroit P’ qui seroit devenue inverse , ou dont il auroit fallu changer le signe de + en — , an système primitif, pour les rendre propres à ce système transformé ; et comme —P’ est la même chose que ( — P)’ on'

; il suit que pour rendre les formules du système primitif propres an système transformé , il n’y a qu’à substituer au signe -p, de la valeur absolue P, l’un de ces trois signes

—1 , , ,qui sont les trois racines cubiques

de l’unité prises négativement On voit ce qu’il y auroit à dire, si l’on foisoit M— N=P^, ou M— N=P, on &c. ; et par conséquent , comment pour appliquer les formules du système primitif au système transformé^

5a GEOMETRIE

il est possible qa’on soit obligé de changer le signe des quantités , on de quelques-unes d’enire elles , non pas de + en — , mais de -b en — 1 ou autre signe imaginaire.

55. On peut pousser la transformation plus loin j car an lien de supposer M — N égale à P ou P* ou P’ &c. ; on pourroitla supposer égale à P — Q, par exemple, ou P — Q*, ou P — Q*-l-R’, ou &c. , de ces substitutions faites pour M — N dans le système primitif, résulteroient dans le système transformé, lorsque M deviendroit moindre que N, des variétés nombreuses dans les signes ; oar alors, ce seroient les signes de ces fonctions (P — Q) , (P — Q*) &C. , qu’il faudroit rendre négatifs, c’est-à-dire, que ce ne seroit plus les signes des quantités simples du système primitif qu’il fiiudroit changer de -|- en — , pour établir la corrélation , ou pour rendre les formules de ce système primitif identiques avec celles du système transformé , ni même les signes de telle ou telle puissance de ces quantités ; mais celui de telle on telle fonction plus ou moins compliquée de ces quantités , prises seules ou combinées entre elles; c’est pourquoi, j’appelle cette espèce de corrélation , corrélation complexe.

56. Cependant malgré toutes ces substitutions , les formules du système variable considéré dans ses différens états , resteroient évidemment toujours les mêmes aux signes près, qui deviendroient pour chacune des quantités, tantôt négatifs, tantôt imaginaires de tel ou tel degré ; et comme il est facile de voir que par une suite de transformations , on peut non-seulement faire di.sparoitre , les radicaux d’une formule ou équation , mais même tous les termes négatifs, il suit que toutes les formules correspondantes de plusieurs systèmes corrélatifs , soit que cette corrélation soit directe , indirecte , imaginaire ou complexe , peuvent être ramenées à la même forme, laquelle, par conséquent, appartiendra à tous les systèmes, et exprimera les propriétés qui leur sont communes.

D’où il suit qu’ayant les formules applicables à un système

DEPOSITION. .fi3

quelconque de quantités, on obtiendra les formules applicables à tous les systèmes corrélatifs possibles , en changeant de tontes les manières possibles les signes des quantités qui y entrent, pourvu que l’on comprenne sous le nom de signes toutes les racines possibles , soit réelles , soit imaginaires de l’unité.

5y. D’après ce qui a été dit ci-dessus (54), on voit que les racines imaginaires d’une équation , sont encore plus éloignées de fournir la véritable solution d’un problème quelconque proposé, que ne le sont les racines simplement négatives; qu’elles annoncent des incompatibilités plus tranchantes encore, entre les conditions proposées et les hypothèses sur lesquelles le raisonnement a été établi. Mais de même qu’en changeant le signe des racines négatives , et faisant éprouver , soit aux données du problème, soit aux hypothèses sur lesquelles on établit le laisonnement, des modifications qui mettent d’accord ces données et ces hypothèses avec les équations ainsi altérées dans leurs signes; de même, en faisant des modifications plus on moins sensibles , aux signes qui entrent dans les racines imaginaires de l’inconnue , en même temps qu’aux données, et aux hypothèses qui servent de bases à la mise en équation , on pourra rendre les unes immédiatement applicables aux autres. Il n’y a de difi'érence qu’en ce que les modifications deviennent plus considérables, et que l’analogie du système corrélatif avec le système primitif est ordinairement plus difficile à saisir.

58. Proposons-nous, par exemple, cette question : une droite AB (fig. 8) étant donnée, trouver sur celte droite un point K , tel que le produit des deux segmeiis AK , BK , soit égal à une quantité donnée ; par exemple , à la moitié du carré de AB.

Comme je ne sais encore si le point K doit se trouver sur la droite meme ABou sur son prolongement , j’établis d’abord mon calcul , en supposant que c’est sur la droite même ; c’est-à-dire , que K tombe entre A et B.

Cela posé , prenant ÂK pour l’inconnue, je la désigne par x,

et je nomme o, la droite donnée AB; la condition du problème me donnera donc *(a— *) = ia* on x‘ — a*+ïO*=o; d’où je lire * = jorfc ]/ — jo*, c’est-à-dire qae x est imaginaire.

Je ne conclus pas de-la que la solution du problème proposé soit impossible; mais seulement qu’elle l’est dans la supposition que j’ai faite , que le point K est placé entre A et B ; c’est-à-dire , que le problème a pu être mal mis en équation , parce que j’aurai établi mes raisonncmcns sur une figure qui n’étoit pas celle que je devois considérer, ou qui ne pouyoit satisfaire aux conditions du problème. Pétablis donc de nouveau mon raisonnement , en partant d’une hypothèse, autre que cellequej’avois faite d’abord, c’est-à-dire, que je supposerai le point cherché, non sur ÂB comme je l’avois fait , mais sur un de ses prolongemens , par exemple , en K',

Alors la condition du problème me donne »(*— a)=ja* ou

«? — O»— 'îO*=o; d’où je tire a?=xa=fc:V^ jo‘; équation qui ne contenant plus d’imaginaires, résoud la question proposée.

Cette solution est double; l’une x=va-i- jo* étant positive, résoud sans difficulté la question , conformément à ma nouvelle hypothèse, c’est-à-dire, en supposant que le point cherché est sur le prolongement de AB , aurdelà dq point B ; ou que le point B se trouve entre A et le point cherché. Mais l’autre solution x=îa— jo* étant négative, ne peut se rapporter à la même hypothèse , et d’après ce qui a été dit ci-dessus (37) , il faut, pour en avoir la signification , changer le signe, et voir à quel système corrélatif l’équation ainsi modifiée pourra satisfaire. Or de ce changement il résulte, que l’équation sÇx — a)=|a*, quiexprime la condition du problème, devient, x(x-|-a) = :a*. Voyons donc à quel nouveau système corrélatif peut satisfaire cette nouvelle expression de la condition du problème.

Or il est facile de voir que c’est en supposant que le point K tombe sur le prolongement de AB, non du côté de B comme ci-dessus, mais du côté de A en K'. Et en effet, en partant de cette nouvelle hypothèse, x sera AK." et B K' sera x-|-a; d’où il

suit que la condition du problème sera et cette

équation donnera x =—iad= V |a‘, dont la racine positive est effectivement la même que celle qui s’étoit présentée négativement dans l’hypothèse précédente.

On voit que le signe imaginaire qui affecte la racine de l’équation , n’annonce pas plus que le simple signe négatif, l’impossibilité de résoudre le problème proposé ; mais seulement l’impossibilité de concilier les conditions de ce problème avec les hypothèses sur lesquelles on a établi le raisonnement, et que ce signe indique également dans l’un et l’autre cas, mais seulement d’une manière plus ou moins difficile à saisir, les modifications qu’il faut faire, soit aux unes, soit aux antres , pour rendre la solution possible. L’équation est la traduction exacte des conditions proposées, réunies aux hypothèses sur lesquelles on a établi le raisonnement, elle devient absurde, dès qu’elles ne peuvent être conciliées : il faut alors indispensablement modifier les suppositions desquelles on étoit parti , pour arriver à une véritable solution. Ces modifications se manifestent dans la forme de l’équation , qui devenant la traduction des rapports entre lesquels il ne reste plus d’incompatibilités, ne renferme plus ellemême que des résultats possibles, des quantités effectives , et des opérations exécutables.

Il peut se faire néanmoins que les conditions proposées soient par elles-mêmes impossibles, qu’elles renferment des contradictions ; et alors de quelque hypothèse qu’un parte , on arrivera toujours à uii résultat absurde; mais la nature même des signes , soit négatifs , soit imaginaires qui entrent dans ce résultat, indique les modifications qu’il faudroit faire éprouver à ces conditions elles-mêmes, pour que le problème devint possible.

Ce qui rend la solution d’un problème impossible étant l’incompatibilité des conditions proposées, soit entre elles, soit avec les hypothèses sur lesquelles on établit le raisonnement, on voit que ce problème devient alors trop déterminé ; qu’il se trouve des conditions , qui étant incompatibles avec les autres , rcndroieut le problème possible par leur suppression ; c’est-à-

dire, qu’on a établi le calcul sur des bases trop restreintes, rt qu’on ne doit considérer la question telle qu’elle a été résolue , que comme une question partielle, dont les racines réelles et positives donnent seules la véritable solution ; mais dont les racines négatives et imaginaires indiquent d’autres questions partielles, plus ou moins analogues à la première, lesquelles pourroient être réunies à ccUes-ci dans un énoncé général , auquel l’équation qu’on trouveroit alors seroit toujours applicable immédiatement et sans aucune modification dans les signes. C’est ce qu’on a déjà vu (ôy) , pour le cas des racines seulement négatives ; et ce qu’on peut voir de môme , pour le cas des racines imaginaires , sur l’exemple qu’on vient de traiter.

En effet , le problème a d’abord été mis en équation , dans l’hypothèse {tarticulière , que le point cherché K étoit placé entre A et B ; et cette hypothèse se trouvant incompatible avec les conditions du problème , les racines se sont trouvées absurdes , comme cela devoit être. Mais par la forme de ces racines, on a pu juger de la modification qu’il falloit faire à cette hypothèse; en conséquence, elle a été en effet modifiée, en supposant que le point cherché devoit se trouver à droite du point B. Cette nouvelle supposition pouvant s’accorder avec les conditions proposées, on a dû trouver une solution possible ; c’està-dire , une racine réelle et positive pour l’inconnue , et c’est ce qui est arrivé. Mais il y avoit une seconde racine absurde, et cette racine indiquoit que l’hypothèse d’où l’on étoit parti en dernier lieu, quoique juste, étoit cependant trop restreinte, pour satisfaire dans toute leur étendue aux conditions proposées, et elle indiquoit en même temps par sa forme, la nouvelle modification dont elle étoit susceptible; cette modification consistoit à supposer le point cherché à gauche du point A ; et cette dernière supposition nous a donné en effet une nouvelle solution.

On auroit donc eu tout à-la-fois les deux solutions dont le problème étoit susceptible, en établissant le calcul sur une hypothèse plus générale , comme il suit.

Au

Au lieu (le prendre pour l’inconnue la distance x du point A au point cherché, prenons en F un nouveau point éloigné de A d’une quantité arbitraire g, plus grande que la valeur trouvée ci-dessus pour et prenons pour nouvelle inconnue la distance de ce point F au point cherché. Il est clair qu’en nomniantjy cette nouvelle inconnue, on aura pour le point K' qui donne la première solution , x=jy — g-, donc il n’y a qu’à substituer cette valeur de x dans l’équation trouvée ci-dessus (58) , pour avoir celle qui doit donner FK' ou j. Or cette éîiuation devient ainsi^ — ~a‘, ou jr=:g-\-{a{iziz\/ 3); PIC' cf.t donc l’iinc de ces deux racines. Mais K" se trouvant par hypothèse à la droite de F aussi bien que K', il n’y a pas de raison pour que l’équation me donne plutôt l’une des solutions dont le problème est susceptible que l’autre, puisque les raisonnemens à faire dans les deux cas pour la mise en équation , doivent être absolument les mêmes. Donc la seconde racine est FK"; donc la même hypothèse me donne alors les deux solutions cherchées , parce que je lui ai donné une extension suffisante, pour répondre dans les deux cas aux conditions proposées.

Je serois parvenu au môme résultat, si au lieu de chercher FK', j’eusse cherché FK': car en nommant comme dans le premier cas , la distance du point fixe F au point cherché, et x la distance de A à ce même point , on auroit eu alors x =g — y , qui substituée dans l’équation * = — fa±V/ 50*, relative à ce cas où l’on suppose le point cherché à gauche du point A , donne g — jr = — jarfcV/ ja*, ou^=gr-f-jo(i±V^ 3) comme ci-dessus,

60. L’exemple précédent montre ce qui constitue la différence qu’il y a entre les racines positives, les racines négatives et les racines imaginaires. Les premières seules résolvent la question , immédiatement et sans qu’il soit fait aucune modification , ni aux conditions du problème , ni aux hypothèses sur lesquelles le raisonnement a été établi, ni aux équations qui expriment collectivement les conditions et les hypothèses. Pour que les

secondes résolvent .la question, il faut en changer le signe, et faire éprouver en même temps , soit aux conditions , soit aux hypothèses sur lesquelles on a établi le raisonnement, des modifications convenables, pour que ces équations ainsi modifiées , en soient la traduction exacte. Enfin , pour que les racines imaginaires résolvent aussi la question , il ne suffit plus de changer le signe de l’inconnue de + en — dans l’équation , mais il faut le changer de + en un signe imaginaire, et chercher ensuite quel nouveau système peut satisfaire à ce changement ou plutôt, ce n’est plus de l’inconnue elle-même qu’il faut changer le signe , mais c’est d’une puissance ou même d’une fonction plus ou moins composée de cette même inconnue.

Dans le cas traité ci-dessus , par exemple , ce n’est pas x, mais .T*, qui doit changer de signe , pour que l’équation devienne ,v(x-i-o)= ja* comme elle doitl’étre pour avoir la seconde solution, au lieu de* (a — *)=îa*,comme on l’avoit d’abord supposé. Ce changement opéré , il faut voir quelle est la modification qu’on doit faire éprouver en même temps au système sur lequel le raisonnement avoit été d’abord établi , pour qu’il puisse cadrer avec ce changement de l’équation. Or cette modification consiste à supposer le point cherché à gauche du point A.

Pour la première solution, ce n’est ni *, ni sa pubsance **, mais la fonction (a — x) dont il faut changer le signe, pour que i’équalion x(a — *) = ^a* trouvée d’abord , puisse devenir propre à exprimer véritablement les conditions du problème, et il faut voir ensuite, comme ci-dessus, quelle est la modification qu’on doit faire éprouver en même temps, au système sur lequel on avoit établi le raisonnement, pour qu’il puisse cadrer avec Je changement opéré dans l’équation. Or cette modification consbte à supposer le point cherché à droite du point B.

6l. Un des principaux points de la doctrine que j’ai déjà essayé de réfuloi (3q et suiv.) consiste à dire, que le calcul doit redresser de lui-meme l’erreur qu’on pourroit avoir commbe,

dans l’expression des conditions d’un problème; en supposant un point cherché sur une ligne donnée, à droite, par exemple, d’un autre point donné sur cette ligne, lorsqu’il doit être à gauche. Selon cette doctrine, en prenant pour inconnue la distaneedu point donné au point cherché, on doit alors trouver pour cette inconnue sa valeur même, seulement avec un signe contraire ; de sorte qu’il n’y a plus alors qu’à porter cette valeur dans le sens contraire à celui qu’on a voit supposé, pour avoir le véritable point cherché.

Il soivroit de là que le point K" satisfaisant véritablement à la question proposée, et AR" étant — |a*, on auroit dû trouver, en commettant l’erreur de supposer que le point cherché étoit à droite de A en K , au lieu de le supposer à gauche en K", comme il se trouve effectivement ; on auroit dû trouver , dis-je, pour AK , la même valeur que ci-dessus prise négativement. Or cela n’est pas, pubqu’on trouve (58), par cette fausse supposition, pour AK une valeur imaginaire. Le calcul ne redresse donc pas toujours l’erreur qu’on pourroit avoir commise sur la position d’un point cherché. Elle ne le redresse, que lorsque les deux systèmes comparés sont seulement en corrélation inverse, comme nous le supposons (43), et non lorsqu’ils sont en corrélation imagiuaire ou complexe, comme dans le cas présent.

62. Il suit de ce qui précède , que toutes les fois que l’expression des conditions d’un problème proposé ne conduit qu’à des racines qui ne sc trouvent pas réelles et positives , on peut conclure, que les hypothèses sur lesquelles on a établi le raisonnement , ne s’accordent point avec les conditions du prôhlême ; qu’il est impossible de satisfaire à ces conditions sans changer les hypothèses , ou de tenir aux mêmes hypothèses sans changer les conditions. Dans tous les cas, les équations qui sont faites 'pour exprimer tout à-la-fois, et les conditions, et les hypothèses , présenteront nécessairement des résultats négatifs ou imaginaires , dès que les unes ne pourront s’accorder

6o GEOMETRIE

avec les autres. Pour qu’elles n’offrent plus que des résultats significatifs, il faut donc absolument parvenir à concilier les hypothèses sur lesquelles sont établis les raisonnemens , avec les conditions du problème. Quelles que soient les modifications qu’il soit nécessaire de faire éprouver pour cela aux unes ou aux autres, les équations , qui ne sont toujours que la traduction des unes ou des autres collectivement , éprouvent nécessairement de leur côté des modifications analogues plus ou moins sensibles, suivant que les changemens faits soit aux conditions, soit aux hypothèses, sont elles-mêmes plus ou moins considérables.

Il y a plus encore : c’est qu’une racine , quoique réelle et positive, et quoique l’équation exprime bien exactement des conditions et des hypothèses d’accord entre elles, ne donne pas toujours une véritable solution j car il ne suffit pas que les conditions et les hypothèses soient d’accord , et que l’équation générale satisfasse aux unes et aux autres ; il faut encore qu’en particulier la racine qu’on veut appliquer à la solution satisfasse à ces conditions et à ces hypothèses. Pour que l’équation générale y satisfasse, il suffit qu’une de ses racines y satisfasse effectivement; mais si les transformations algébriques ont amalgamé à cette racine une autre racine qui n’y satisfait pas , celle-ci ne donnera point une véritable solution ; elle ne fera qu’infiiquer, comme le font les racines négatives ou imaginaires, une question analogue à la première, dont elle donnera la solution ; mais elle ne satisfera point à la question telle qu’elle a été proposée.

On demandera , s’il est possible , que les transformations algébriques amalgament aux racines effectives d’autres racines qui ne leseroient pas, et qui cependant seroient réelles et positives. Il seroit facile d’en citer beaucoup d’exemples. En voici un qui est assez simple , je le tire de la géométrie de Uossut, à qui cette observation n’a point échappé, {^yoyez son application de l’Algèbre à la Géométrie, n". a3, édition de l’an vin.) Le même exemple Se trouve dans l’arithmétique universelle de Newton.

Supposons que AÜC(fig. i) soit un triangle rectangle dans

DEPOSITION. 6i

lequel on connoisse l’hypothénuse BC, et la somme AB+AC + AD, des deux petits côtés et de la perpendiculaire, on demande la valeur de cette perpendiculaire.

Nommons a l’hypothénusc donnée BG , ô, la somme donnée AB+AC-t-ADjx,la perpendiculaire cherchée A D ; y , le côté inconnu A B-

Le triangle rectangle BAC donne a*=^* + (ô— x— ou a‘=sy* + b' — abx + x' — sb^ + uxy (A).

De plus, à cause des triangles semblables BAC, ADC, on a a : y \ :b — x — y : x ou ax — by — xy — y' (B).

Comparant les deux équations (A) et (B) pour éliminer^, et résolvant l’équation en x qui est du second degré, il vient x=a + ô±V^ 20*-H2oô.

Voilà donc deux valeurs pour x, c’est-.\-dire pour la perpendiculaire cherchée AD, toutes les deux positives. Or il est clair que la première de ces deux solutions est fausse, puisqu’il est visiblement impossible que la perpendiculaire x soit plus grande que a + ô.

Donc , il ne suilit pas que la racine d’une équation soit réel le et meme positive, pour donner la solution du problème dont elle exprime les conditions j il faut de plus que cette racine soit d’accord tout-à-la-fois , avec ces conditions et les hypothèses sur lesquelles le raisonnement a été établi.

Concluons do tout ce qui précède, qu’en général ,

1®. Pour que la solution d’un problème donnée par telle ou telle racine d’une équation soit effective , il faut que les condi~ tiens proposées , les hypothèses sur lesquelles le raisonnement est établi, et les constructions ou opérations quelconques qu’indique la racine de cette équation , soient toutes d’accord entre elles ^

3°. Que s’il existe quelque incompatibilité entre les unes ou les autres , on ne doit plus regarder cette racine que comme la simple indication d’une autre question analogue avec la pre~ mière , et que- pour en avoir la véritable signification , il faU[ rétablir le calcul sur d’autres conditions ou d’autres hypothèses ,

GEOMETRIE jusqu’à ce qu’elles soient toutes d’ accord , soit entre elles, soit avec les opérations qu’indiqueroit la racine de l’équation modifiée sur ces changemens.

3'. Que par conséquent , les racines négatives et imaginaires , ne sont jamais de véritables solutions de la question proposée , mais de simples indications de questions plus ou moins différentes des premières ; que souvent même elles ne sont que des formes algébriques absolument insignifiantes , que les transformations algébriques ont amalgamées avec les racines effectives.

4‘. Que les racines réelles et positives n’expriment pas plus des solutions effectives que les racines négatives ou imaginaires, et ne sont, comme elles , que de simples indications de questions analogues, lorsque les constructions ou opérations quelconques auxquelles elles conduisent, ne se trouvent pas pleinement d’accord avec les conditions proposées et les hypothèses sur lesquelles on a établi le raisonnement.

5*. Qu’aucune équation ou racine d’équation ne peut donner de solution effective tant qu’elle contient des quantités absurdes , ou des opérations non exécutables ; à moins qu’eUes ne se détruisent respectivement , comme il arrive dans les racines réelles des équations du troisième degré.

6*. Que cependant ces formes inintelligibles ne doivent point être négligées , et qu’on peut les employer comme les formes réelles , parce qu’il est possible de les faire disparoltre par de simples transformations algébriques , et qu’ alors il ne reste plus que des formules explicites et immédiatement applicables à l’objet qu’on s'est proposé , pourvu, ainsi qu’on l’a observé ci-dessus , que ces formules, les conditions proposées et les hypothèses sur lesquelles le raisonnement a été établi , soient toutes d'accord entre elles.

65. Tant qu’on ne sort pas de la synthèse, c’est à dire, tant qu’on no fait servir dans un calcul les signes + et — qu’à indiquer des opérations exécutables, il est impossible qu’il se rencontre des imaginaires , ni môme des quanütée négatives isolées j

elles ne commencent à paroitro, que parce qu’on sort de la mé-^ tliode synthétique, en employant ces signes à indiquer des opérations inexécutables , ou parce qu’on veut appliquer des résultats auxquels cette synthèse a pu conduire , à des hypothèses qui ne s’accordent point avec les conditions primitivement exprimées par ces résultats. Les valeurs négatives viennent, parce que pour exécuter les opérations indiquées, il faudroit retrancher une quantité eiTective de o , ou en général , une quantité quelconque d’une antre quantité moindre; et les imaginaires, de ce qu’on vent faire denouvellea opérations sur ces premiers résultats déjà impossibles. On peut donc regarder les équations ou formules, qui contiennent ces quantités négatives ou imaginaires, comme provenant d’autres formules primitivement possibles , parce que les quantités à retrancher s’y trouvoient moindres que celles dont on devoit les retrancher, et qui ensuite sont devenues impossibles en vertu d’un ebangement d’ordi-c qui s’est opéré entre les quantités par une mutation graduelle. En partant de là, on voit comment naissent successivement ces valeurs; et comme de toutes les opérations con nues de l’algèbre, il n’en estqa’unequi fasse naître les quantités imaginaires, que cette opération est l’extraction de la racine carrée, et que cette opération place toujours les deux signes -h cl — devant le radical, il est aisé de pressentir, que toutes les valeurs imaginaires possibles sont réductibles à cette forme dtV^ — B ou — I , et toutes les valeurs en partie réelles

et en partie imaginaires, à la forme A±BV^ — i ; que ces mêmes valeurs ne peuvent n.aître que deux à deux; et que par conséquent toute racine imaginaire dans une équation est nécessairement accompagnée d'une autre qui en diffère par le signe du radical qui exprime l’imaginaire. Mais les plus grands Géomètres s’étant occupés de ces vérités importantes, et les ayant démontrées rigoureusement, nous ne pourrions que répéter ce qu’ils ont dit à ce sujet.