AB.AF

ÂF.ÂG

Ajoutant toutes ces équations, et observant qne le premier membre de chacune , excepté la dernière, étant égal au premier terme du second membre de l’équation suivante, ils se détruisent l’un l’autre dans l’addition, on aura l’équation exprimée dans l’énoncé du théorème, qui n’est, comme l’on voit, qu’une extension et une application à tous les polygones inscrits de la propriété connue des quadrilatères inscrits ; savoir , que le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

at6. Supposons le diamètre du cercle représenté par i , et faisons AB 20, ABC = aô , ABCD = ac , A BCDE = 2 rf, &:e.

•jj5

Nous aurons BC=2(6 — o),CD = a(c — i),DE=2((/ — e),&c.

De plus (lai), AB = sin. a , AC = sin. è , AD =sin. c, 8cc. Donc l’équation démontrée par le théorème deviendra

sin.(J^a) sin.(6 — a) 8in.(c — è)^sin.(<f — c)^sin.(e — d)

sin.a.sin.f sin.a.sin.è sinA.sin.c sin.c.sin.ol sin.c^.sin.e

^8În.(/ e) formule qui s’accorde avec celle qui a déjà été aw.e.ain.f

trouvée (i3g).

Cette équation devant avoir lieu quelles que soient les valeurs de a, 6, c, d, &c. , nous pouvons mettre à leurs places les complémens •a — q, ■» — 6, » — c, &c. de ces angles. Et alors l’éqnation deviendra

sin.(/ — a) sin. (3 — o) ^ sin. (c — b) ^

coa.a.coa.f cos. a. cos. 6 cos. 6. eus. c

2iy. L’équation trouvée par le théorème ayant toujours

lieu, quelle que soit la position du point A sur l’arc BG, on peut en conclure que dans tout polygone BCDEFG inscrit au cercle , la somme des quotiens de chacun de ses côtes, par le produit des deux droites menées à ses extrémités d'un point A pris arbitrairement sur la circonférence , est toujours la même , quel que soit ce point A , pourvu qu’il soit le même pour tous les côtés du polygone , et qu’on prenne négativement le côté B G, dont le revers répond à ce point A.

3 18. Revenons à notre théorie générale (fig. 79). Je prolonge la transversale CD , jusqu’à ce qu’elle rencontre en F le côté AB du triangle BGA; et je me propose de trouver les rapports existans entre les quantités linéaires du nouveau système ; lequel est , comme l’on voit , l’assemblage do quatre

lignesdroiles AB, AC, BD, CD tracées dans tm même plan, et prolongées jusqu’à leurs sencontres respectives, ou un quadrilatère complet sans diagonales. *'

Pour cela, par l’un B des angles du triangle proposé BGA , je

mène une droite B A parallèle au côté opposé G A, et je la prolonge jusqu’à la tnmsversale CDF au point b. Cela posé, les deux triangles semblables DBô, DGC, donnent

~&b :TÏC :: BD : DG,

et pareillement les triangles FBô, FAC donnent ÂC : Bô : : ÂF : BF.

Multipliant ensemble ces deux proportions, nous aurons en eibiçant Bô de part et d’autre ,

ÂF.BD.GC = ÂC.BF.GD.

Nous sommes arrivés à cette formule sans l’intervention des quantités linéo-angulaires : nous aurions également pu l’obtenir par le secours de celles-ci ; car les triangles B DF, DGC, FC A, donnent

BD : BF :: sin.BFD : sin.BDF GC : DG :: sin. GDC: sin.DCG Âî' : ÂC sin. ACF : sin.AFC Multipliant ces trois proportions et réduisant , à cause des angles qui se trouvent deux à deux égaux dans les deux derniers termes , nous aurons comme ci-dessus ,

ÂF.BD.GC = ÂC.BF.GÏ5.

Cette équation peut se traduire en langage ordinaire par la proposition suivante.

THÉORIÊME V.

21g. Les trois côtés d’un triangle quelconque, prolongés s’il le faut , étant coupés par une même transversale les six segmens formés deux à deux sur chacun de ces côtés , entra chacun des angles qui le termine et la transversale , sont tels , que le produit de trois d’entre eux comme facteurs , est égal au produit des trois autres ; en prenant ces facteurs de manière qu’il n’en entre jamais deux dans le même produit, qui aient

pour extrémités un même angle du triangle , ou un même point de la transversale.

En effet , on voit que les six seginens formés deux à deux su r les côtés du triangle, BGA entre chacun des angles du triangle

et la transversale, sont BD, GD, pour le côté BG j GC, AC pour le côté GA; AF, BF, pour le côté AB; que dans la formule

trouvée AF.BD.GC = AC.BF.GD.Ces segmens entrent trois par trois comme facteurs dans chacun des deux produits , et qu’enfin, aucun des six points B, G, A, F, D,C, qui terminent CCS segmens , ne se trouve répété deux fois dans le même produit. Or le même raisonnement peut s’appliquer à tout autre triangle coupé par une transversale quelconque : donc la proposition est vraie généralement; soit que la transversale coupe l’aire meme du triangle , soit qu’elle passe au-dehors et ne coupe que les prolongemens des côtés (iig. 79, 80, 8f , 8a}.

220. Puisque le système général est composé de quatre lignes droites tracées dans le même plan , et que ces quatre droites prises trois à trois forment un triangle, auquel sert de transversale la quatrième droite, il y a dans ce système général quatre triangles BGA, BFD, FCA, DGC, à chacun desquels on peut appliquer le théorème précédent : ou ce qui revient au même, ces quatre triangles forment quatre systèmes corrélatifs , auxquels on peut appliquer immédiatement la formule trouvée pour le système primitif. Je dis immédiatement, parce que la formule n’ayant que deux termes , il n’y a aucun changement de signes à opérer. Nous aurons donc d’abord entre ces quatre systèmes la corrélation de construction suivante (fig. 7a, 79, 80, 81, 8a).

i"syst BGADFC

a* syst BFDAGC

3' syst FCADBG

4' syst DGCBFA

En appliquant donc à chacun de ces systèmes la formule trouvée ci-dessus pour le premier d’entre eux , ou le théorème

a;8 GEOMETRIE

précédent qui en est la traduction , on aura les quatre équations

suivantes :

ÂF.BD.GC = ÂC.BF.GD DG.BÂ.?C = ÎÏC.BG.ÎT ÂB.FD.CG = AG.FB.CD CF .DB.GÂ = CÂ.DF.GB

Ces quatre formules se réduisent à trois; car en multipliant la première par la seconde , et divisant par la troisième , on a la quatrième.

221. Ces trois équations, jointes aux quatre évidentes, qui résultent de la comparaison de chaque ligne avec ses segmens;

savoir, BG ='BD + GD, BÂ=fI — Ï¥, GA = GC + CÂ,

CD = CF — FD , forment les sept équations nécessaires pour trouver dans la figure proposée, parmi les douze quantités linéaires qui y entrent, les sept inconnues, lorsque les cinq autres choses sont données; pourvu que ces cinq choses soient indépendantes les unes des autres. Or cette figure est, comme nous l’avons déjà observé, un quadrilatère complet, considéré sans ses diagonales; c'est-à-dire, que le théorème ci-dessus (a 19), l'ésoud la question suivante.

Parmi les douze quantités linéaires qui entrent dans la composition d’un quadrilatère complet considéré sans ses diagonales , cinq quelconques indépendantes les unes des autres étant données , trouver les sept inconnues.

222. En multipliant la première de ces formules par la seconde ; la première en croix avec la troisième , la première en croix avec la quatrième , on a les trois formules suivantes ;

BÂ.BD.CF.CG =BF.BG.CÂ.CD ÂF.ÂG.DB.DC =ÂB.ÂC.DF.DG GB.GC.FÂ.FD = GÂ.GD.FB.FC

lesquelles peuvent être mises sous la forme de proportions comme il suit ;

BF.BG : CF.DG :: RÂ.BD : CÂ .CD ÂB .ÂC : ÏÏB.IÏC :: ÂF.AG ; DF.DG GÂ.GD : Ï^.FD :: GB.GC : FB.FC

Ces trois proportions expriment la même propriété ; la première pour le quadrilatère ordinaire BDCA; la seconde, pour !e quadrilatère à angle rentrant AFDG ; la troisième, pour le quadrilatère formant deux triangles opposés au sommet GCFB , et peuvent être trlidoites en langage ordinaire par la proposition suivante.