THÉORÈME VI

Dans tout quadrilatère simple , le produit des deux distances de l’un quelconque des angles aux points de concours des côtés partant de ce même angle , avec les côtés respectivement opposés , est au produit des deux distances de l’angle opposé en diagonale , aux mêmes points de concours ; comme le produit des deux côtés du quadrilatère odjacens au premier de ces angles est au produit des deux autres côtés.

Car, par exemple , pour la première des trois proportions cidessus, BF.BG est le produit des deux distances de l’angle B du quadrilatère BDCA aux points de concours F, G, des côtés BA , BD , partant de ce même angle B avec les côtés respectivement opposés CD , CA ; CF. CG , est le produit des deux distances de l’angle C opposé en diagonale à l’angle B, aux mêmes points de concours F,G^BA.BDestIc produit des deux côtés du quadrilatère adjacens au premier angle B : et eiiEn, CA. CD est le produit des deux autres côtés. Il en est de même des deux autres proportions. Ainsi la proposition a toujours lieu , de quelque forme que soit le quadrilatère.

' î8o GEOMETRIE

223. Maintenant soient menées (fig. 87>, 84, 85) les trois diagonales AD, BG, FG, du quadrilatère complet. On verra facilement que la proposition précédente peut aussi s’exprimer comme il suit.

Dans tout quadrilatère complet, si l’on mène une des diagonales , et que l’on compare ensemble les deux quadrilatères simples auxquels celte diagonale est commune ■' le produit des deux côtés de l’un de ces quadrilatères et partants de l’une quelconque des extrémités de cette diagonale , est au produit des deux autres côtés de ce même quadrilatère , comme le produit des deux côtés de l’autre quadrilatère partants de la première extrémité de celte diagonale , est au produit des deux autres côtés de ce second quadrilatère.

Car si l’on compare, par exemple, les deux quadrilatères simples ABDC, FDGA , qui ont pour diagonale commune AD, on voit par la seconde des trois proportions ci-dessus, que le produit AB. AC des deux côtés qui partentdel’extrémité A de cette diagonale , est au produit DB. DC des deux autres côtés de ce même quadrilatère , comme le produit AF. AG des deux côtés du second quadrilatère partant du premier point A de la diagonale , est au produit DF>DG des deux autres côtés de ce second quadrilatère.

224. Supposons que la diagonale AD coupoles deux autres ÏÏC, FG aux points H, K; et comparons les deux triangles AFK,AGK, formés sur la même diagonale F G , séparés par l’une ^D des deux autres, et coupés respectivement par les transversales BG , FC. Le théorème nous douncra donc les deux équations suivantes :

ÂB .DR GF = ÂD.BF.GR

ÂD.GC.'FK I^TÂC.GF Multipliant ces deux équations et réduisant, on a

ÂB.FÎÏ.GC = ÂC.FB.^; formule qui peut se traduire par la proposition suivante.