THÉORÈME

THJÈOnéHB VII.

Si d’un point quelconque pris dans le plan d’un triangle , on mène aux trois angles des droites ou transversales , et qu’on prolonge chacune d’elles jusqu’^ ce qu’elle rencontre le côté opposé, il en résultera sur chacun de ces côtés , deux segmens , compris entre chacun des angles qui le terminent et la transversale qui le coupe : or le produit de trois de ces segmens comme facteurs , est égal au produit des trois autres ; en prenant ces segmens de manière que dans chacun de ces produits , il n’en entre pas deux qui aient pour extrémités un même angle du triangle ou un mémo point de la transversale.

En effet, on voit que les six segmens formes deux à deux sur les côtés du triangle EGA entre chacun des angles de ce triangle, et les transversales DF, DG, DA, partant du même point D, et prolongées, sont FK, GK; GC, AC; AB, FB. que dans la formule AB.FK.GC = AC.FB.GK trouvée ci-dessus, ces segmens entrent trois par trois comme facteurs dans chacun des deux produits, et qu’enfin, aucun des six points F, G, A, K, C, B, qui terminent ces segmens, ne se trouve répété deux fois dans le même produit Or le même raisonnement peut s’appliquer H tout autre triangle. Donc la proposition est vraie généralemeitt, soit que le point D d’où partent les trois transversales soit pris sur l’aire même du triangle ou au-dehors ; pourvu que ce soit toujours dans le même plan.

1l5, Appliquons ce principe au triangle BD A, quia pour ses trois sommets trois des angles du quadrilatère BDCA, et

pour l’un de ses côtés , l’une D A des trois diagonales de ce même quadrilatère. Du point C aux trois angles de ce triangle sont menées des transversales CB , CD , CA ; donc en lui appliquant le théorème précédent, nous aurons

ÏF.BG.DÏi = ÂÏÏ.BF.DG.

Mais le même triangle BDA coupé par la transversale EG qui ne passe par aucun de ses angles, donne

’ÂK.BÏVÏjG =‘ÂF.'BG.DK.

Multipliant ces deux équations et réduisant , on a

ÂK.DH = ÂH.ÜK , ou Âïî : DH : : ÂK : DK. proportion qu’on peut traduire par la proposition suivante.

THi0R£M£ VIII.

Dans tout quadrilatère complet ayant ses trois diagonales , chacune de ces diagonales est coupée par les deux autres en segmens proportionnels.

Car A H , D H , sont les segmens formés sur la diagonale A D du quadrilatère BDCA par la diagonale BC, et AK, DK, sont les segmens formés sur la même première diagonale AD par la troisième EG.

226. Les aires des triangles BAC, BDC qui ont pdur base commune BC, sont évidemment entre elles comme les segmens

AM, DH de la diagonale qui joint les autres sommets de ces triangles; c’est-à-dire qu’on a