En synthèse, il n’y a pas deux manières d’extraire la

G j: ü M E T R I E racine d’nne quanti té donnée; en analyse, il y en a autant qu’il y a d’unités dans l’exposant du radical. Mais que sont toutes ces racines, excepte celle que donne la synthèse elle-même , sinon des formes algébriques, inintelligibles dans leur état actuel, et qui ne peuvent devenir utiles que par des transformations? Il est impossible de prouver d’une manière satisfaisante , que ( — à)' donne a' , à moins que — a ne so trouve précédée d’une autre quantité absolue plus grande qu’elle; tous les raisonnemens par lesquels on prétendroit pouvoir établir ce principe pour d’autres cas , seroienl vicieux , car pour prouver que ( — à)'=a', il faudroit commencer par pouvoir dire ce qu’est — >a isolé. Or cela ne se peut, puisque — a est un être de raison. Ce qui est vrai et susceptible de démonstration , c’est seulement que la supposition de ( — a)*=o*, dans un calcul ne peut conduire à des résultats faux, lorsque par des transformations quelconques, on peut parvenir à faire disparoître ce qu’il y a d’inintelligible dans les expressions. Il est â-peu-pres ici comme dans l’analyse infinitésimale, en considérant les différentielles comme de véritables quantités. Dans celle-ci, on parvient h des résultats exacts, par compensation d’erreurs : dans la théorie des valeurs négatives et imaginaires , il n’y a point d’erreurs dans les équations , mais il y a des formes inintelligibles, qui s’éliminent les unes par les autres, et produisent ainsi des résultats exacts et susceptibles d’applications réelles.

65. Qu’on transforme d’une manière quelconque une équation qui a des racines positives , des racines négatives , des racines imaginaires , en conservant toujours la meme inconnue. Comme il n’y a réellement que telles ou telles manières de résoudre la question proposée , on ne sauroit parvenir à augmenter , diminuer ou changer les racines réelles et positives , qui sont véritablement et pleinement applicables à la question. Ces valeurs réelles et positives, qui satisfont pleinement à la question , et qui mises dans un cas pour l’inconnue réduisent l'équation ào = o, la réduiront toujours à o = o sous toutes les

autres

autres fonlics possibles. Mais il ii’cn est pas «le même des racines négatives ou imaginaires , ni niènic do celles qui ne résoudroient pas pleinement la question (65). Une tiansformation opérée sur une équation, peut faire naître ou disparoître un nombre indéfini de ces nouvelles racines, parce que les premières seules étant inhérentes à la question , et les seules qui la résolvent véritablement , ne peuvent jamais être éliminées , tandis que les autres ne faisant que mêler à la question principale d’autres combinaisons accessoires , on peut changer ou éliminer celle-ci de diverses manières.

Prenons, par exemple, l’équation x=a : en élevant au carre, j’ai x’=a' ou ** — a*=o ; voilà une transformation très-légitime, qui fait naître une racine négative qui n’existoit p.is, savoir x== — a; mais la racine positive x = a, n’a pas changé. J’élève encore au carré x'=a% j’ai x‘=a* ou ** — a*=o : nouvelle transformation, qui fait naître deux racines imaginaires qui n’existoient pas; savoir, *+ \/ — a=o, x — V — a = o,saiis rien changer à la racine réelle et positive, x — a, qui demeure inaltérable, on voit donc comment les seules transformations peuvent amalgamer aux racines qui donnent la véritable solution d’une question proposée , des formes algébriques insignifiantes par elles-mêmes.

Puisque les racines réelles et positives , qui donnent seules la véritable solution d’une question sont inaltérables , quelques transformations qu’on puisse faire subir aux équations, on voit que quand même on feroit passer ces équations par des formes imaginaires , pourvu qu’on finisse par les ramener à des formes réelles et positives ; c’est-à-dire, qu’elles ne renferment plus do quantités absurdes , ou d’opérations inexécutables , elles reproduijTont toujours ces mêmes racines réelles et positives. Ainsi l’analyse a cet avantage , de prendre les voies do simplification qni peuvent s’offrir, quand même elles exigeroient que les équations fussent mises en passant sous des formes non significatives , pourvu que ces équations restent toujours algébriquement exactes ; c’est-à-dire , que les transformations auxquelles

on les soumet demeurent toujours conformes aux strictes règles

de l’algèbre.

Une formule, quoique exacte , c’est-à-dire, quoique traduction exacte des données , peut contenir des valeurs absurdes ; en cifet, si elle exprime des conditions ou des hypothèses incohérentes et incompatibles , son exactitude consistera alors à manifester ces incompatibilités par des formes absurdes ou des opérations inexécutables ; car la synthèse , comme nous l’avons déjà dit, n’exprime que les rapports d’existence entre les quantités ; mais l’analyse exprime, et les rapports d’existence , et les rapports d’incompatibilité.

Dans le cas même où une formule exprimant des rapports impossibles , en manifeste la nature par l’indication de telles ou telles opérations inexécutables , elle peut néanmoins , par les transformations régulières de l’algèbre, être ramenée à une forme explicite ; mais alors elle n’exprimera plus du système, que les propriétés qui n’avoient entre elles aucune incompatibilité ; et si ces propriétés sont communes à ce système et à un ou plusieurs autres, cette formule appartiendra a tous à la fois, et par conséquent, la transformation aura dù la généraliser assez , pour la rendre applicable à chacun d’eux en particulier. Voilà pourquoi une équation qui avoit été faite pour exprimer telle ou telle propriété particulière, monte à un degré plus ou moins élevé, suivant que cette propriété appartient à un plus ou moins grand nombre de systèmes.

66. Il est aisé de voir qu’on peut aussi ramener à une forme commune , toutes les équations qui ne diffèrent entre elles que par les signes pris dans l’acception la plus générale j car on peut toujours , par les transformations ordinaires de l’algèbre , faire disparoître tous les radicaux , et ramener d’abord ainsi les formules à ne différer que par les signes -1- et — qui aflfectcruient les termes correspondans. Mais cette dernière différence disparoit également, en faisant passer dans un même membre tous les termes affectés du signe h- , dans l’autre tous les termes affectés du signe — , et élevant ensuite tout au carré.

Si donc on changeoit à volonté les signes qui entrent dans une formule quelconque exacte , en substituant au signe + le signe — , ou en général au coefficient naturel i de chaque quantité, un autre coefficient quelconque pris parmi les racines de l’unité, la formule ainsi altérée n’en seroit pas moins susceptible d’ètre ramenée à une formule exacte et explicite, par les simples transformations ordinaires de l’algèbre.

C’est par celte variété dans les signes, que se manifestent dans les formules propres à divers systèmes corrélatifs , les nuances qui les caractérisent ; c’est en formant le tableau général de ces variétés, qu’on indique les moyens d’appliquer à l’un les formules qu’on auroit pu trouver en établissant le calcul sur un autre, et c’est en les ramenant par les transformations algébriques à l’identité , qu’on trouve les propriétés qui sont communes à plusieurs d’entre eux ou à tous ensemble.

67. Supposons , par exemple, qu’on ait deux systèmes do quantités, dont l’un soit composé de a, x , y ^ et tel qu’on ail la formule x+y = a, l’autre composé des quantités a, x',y, cl tel qu’on ait x' — y' =■ a ; ces deux systèmes sont évidemment en corrélation simple , mais indirecte , puisqu’ils prennent des formes identiques en changeant le signe dey . Cela posé , faisons subir R ces deux formules différentes une transformation commune , en transposant d’abord dans la première et a , et dans la seconde , les quantités correspondantes y' et a ,• ce qui don-

i^çrax 0= y, x' — a=y'. Puis élevant l’une et l’autre de

ces dernières équations au carré , ce qui donnera

x‘—2ax-\-a‘=y‘ ; *'*— 2air'+o*=y*.

Formules absolument semblables , quoique tirées de formules premières différentes. Chacune de ces transformées peuldonc être prise pour exprimer les propriétés qui sont communes aux deux systèmes indirectement corrélatifs proposes ; tandis que les propriétés qui les distinguent l’un de l’autre , ne peuvent être tirées que des formules premières x+y = a; x'—y =0.

11 est à remarquer que la première de ces équations est celle

qui exprime la nature de l’ellipse rapportée à ses foyers, en prenant pour coordonnées x, y, les distances de chaque point de la courbe à ces deux foyers ; et que la seconde est celle qui exprime la nature de l’hyperbole également rapportée à ses foyers. Les propriétés communes à l’ellipse et à l’hyperbole, sont donc exprimées par l’équation commune à l’une et à l’autre x' — aox + a* — ^* = O, tandis que les propriétés qui les distinguent ne peuvent sortir que directement des formules premières données ci-dessus. ,

Soient pareillement deux systèmes de quantités , l’un composé des quatre quantités a, A, x, y , entre lesquelles on ait l’équation a*y'-=a‘b'~ b'x' ; l’autre composé des quatre quantités a, i,x',y,entre lesquelles on ait l’équation o*y*=é’x'* — o*i*.

11 n’y a entre les quantités qui composent ces deux systèmes ni corrélation directe , ni corrélation indirecte , puisqu’on changeant leurs signes de quelque manière que ce soit , on ne peut ramener ces deux équations à la même forme -, car si l’on met — X , par exemple , à la place de x , le carré x* n’en conservera pas moins le même signe : mais il y a corrélation complexe entre les deux systèmes , c’est-.à-dire , corrélation simple indirecte, non entre les quantités même dont nous venons de parler , mais entre des fonctions semblables de ces mêmes quan-^ tités ; car au lieu de considérer le premier système comme composé des quantités a, b, x ,y, nous n’avons qu’à le considérer comme composé des quantités a', b', x', y', qui sont les carrés des prcmière.s ; et le second, comme composé des quantités O*, b‘, x'*,y*, qui sont les carrés des quantités correspondantes ; nous verrons qu’il y a corrélation simple indirecte entre ces quantités o*, b', x‘,y', du premier, et celles a*, A*, x", y*, du second , puisqu’il n’y a qu’à changer le signe de celte dernière y * pour rendre les deux formules absolument semblable.s.

Cela posé, faisons subira ces deux formules une transformation commune , en élevant simplement tout au carré ; nous aurons o'y=o'è* — aa'b*x' + b*.x\ et a*y'*=a*b' — 2o*Ô'x'^-pû‘i'^j équations qui sont absolument de mômes formes , et qui expri-

ment par conséquent- les propriétés communes aux deux systèmes corrélatifs , quoique leur corrélation ne soit que complexe.

Il est à remarquer que la première des équations proposées , est celle de l’ellipse rapportée au grand axe , en prenant les abscisses-dû centre et les appliquées perpendiculaires; et que la seconde est celle de l’hyperbole également rapportée au premier axe.

Les dernières équations que nous venons de trouver renferment donc les propriétés communes à ces deux courbes, tandis que les propriétés qui les distinguent l’une de l’autre, ne peuvent être tirées que des premières équations a'y'=a'b' — é’*’, a'y'‘= b'x' — a' b'.

68. De même qu’en élevant au carré l’équation de l’ellipse et celle de l’hyperbole , on obtient un résultat commun , qui exprime par conséquent les propriétés communes à ces deux courbes ; de même aussi chacune de ces premières équations , celle de l’ellipse , par exemple , renferme les propriétés communes aux deux branches de cette courbe , et qu’on peut séparer en tirant la racine carrée de cette même équation ; car cette

opération donne pour résultat y = =fc-l^ aà, — xx, ou ces deux

racines y=-v aa—xx,y = v aa — xx:or en supposant

que la première racine exprime la valeur de l’appliquée prise à droite de l’axe, la seconde exprimera (38) la valeur d’une autre appliquée égale prise de l’autre côté de l’axe. Ainsi, ces deux racines exprimeront les propriétés distinctives de ces deux branches de la même courbe, de la même manière que les équations particulières de l’ellipse et de l’hyperbole, exprimeront les propriétés distinctives de ces deux courbes , tandis que leurs propriétés communes sont renfermées dans l’une oul’autre de ces mêmes équations élevées au carré.

CcUe distinction des deux branches de la même courbe peut

être rendue plus sensible si l’on veut , en rapporlânt la courbe R un autre axe parallèle au premier , et distant de lui , par exemple, de a; car alors l’équation de la première branche

devient y = a+-V'aa — xx a

et celle de la seconde devient

r = o— --t^aa — xr; équations dont la düTérence de forme a

étant plus sensible , fait mieux appercevoir les propriétés dis* tinctives qu’elles expriment des deux branches de la courbe.

6g. 'Felle est , ce me semble , la véritable théorie des quantités dites improprement en analyse positives et négatives. Je dis improprement , car il est évident qu’il u’existe de fait ni quantités positives , ni quantités négatives par elles - mêmes ; mais seulement des quantités absolues, aptes à être ajoutées à d’autres , ou à en être retranchées lorsqu’elles sont plus petites. Ces expressions de quantités positives , et quantités négatives , ne servent qu’à exprimer la conformité ou la non conformité de celles qu’on désigne ainsi, avec celles qui leur correspondent dans un système primordial , pris au moins tacitement pour terme de comparaison. Les propriétés de ce système primitif étant exprimées par des formules explicites , c’est-à-dire, qui ne renferment aucune quantité absurde, on n’indiquent aucune opération inexécutable : si l’on veut appliquer ces formules à un autre système , les quantités dites positives seront celles dont il ne sera pas nécessaire de changer le signe ; les quantités négatives , celles dont on sera obligé de changer le signe de -l- en —, et les imaginaires, celles qui changeront de signe de + en — i, ou dont le carré, le cube, ou toute autre fonction quelconque devra changer de signe pour que les formules du système primitif continuentà pouvoir être appliquées immédiatement , et sans renfermer de quantités absurdes ou d’opérations inexécutables , au système considéré.

Ainsi, une quantité négative n’est pas celle qui a — pour signe propre , puisqu’aucune quantité ne peut avoir de signe

qni lai soit propre, mais celle qui a — pour signe de corrélation. C’est la différence de deux quantités absolues dont celle qui étoit primitivement la plus grande est devenue la plus petite par le changement graduel du système ; et enfin les quantités positives , négatives , imaginaires en général , ne sont toutes autre chose que des formes algébriques, qui substituées dans les formules explicites du système primitif, c’est-à-dire , dans des formules où les signes + et — n’onl d’autres fonctions que celle d’indiquer des opérations exécutables, qui, dis-je, substituées dans ces formules aux quantités absolues qu’elles représentent, rendent ces mêmes formules immédiatement applicables au système considéré successivement dans tous ses états possibles de transformation , quoique le calcul n’eût été établi que pour la situation particulière prise pour terme de comparaison , et que nous avons appelée système primitif.

Lorsqu’on dit , par exemple , que le cosinus d’un arc plus grand que le quart de circonférence est négatif, ou qu’en nommant « ce quart de circonférence , on a cos.('»-f-o) = — sin.o, cela signifie que la forme algébrique — sin.a substituée dans un calcul quelconque à la véritable quantité cos. a qu’elle représente, n’altère point l’exactitude du calcul , mais rend les résultats de ce calcul applicables au cas où l’angle est v+a, quoique le raisonnement eût été établi sur l’hypothèse , que cet angle étoit seulement a.

De même , lorsqu’on dit que sin.(-ïK — 1)= e repré-

sentant le nombre dont le logarithme hyperbolique est i , cela

signifie que z V —1 et ^ sont deux formes algébriques

qui substituées respectivement dans un calcul quelconque établi entre les véritables quantités * , sin. z, qu’elles représentent , n’altèrent point l’exactitude du résultat , mais en changent l’application , c’est-à-dire, qu’elles le rendent applicable à d’autres cas que celui sur lequel le raisonnement avoit d’abord élé établi. ' •

Pareillement Euler ayant démontré cette formule log. — a — log. a±(2/n-l- i)«V/ — 1 , où OT représente un nombre entier quelconque , et la demi-circonférence. Nous apprenons quo — a et log.a±(2/»+i)«V^ — i sont deux formes algébriques , qui substituées dans un calcul quelconque établi entre les vér ritables quantités a, et log. a, n’altèrent point l’exactitude du résultat , mais le rendent applicable à des cas imprévus dans les premières hypothèses.

Ces substitutions de formes algébriques négatives ou imaginaires, faites dans 1rs formules du système primitif à la place des véritables quantités qui y entrent, semblent d’abord ne devoir conduire à rien , parce qu’elles introduisent dans le calcul des expressions inintelligibles; mais lorsqu’elles sont légitimes comme celles dont nous avons parlé ci-dessus , le seul développement de ces formules par les transformations ordinaires de l’algèbre suflit pour faire disparoître ce qui s’y trouvoit en effet d’inintelligible ou d’absurde, et c’est précisément, comme nous l’avons déjà dit , en cela que consistent les ressources qui appartiennent à l’analyse , et manquent à la synthèse.

y O. En envisageant la question sous un antre point de vue , on peut , à la vérité , convenir de distinguer par les signes + et — les quantités toujours effectives prises en sens contraires les unes des autres ; mais alors il faut expliquer ce qu’on entend par cette expression de quantités prises en sens contraires , et montrer qu’on a le droit d’opérer sur les signes par lesquels on est convenu de les distinguer , de la même manière qu’on le fait , lorsqu’on n’emploie ces mêmes signes qu’à indiquer des opérations exécutables. C’est là le point de la difficulté , et je crois qu’on ne sauroit la résoudre , qu’en attribuant à ces quantités dites en sens contraires , la signification de celles que j’ai appelées les unes directes , les autres inverses , et par conséquent , sans rapporter au moins tacitement le système examiné , à un autre système fondamental pris pour terme de comparaison. On n’est dispensé de ce rapprochemettJ tacite , que lorsqu’on

qu’on opère sur le système fondamental lui-mème ; c’est-à-dire, lorsqu’on procède par synthèse, ou qu’on n’emploie les signes que par forme d’abréviations , et sans les faire servir à autre chose qu’à indiquer des opérations exécutables. Alors si ayant une formule trouvée pour ce système primitif, on veut l’étendre à un autre système pour lequel elle n’étoit pas faite , au lieu de chercher de nouveau la formule qui convient à ce dernier cas , on profite de la première , en y apportant seulement les modifications nécessaires ; et ces modifications consistent , ainsi que je l’ai montré ci-dessus , 1*. lorsque la corrélation est directe , à changer simplement suivant les cas les valeurs absolues des quantités; a”, lorsque la corrélation est toujours simple, mais indirecte , à changer , outre les valeurs absolues de ces quantités , les signes d'un plus ou moins grand nombre d’entre elles. 3°. Enfin, lorsque la corrélation est seulement imaginaire ou complexe, à changer les signes , non des quantités simples qui entrent dans les formules , mais des fonctions plus ou moins composées de ces mêmes quantités.

Une fois le changement des signes opéré dans la formule examinée , elle devient immédiatement applicable au système transformé , de la même manière qu’elle l’étoit avant le changement au système primitif; et ce système transformé peut luimème, à son tour, servir de terme de comparaison pour d’autres , en taisant à la formule qui lui a été appropriée , les nouvelles modifications que pourroient exiger les changemens qui doivent avoir lieu , à mesure que le système éprouvera d’autres transformations.

Ainsi cette théorie dérive essentiellement d’un principe fondamental , qui ne s’applique pas seulement à la question ici traitée, mais à toutes les parties des mathématiques et de la dialectique en général , et qui consute à rapporter toujours , les divers objets inconnus que l’on veut comparer à un mémo objet connu que l’on prend pour servir de terme de comparaison. Par ce moyen , on décompose la difficulté , on ramène la question compliquée d’établir le rapport qui existe entre deux choses l’une

et l’antre inconnaes,aces deux autres simples, savoir, d’établir le rapport de chacune de ces choses inconnues en particulier à une même troisième chose connue. Telle est en tout la marche naturelle de l’esprit

y 1 . Tout l’artifice de la numération , par exemple , consiste à trouver le moyen d’arranger un petit nombre de chiffres dans un ordre méthodique, tel qu’avec ces seuls chiffres, on puisse représenter tous les nombres possibles , de manière à pouvoir opérer partiellement sui>eux, et décomposer ainsi la difficulté, en convertissant les opérations qu’on peut avoir à exécuter sur des nombres considérables, en une série d’opérations partielles à faire sur de petits nombres ; c’est-à-dire, sur des nombres assez petits, pour qu’on puisse se faire de chacun d’eux une idée nette , ou les combiner immédiatement par l’attention et la mémoire, et qui forment le système primitif auquel tous les autres nombres sont rapportés.

y 2. De même, chacune des opérations de l’arithmétique, telles que l’addition, la soustraction, la multiplication, &c., n'est autre chose, que le procédé par lequel on parvient à opérer successivement sur les unités, les dixaines, les centaines, &c. des nombres proposés, lorsqu’ils sont trop considérables , pour que l’esprit puisse appercevoir directement le résultat entier de leur combinaison.

y3. Il en est de même de l’algèbre. Son but est d’indiquer la série des opérations qui sont à faire, et que l’arithmétique doit exécuter pour obtenir un résultat cherché. On ne connaît pas toujours explicitement la valeur d’une quantité, quoiqu’on sache qu’elle dépend , et suivant quelle loi elle dépend d’une ou plusieurs des autres quantités données. Pour 1a trouver, on est obligé de décomposer la question principale, de la ramener à plusieurs opérations successives. Or c’est cette série d’opérations dont il faut connoître la nature , qu’il faut indiquer par des signes convenus , et c’est dans cette recherche et cette indication

DEPOSITION. 7r.

que consiste l’algèbre ou plutôt l’analyse dont l'algèbre n’est, à proprement parler, que l’instrument on la langue propre.

74. En géométrie, une figure composée de diverses lignes droites et courbes tracées dans diffërens plans, n’offre d’abord à l’esprit qu’une image confuse et des rapports vagues entre les parties ; mais en la décomposant en figures plus simples , en comparant successivement deux à deux , trois à trois les lignes et les angles qui y entrent , on parvient à découvrir tous 1rs rapports partiels : on lie ensuite ces rapports, et de ces combinaisons successives , résulte la connoissance des diverses propriétés de la figure proposée.

y 5. Dans l’analyse infinitésimale , on prend un système fixe de quantités pour servir de terme de comparaison ; on conçoit ensuite , que ce système change par. degrés insensibles : on regarde cliacunc des quantités qui composent ce système fixe , comme la limite de sa correspondante dans le système variable , et l’on nomme infiniment petite, la différence de chaque variable à sa limite. On cherche ensuite , au moyen des conditions du problème^, des équations entre les variables, leurs limites, et leurs différences désignées sous le nom d’infiniment petites ; ori élimine ces dernières à l’aide d’une simplification accidentelle propre à ce calcul , et qui résulte de ce que ces quantités dites infiniment petites , peuvent décroître autant qu’on veut et s’évanouir simultanément par le rapprochement graduel , et finalement par la coïncidence du système variable avec le système fixe. Il reste les équations cherchées entre les variables et leurs limites ; c’est-à-dire, entre le système dont on recherche les propriétés et le système primitif pris pour terme de comparaison.

76. Enfin, la question que nous traitons ici des quantités directes et inverses, a beaucoup d’analogie avec ce que nous venons de dire de l’analyse infinitésimale : on prend également un système fixe pour servir de terme de comparaison ; on

regarde chacune des quantités qui composent celui-ci, comme la limite de sa correspondante dans le système -variable , ou le terme auquel on la rapporte constamment pendant la mutation : on prend la difTérence de deux quelconques des quantités du système proposé, et l’on compare cette différence avec celle de leurs limites respectives , en ne considérant toujours que les valeurs absolues des unes et des autres. Tant que ces variables sont en ordre direct avec leurs limites ; c’est- à-dirc , tant que la plus grande de ces deux variables correspond à la plus grande des deux limites, la différence de ces variables est dite en sens direct; mais si ces variables passent à l’ordre inverse, c’est-àdire, si celle qui correspond à la plus grande limite devient moindre que celle qui correspond à la plus petite , elle est dite en sens inverse. Alors pour trouver les propriétés du système proposé , on commence par chercher celles du système fixe pris pour servir de terme de comparaison , et lorsqu’on a trouvé les formules qui les expriment, on les approprie au système corrélatif proposé , en y substituant aux quantités qui composent ce système fixe, les valeurs de corrélation du nouveau système ; c’est à-dirc, en faisant subir aux premières, tant pour les valeurs absolues que pour les signes , les altérations qu’exige la différence de la manière d’ètre de ces deux Systèmes.

y y. Je terminerai celte première section par une observation qui me paroît très-importante. J’ai déjà dit que les règles établies pour la combinaison des signes dans les opérations algébriques , ne sont susceptibles de démonstration , que dans le cas où ces opérations sont exécutables ; que par exemple, il n’est pas possible de prouver d’une manière satisfaisante , que — aX — a — a'. Dans ce cas donc, et dans tous ceux où les opérations qui doivent avoir lieu ne portent pas sur de véritables quantités , c’est-à-dire, sur des quantités réelles et positives , ces opérations ne sont employées qoe précairement : j’ajoute même qu’elles spnt alors sujettes à exception , et que, par exemple , dans ces cas , moins multiplié par moins ne donne pas toujours plus.

En effet, soit V a-^-bX.^ a — ô, nous aurons par les règles

établies pour la combinaison des signes, Va — b. Va — è = V O* — lab+b* , équation qui doit avoir lieu , quelles que soient les valeurs de a et de 6 , tant que a sera plus grand que b ; c’est-à-dire, tant que a — b sera une véritable quantité. Si la règle étoit applicable aux quantités négatives comme aux quantités positives , la même équation subsisteroit lorsque a devirndroit moindre que éy or cela n’est pas : car en supposant, par exemple a = o, l’équationseréduiroit kV — b . V — ô=l/ + ft*= A, Or celaest faux, caron a, comme chacun sait , V —b. V — — b, et non pas = &. La règle des signes est donc dans ce cas sujette à exception.

De même, on a 3log.a = Iog.a* tant que a est une quantité effective. Si la règle étoit applicable aux quantités négatives , on auroit donc au.ssi alog. — a = log. (—a )' = log. o*. Egalant donc ces deux valeurs de log.a* , on auroit alog.a= alog. — a, ou log.a = log. — oy ce qui est faux, et c’est celte erreur qui a fait naître la dispute snr les logarithmes des quantités négatives.

Donc les règles de l’algèbre sont sujettes à exception, lorsque l’opération n’a pas lieu sur de véritables quantités ; donc il n’existe aucun moyen de démontrer à priori les règles de l’analyse, qui opère indistinctement sur les quantités positives, négatives ou imaginaires. Donc ses procédés ne peuvent être justifiés, que par la conformité de leurs résultats avec ceux de la synthèse, et par l’assurance que doit donner l’exactitude constante de ces résultats vérifiés. Voilà pourquoi les premiers Géomètres qui en ont fait usage , cherchoicnl toujours à rétablir la chaîne des vérités sensibles ou synthétiques , après avoir atteint leur objet , par la chaîne des vérités hiéroglyphiques ou analytiques.'