THÉORÈME IX

Dana tout quadrilt^lére complet , les aires des deux triangles qui ont pour sommet commun l’une des extrémités de l'une des trois diagonales , et pour bases respectives les deux autres diagonales , sont entre elles comme les aires des deux triangles qui , appuyés respectivement sur les mêmes bases, ont pour sommet commun l’autre extrémité de la première diagonale.

Cardans la proportion précédente, les triangles ,\BC, .IFG, ont pour sommet commun l’extrémité A de la diagonale AD , et pour bases respectives les deux autres diagonales BC, FO; et pareillement les triangles DBC, DFG ont respectivement les même bases , et pour sommet commun , l’autre extrémité D de la première diagonale.

‘l'I'J. Le quadrilatère complet avec ses trois diagonales que nous venons d’examiner , nous offre dans sa décomposition onze quadrilatères complets sans leurs diagonales, c’est-à-dire, onze ligures différentes formées chacune par l’assemblage de quatre droites prolongées jusqu’à leurs rencontres respectives ; car il y a en tout sept lignes droites tracées ; savoir les quatre côtés du quadrilatère ABDC et ses trois diagonales. Or ces sept droites

combinées quatre à quatre donnent

ou 00 combinai-

sons. Il y auroit donc 35 quadrilatères complets sans diagonales, si plusieurs de ces lignes ne sc croisoient trois à trois aux mêmes angles. Mais chacun de ces croisetnens diminue de quatre le nombre de ces quadrilatères. Donc puisqu’il y a six de ces croiseiuens, le nombre des quadrilatères est diminué de u4. Donc il se réduit à onze. Mais comme chacun de ces quadrilatères complets sans diagonales comprend lui-même (io3) trois quadrilatères simples, il suit que le quadrilatère complet, avec ses trois diagonales, renferme dans sa composition 33 quadrilatères simples. De plus , chacun des onze quadrilatères complets sans diagonales dont nous venons de parler, fournit quatre formules en

s84 GEOMETRIE

vertu (lu tliéorémc v , qui est celui d’où dérivent tous les autres trouvés (aaa, aa3, sai, asô) j donc il y aura 44 de ces formules qui so trouveront toutes difl'érenles les unes des autres, et toutes applicables au quadrilatère complet avec ses trois diagonales. Voici le tableau général de corrélation de ces 33 quadrilatères simples et des 44 formules qui en résultent (fig. 83, 84, 85).

Tableau général de la corrélation de construction des trentetrois quadrilatères simples qui entrent dans la composition du quadrilatère complet avec ses trois diagonales , et des quarante-quatre formules qui en résultent en vertu du théorème r.

Les quatre angles du quadrilatère primitif sont exprimés par A, B, D, C, et l’on suppose AB UC#=F, AC DB#=G, ÂÏ3 BC=#FI, AD ËG=^K, BC FG=#L.

Chaque quadrilatère a été désigné par ses quatre angles d’abord , et ensuite par les points de concours des côtés respectivement opposés deux à deux.

i" syst,

a' syst. . ",

3' syst. .

Quadrilatères.

ABDCFG AFDGBC < BFCGAD 1

FGCBLA

Formule.».

f AF.BD.GC = AC.BF.GD ) ÂG.CÏ5.FB = ÂB.CG.FD I BG.DC.FA = BA.DG.FC

!. CF.DB.GA = CA.DF.GB ÏÏ.GC.ÂB = râ.GL.ÂC

FLCAGB <

FA.BC.LG = FG.BA.LC

GLBAFC 1