BL.HK.AF
= FB.KL.AH
= ric.lM.nï
= KF.HÂ.LB = ÎBF.HL.ÂK
ûî5G
lo' sysL
ii'sysl.
Qnâdrilalcre».
Formule».
LGDHKB
LKDBGH
GKHBLD
ÎKGCHLA KLCAGH GLHAKC
LK.GD.BÏÏ = LÎJ.GK.BD LB.HD.KG = LG.ÏÎB.KD GB.DH.KÊ = GL.DB.ÎŒ IIK.DG.BL = ÏÎL.DK.BG
iÔ^.GC.ÂÏÏ = KÏÏ.GL.ÂC O^.ÏÏC.LG = KG.HÂ.LC GÂ.CH.LÎC = GK.CÂ.LÏÏ ÏÏL.CG.ÂK = HK.CL.ÂG
Ces formules sont applicables sans ancnn changement de signes à tout quadrilatère complet ayant ses trois diagonales; quelle que soit d’ailleurs sa forme ; parce que toutes ces formules sont à deux termes seulement (47).
228. Nous résumerons les théorèmes (v, vi, vu, vin, ix) par la proposition suivante.
Soient A, B, C, D, (fig. 83, 84, 85) quatre points pris à volonté dans un même plan , et tel qu’il ne s’en trouve pas trois en ligne droite. Supposons
ÂB CD =f= F ÂD FG =4=. K ÂC BD=l=iG BC ' FG 4= L •
ÂD BC 4= H
On aura les cinq formules suivantes (ao8, an, 21a, ai3, ai4).
I"* ÂF.BD.GC = ÂC.BF.GD
a* BÂ.BD ; CÂ.CÎ5:: BF.BG.CF.CG
3' ÂB.FK.GC = ÂC.FÏÏ.GK
4* ÂH:Ï5h::ÂK:DK
5' ABC : AFG : : DBG : DTC
22Ç. Je reprends la théorie des figures coupées par des transversales dans divers sens. Soit (fig. 86) un triangle quelconque ABC; d’un point D prisa volonté dans le plan de ce triangle, soit sur l’aire même, soit en dehors; menons aux angles A, B,C, les trois transversales ADa , BDA, CDc; puis par les points ù , c menons la transversale Acp. Cette droite, avec les six prôccdeiites, formera le quadrilatère complet avec ses trois diagonales, tel que celui de la fig. 7 2. Ajoutons maintenant àcette figure les deux nouvelles droites acm : il en résultera un triangle aôc , inscrit dans un autre ABC, et ayant ses angles a, b, c, aux points d’intersection des côtés de l’autre avec les transversales menées du point D aux angles de ce dernier. Cela posé, nous avons (aa3) dans le triangle ABC
Ac.Ba.C6 = A6.Bc.Ca mais d’un autre côté , nous avons aussi (as4)
Be.A« = Ac.Bn Ab. Cm — Cb.Am Ca.Bp = Ba.Cp
Multipliant ces quatre équations toutes ensemble, nous aurons
Am.Bn.Cp = A/i.B/>.Cm (A)
De môme, en marquant par a, b\ c' les points d’intersection des côtés cb,ca,ab , par les transversales , Aa , B6, Ce respectivement, le triangle abc donne (223)
ae .ba' .cb' = ab' .bd .ca et d’un autre côté , nous avons (224)
bp .ca! — c.p .ba!
cm.ab' = am.cb' an.be ~ bn.ac
multipliant ces quatre équations toutes ensemble, nous aurons
an. bp. cm — am-bn.cp (B)
Les deux équations (.4) et (B) peuvent être ainsi traduites.
TUÉOnâMB X.
iZo, St par un point (D) pris à volonté dans le plan d’un triangle (ABC) ( fig. 86), on mène à chacun des angles, une transversale prolongée jusqu’au côté opposé , et si ayant joint deux à deux ces points d’intersection pour former un triangle (abc) inscrit au premier, on prolonge chacun des côtés de ce triangle inscrit jusqu’à la rencontre' du côté opposé du triangle circonscrit ienm,n,p).
s°. Ces trois points d’intersection formeront sur les côtés du triangle circonscrit , six segmens, deux sur chacun. Or de ces six segmens, le produit de trois comme facteurs , sera égal au produit des trois autres , en les prenant de manière que dans chaque produit, il n’en entre jamais deux qui aient une extrémité commune.
a“. Ces mêmes points d’ intersection formeront également sur les côtés du triangle inscrit six segmens , deux sur chacun. Or de ces six segmens , le produit de trois comme facteurs sera égal au produit des trois autres , en les prenant de manière que dans chaque produit, il n’en entre jamais deux, qui aient une extrémité commune.
sSl. Maintenanlje suppose (fig. 87) les points a, 6, c, pris à volonté sur les cotés du triangle ABC, ou leurs prolongemens , et non coninie ou Ta supposé précédeininent, aux points d’intersection des côtés de ce triangle ABC avec des transversales partant d’un point commun D. Cela posé!
liC triangle ABC coupé successivement par les trois côtés ab ^ bc , ca , du triangle inscrit comme transversales , donne
An.Bo.Cô = Aô .Bn.Ca Aé.Bc.Cp = Ac .Bp.Cô Ac.Ba.C/ra = Am.Bc.Ca
Multipliant ces trois proportions toutes ensemble et de toutes
les
les manières, soit directement, soit en croix, et réduisant, on a
B a .An.Cm.Cp = Ca .A/n.Bn.B/j.
Ab .Bn ,Cp .Cm = Cb .Bp .An.Arn
Ac .Cm.Bn.Bp = Bc .Cp .Am.An
Beaucoup d’autres combinaisons du même genre peuvent être faites au moyen des formules données (as8).
“iSl» Mais on peut généraliser encore cette théorie en cessant de prendre les points a, b,c, sur les côtés même du triangle ABC. En effet :
Soient ABC, abc, (fig. 88) deux triangles quelconques tracés dans u^ même plan , et prolongeons les côtés de ces triangles jusqu’à ce qu’ils sc rencontrent tous respectivement, aux points m, n,p , sur BC, m', p' sur AC , m', n’^p" sur AB. Cela posé , Le triangle aôe, coupé successivement par les trois côtés BC, AC, AB de l’autre , comme transversales, donnera (ai g)
am.bp.cn ~ an .b m .cp am' .bp' ,c n ~ an .bm'.cp' am" .bp“ .en" = ar^'. bm'.cp"
Multipliant ces trois équations , nous aurons
a m.ani .am" X bp. bp' , bp" x. cn.cn .en’
= an. an .an" X bm . hm .bm" X cp.cp' . cp" formule qu’on peut traduire comme il suit,
