THÉORÈME XI
253. Si deux triangles guelconçues oibe, ABC, (fig. 88) tracés dans un même plan, et leurs côtés prolongés jusqu'à leurs rencontres respectives ,• qu’ ensuite on fasse
i“. Le produit des trois segmens interceptés sur ab entre le point a et les trois côtés du triangle ABC ;
n;,o GEOMETRIE
2°. Le produit des trois segmens interceptés sur bc entre le point b et les trois côtés du même triangle ABC ;
5". Le produit des trois segmens interceptés sur ca entre le point c et les trois côtés du même triangle ABC.
Le produit de ces neuf facteurs sera égal au produit de ces neuf autres facteurs.
1®. Le produit des trois segmens interceptés sur ac entre le point a et les trois côtés du triangle ABC ;
a". Le produit des trais segmens interceptés sur cb entre le pointe et les trois côtés du même triangle ABC;
5“. Le produit des trois segmens interceptés sur b a entre le point b et les trois côtés du même triangle ABC.
Celte proposition devant avoir lieu quelque part que soient pris a, b , c , dans le plan du triangle A, B, C, soit au -dedans, .soit au-deborsde l’aire de ce triangle, doit être réciproque entre les deux triangles, abc, ABC; c’est-à-dire, que nous avons aussi l'équation
Am' .An ,Ap' X Crn.Cn.Cp X Hm" .Bn" .\ip‘
= Am’ .An" .Ap" X Bm.Bn.Bp X Cm’ ,Cn' ‘Cp' ,
9.54. s i au lieu du triangle ABC, nous supposons un polygone d’un plus grand nombre de cotés tous coupés par les trois côtes prolongés du triangle aôc, le principe énoncé par le théorème sera encore applicable. Car en comparant successivement ce triangle aôc à chacun des côtés du nouveau polygone comme transversale, nous aurons autant d’équations pareilles aux trois premières trouvées (aSa) qu’il y a de côtés dans ce nouveau polygone; et multipliant toutes ces équations ensemble, nous aurons une formule semblable à la quatrième, mais dont chacun des termes aura trois fois autant de facteurs, qu’il y a de côtés dans ce nouveau polygone; ce qu’on peut exprimer par la proposition suivante.
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TU^onSME XIE
Si dans un même plan , ajant tracé un triangle abc , et un autre polygone , on prolonge indéfiniment les côtés de l’un et de l’autre jusqu’à leurs rencontres respectives , et qu’on fasse 1°. Le produit de tous les segmens interceptés sur ab entre le peint a, et chacun des côtés du polygone ,•
2°. Le produit de tous les segmens interceptés sur bc entre le point b , et chacun des côtés du polygone ;
3®. Le produit de tous les segmens interceptés sur ca entre le point c, et chacun des côtés du polygone ;
Et qu’ensuitc on multiplie ensemble ces trois produits particuliers pour avoir un produit général. Ce produit général sera égal à celui qui résultera des trois autres produits particuliers suivons.
1®. Le produit de tous les segmens interceptés sur ac entre le point a , et chacun des côtés du polygone ;
a”. Le produit de tous les segmens interceptés sur cb entre le point c , et chacun des côtés du polygone ;
3®. Le produit de tous les segmens interceptés sur b a entre le point b , et chacun des côtés du polygone.
Si le nombre des côtés du polygone devient infini, c’est-à-dire une courbe, le principe sera encore applicable, et nous pourrons l’énoncer comme il suit.
TUÉORâME XII I.
l35. Un triangle quelconque abc étant tracé dans le plan d’une courbe quelconque géométrique , et ses côtés indéfiniment prolongés. Si l’on fait les trois produits suivons ,• savoir ,
i®. Le produit de tous les segmens interceptés sur ab entre le point a, et les différentes branches de la courbe ;
a®. Le produit de tous les segmens interceptés sur bc entre le point h, et les différentes branches de la courbe ;
aga GEOMETRIE
3°. Le produit de tous les segmens interceptés sur ca , entre le point c , et les dijfércnles branches de la courbe }
Qu^ensuite on multiplie ensemble ces trois produits particuliers pour avoir un produit général. Ce produit général sera égal à celui qui résultera des trois produits particuliers suivons.
1°. Le produit de tous les segmens interceptés sur ac entre le point a , et les différentes branches de la courbe ,•
3°. Le produit de tous les segmens interceptés sur cb entre le point c, et les différentes branches de la courbe s
5°. Le produit de tous les segmens interceptés sur ba entre le point b , et les différentes branches de la courbe.
En effet , soit (fig. 8g) mm'n une courbe quelconque géométrique, et abc un triangle tracé dans le plan de celle courbe que l’on suppose coupée par chacun des cùlés de ce triangle prolongé au besoin.
Par chacun des points d’intersection de cette courbe avec les côtés du triangle, imaginons une tangente indéfinie, soit mp celle de ces tangentes passant par le point mcln, p , les points d’intersection de cette tangente avec les côtés ab ac.be ^ en consh dérant le triangle proposé abc comme coupé par la transversale mp , nous aurons
— - — am an cp
am.cn. bp = bm.an.cp , ou = —
bm en bp
Considérons de meme successivement toutes les tangentes dont nous avons parlé comme transversales par rapport au niè ne triangle abc , nous aurons autant d’équations du même genre que la précédente qu’il y aura de points de contingence. Multipliant donc ensemble toutes ces équations, la formule résultanleaurapour premier raembreunefracliondont le numérateur sera le premier produit général mentionné dans le tliéolêine énoncé, et dont le dénominateur sera le second de ces produits généraux. Il s’agit donc de prouver que celle fraction est égale .à i ; ou ce qui revient au mêuic, il s’agit de prouver que le numérateur et le dénominateur de la fraction qui forme
le second membre de la formule sont égaux. Mais c’est précisément ce qu’exprime le théorème xiii démontré (a3.'>), puisque les segniens du numérateur composent le premier produit général mentionné dans ce théorème, et ceux du dénominateur, le second.
256. Supposons , par exemple , que la courbe soit une section conique (fig. 89 bis). Chacun des côtés du triangle coupera celte courbe en deux points ; ainsi nous aurons en tout douze segmens interceptés entre les points a, ô, c, et les briinches de la courbe. Et supposant que les six points d’intersection soint/n, 7h', n, n\p, p', la formule deviendra
am.am .bp. bp' -cn.cn' = an-an' .cp.cp'.bm.bm'
Les points a, b, c sont prisa volonté, soit au-dedans , soit audehors de la courbe, et par conséquent les transversales mm', nn, pp', peuvent être dirigées comme l’on voudra, pourvu qu’elles rencontrent toujours toutes trois la courbe.
2.5y. Supposons qu’elles lui deviennent tangentes (fig. 90). Soit donc abc le triangle, et A, B, C, les points de contingence; les deux points m , m' de la ligure précédente coïncideront donc avec le point C, les deux points n, n’, avec le point B, et les deux points p, p', avec le point A, et la formule deviendra . . .
oC .ÔA .cB = oB .cA .ôC , ou en tirant la racine quarrée,
aC.bA. cB = oB . cA . ÔC ; propriété bien remarquable des sections coniques.
a58. Traçons les trois transversales aA, ôB, cD, des points où se coupent deux à deux les tangentes, au point de contingence de la troisième. Il suit (aa5) de l’équation précédente , que ces trois transversales coïncideront en un même point D, autre propriété également curieuse.
2.5 (). Enfin, si l’on joint deux à deux les points de contingence A, B, C, pour avoir le triangle inscrit ABC, et qu’on prolonge les côtés de ce nouveau triangle jusqu’à la rencontre
ag4 GEOMETRIE
des côtés du premier, il en naStra une figure pareille à la figure
qui a été considérée (916), et par-là on appliquera aux com bes
du second degré en général , les nombreuses propriétés que nous
avons vu être propres à un système de transversales ainsi
disposées.
s4o. Si le point a s’éloigne à une distance infinie (fig. 91) , les côtés ab, ac deviendront parallèles, les segmens am,am', an, an deviendront infinis , et leur dernière raison sera une raison d’égalité. Donc la formule trouvée (a.SG) deviendra
bp.bp . cn.cn' = cp.cp' .bm.bm', d’où l’on tire cctlc proportion
bm.bm' : cn.cn' bp.bp’ : cp.cp'', c’est-à-dire que les produits des appliquées bm, bm' correspondantes aux abscisses pb.p'b est au produit des appliquées en , en' correspondantes aux abscisses pc,p'c, comme le produit des premières abscisses est au produit des dernières. Ce qui est une propriété bien connue des sections coniques.
Cette même démonstration étant applicable à toutes les courbes au moyen du théorème xiii , on peut en conclure que si ayant mené dans une courbe quelconque géométrique un axe qui la coupe en plusieurs points, on mène aussi plusieurs appliquées parallèles entre elles, et faisant un angle quelconque avec la ligne des abscisses, les produits des segmens interceptés par la courbe sur la ligne des abscisses à différens points de l’ax« sont entre eux comme les produits des appliquées correspondantes, propriété donnée par Newton dans son énumération des lignes du troisième ordre , et qui est l’une des plus fécondes de la théorie des courbes.
Mais mon objet n’est pas de rechercher dans cette section les propriétés des courbes , j’ai seulement voulu montrer jusqu’où pouvoit être poussée la théorie des transversales. Je renvoie donc pour plus grands détails , à la section vi , et je reviens à la théorie d’un système quelconque de lignes droites.
La propridié que nous avons vu («ag) appartenir au triangle coupc par une transversale quelconque, est applicable aux autres polygones, quel que soit le nombre de leurs côtés; et nous verrons bientôt qu’elle a également lien pour les polygones gniichcs , en les rapportant à un plan transversal , au lieu de les rapporter à une ligne droite. Nous établirons donc d’abord la proposition suivante.
