G E O M E T RIE

En efifet, soit ABCDE (fig. 99) le polygone proposé, et MN la transversale quelconque menée dans le plan de ce polygone. D’un de scs angles comme B , menons des diagonales à tous ceux £, D, qui ne lui sont pas d^à joints par les côtes même du polygone. Prolongeons tous ces côtés et ces diagonales jusqu’à la rencontre de la transversale en /, g, p, h, k, r, s. Cela posé, considérons successivement les triangles BAE, BED, BDC

coupés par la transversale MN. En vertu du théorème (219) nous aurons

Âj.Ëk.Br = B7.ÂT.Ër Ë7.Bs.Ï5Â = Br.D^.ËA

Ds.Bg'.C/» = Bs.Cg’.Dp

Multipliant toutes ces équationslcs unes parles autres, et réduisant, on a, Ay.Bg'.C/j.D^.E^ = AA.By.Cg.Dj3.Egv ce qu’il falloit démontrer.

24î. Maintenant, il nous est facile de voir que la mémo démonstration peut s’appliquer au cas où le polygone scroit gauche et coupé par un plan transversal quelconque.

Car en considérant alors la figure que nous venons d’examiner, comme une projection de la nouvelle sur un plan perpendiculaire au plan transversal proposé, ce plan transversal sera

représenté par MN, et lés droites Af, Df, Bg, Cg, &c. seront les projections des segmens que nous avons à considérer ; donc en nommant A',/', D', B', g', C', &c. les véritables points qui se trouvent projetés en A,y, D, B, g, C, &c., et par conséquent

A'f, D'/', B g', &c. les véritables segmens, nous avons à prouver l’équation suivante

Or en appliquant le théorème v (219) successivement aux triangles B'A'E' coupé par la transversale y V', B'E'D' coupé par la

transversale

traasversale s'r', B'C'D' coupe par la transversale gp', nous trouvons les trois équations suivantes,

Â/'.ËT.Bÿ = B/'.ÂT'.ËV ËV.BV.ÏÿÂ^ = BV.DV.ËT'

Dv.BV.cÿ =Ev.ôJ'.Dÿ

lesquelles multipliées toutes ensemble, donnent l’équation cidessus qu’il falloit démontrer.

La même démonstration étant visiblement applicable , quel que soit le nombre des côtés du polygone , nous pouvons en conclure la proposition suivante.

THÉoaÊMB XV.

Si un polygone quelconque , plan ou gauche , est coupé par un plan transversal quelconque , le produit de la moitié des segmens comme facteurs , formés deux à deux sur chacun des côtés de ce polygone entre ce plan transversal et chacun des angles qui terminent ce côté, sera égal au produit de tous les autres segmens comme facteurs , en les prenant de manière que dans chacun de ces produits , il n’y en ait jamais deux qui ayent pour extrémités un même angle du polygone^ ou un même point du plan transversal.

24.9. Pareillement , nous pouvons étendre le théorème xil à tous les polygones tracés dans un plan ,’ comme il suit