THÉORÈME XVI

Soit (fig. g3) un système quelconque de lignes droites indéfinies AB, BC, CD, &c. tracées dans un même plan et formant un polygone. Formons dans ce même plan un autre polygone quelconque a.hcAe, et prolongeons ses côtés indéfiniment : désignons par (a'b') le produit des segmens interceptés sarab entre le

point a et les différentes lignes AB, BC, &Lc. prolongées du sys-

•j{)8 GEOMETRIE

téme j par (b'a') le produit des segmens interceptés sur la même

droite entre le point b et les droites AB, BC, &c. ; désignons pareille ment par (b'c')c<(c'b') les produits des segmens de la droite

bc, interceptés respectivement entre les points b, c, les droites AB, BC, &Cc.par (cd') et (d'c') les produits des segmens de la

droite cd interceptés à partir des points c, d, respectivement, &c. Cela posé , on aura la formule suivante (a'b') . (b'c') . (c'd'), &c. = (bV).(cb').(dV), &c.

En clTet, si l’on mène la diagonale ac, cl qu’adoptant la même notation que ci-dessus on désigne par (a'c') et (c'a'), les produits des segmens interceptés sur ac à partir des points a, c, respectivement par les droites AB, BC, &C. on aura par le théorème xii, {a'b') {b'c) {c'a') — [a'c) {c'b') {b'a'). Pareillement en menant la diagonale af/, on aura, suivanlla même notation {a'c) {cd!) {d'a') —{ad') {d'c) {c'a), et enfin, {a'd!) {d'e') {e'a') = {a'e') {e'ef) {d'a').

Multipliant ensemble ces trois équations, et réduisant, on a {a'b') {b c) {c'd) {d'e') {e'a') {a'e') {e'd!) {d'c') {c'b') {b'a')-,

ce qu’il falloil démontrer ; et il est évident que la même démonstration a lien quel que soit le nombre des côtés du polygone proposé oêccfc, et celui des transversales AB, BC, CD, &c.

244, II est également clair que la même démonstration s’appliqueroit au cas où les points a, b,c,d, e, ne seroient pas

dans un même plan ; en regardant alors AB, BC, CD, ôfc. non comme des lignes droites , mais comme des plans. C’est-à-dire qu’en général nous pouvons établir la proposition suivante.