THÉORÈME XVII

Soit un polyèdre quelconque ; formons dans l’espace' un polygone quelconque plan ou gauche , et prolongeons les côtés de ce polygone jusqu’à la rencontre des faces du polyèdre , supposons que a, b , c, d , &c. soient les sommets des angles de ce poly-

gone , et repre'itenlons par (fi'b') le produit de tous les segmens interceptés sur ab à partir du point a par les faces du polyèdre , par (b'a') le produit des segmens interceptés sur la même droite à partir dupointh} ainsi desautres.On aura (a'b') (b'c) (c'cf),&c. = (b'a -) (c'b') idc) &c.

2 45. Il résulte de toute cette théorie sur les quantités linéaires, considérées seules et sans l’intervention des quantités angulaires, que toutes les fois qu’une ligure peut être construite avec la règle et le compas seuls, sans qu’il soit besoin du cercle gradué, il sera possible de trouver l’expression analytique de toutes les lignes qui entreront dans la composition du système, en valeurs des quantités données , sans faire intervenir dans le calcul les quantités linéo-angulaircs ; car en menant toutes les diagonales de cette hgure , on en formera une chaîne de triangles coupés en dilférens sens par des transversales. Or la théorie précédente donne le moyen d’exprimer les rapports existans entre toutes les lignes et segmens de lignes qui entrent dans un pareil assemblage.

246. Cette même théorie des transversales s’étend aux triangles sphériques et autres polygones formés sur la surface de la sphère, par des arcade grands cercles, eu substituant aux droites dont nous avons parlé, les sinus des arcs correspondans.

En effet, soit (fig. g4) un triangle sphérique AFG coupé par

l’arc de grand cercle CBL. Les trois triangles ABC , FLB, GLC, qui ont leurs sommets respectifs aux angles A, F, G, du triangle proposé et leurs bases opposées sur l’arc transversal donnent sin. AB : gin. AC : : sin. ACB • sin. ABC

sin. FL : sin. BF : ; sin. ABC : sin. BLG

sin. CG : sin. GL :: sin. BLG : sin. ACB.

Multipliant ces trois proportions; les deux derniers termes

deviennent égaux : donc on a

sin. AB. sin. FL. sin. GC = sin. AC.sin. FB.sin. GL formule qui répond au théorème v (a 19).

.-ÎOO GEOMETRIE

2 4 y. Par la uiêoie raison, en prenant ABC pour le triangle à considérer, et fÎG pour arc transversal , nous aurons sin. ÂG.sin. BF.sin. CL = sin. AF.sin. BL.sin. CG. Multipliant cette équation par la précédente, et réduisant, on aura

sin.ABsin.AG.sin.LC.sin.LF = sin.AC.sin.AF.sin.LB.sin.LG, formule qui répond au théorème vi (aaâ).

248. Menons les deux arcs de grand cercle BG, CI'; par le point D où ils se croisent , et par le sommet A , menons l’arc

AHI)K. Appliquons maintenant aux deux triangles AFK, AG K. formes par cette dernière transversale , et coupes respectivement par les deux autres GDB, FDC , le principe que nous venons de trouver : nous aurons ces deux équations : sin. AB .sin. DK. sin. FG = sin. AD. sin. BF.sin. KG sin. AD.sin. GC.sin. FK = sin. DK. sin. AC. sin. FG.

Multipliant ces deux équations, et réduisant, on a

sin. AB. sin. GC.sin. KF = sin. AC. sin. KG .sin. BF, formule qui répond au théorème vu (230).

24g. Enfin en appliquant le principe trouvé dans l’article précédent au triangle ADG , ayant pour sommets de deux de scs angles, deux de ceux du triangle proposé AFG, et le troisième au point D où se croisent les trois transversales, on aura sin. AC. sin. BG .sin. DK = sin. AK. sin. BD. sin. CG.

De plus, comparant ce même triangle à sa transversale LB C , on aura , sin. AM. sin. BD. sin. CG = sin. AC. sin. BG. sin. DH. Multipliant ces deux équations, on a

sin. AH. sin. DK = sin. AK. sin. DH, formule qui répond au théorème viii (aa-i).

On voit ce qu’il y auroil k dire sur l’application des antres théorèmes donnés concernant les polygones rectilignes, à ceux

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DEPOSITION. 5oi

qui sont composés d’arcs quelconques de grands cercles tracts sur la sphère.

Nous reviendrons sur ce sujet dans la section suivante.

THÉOnâME XVII I.

l5o. Si d’un point quelconque on mène des droites ou rayons à tous les angles d’un polygone proposé , chacun des angles de ce polygone se trouvera coupé par le rayon correspondant en deux autres angles ; de sorte que le nombre de ces nouveaux angles sera double du nombre des angles du polygone. Cela posé , le produit des sinus de la moitié de ces nouveaux angles comme facteurs , est égal au produit des sinus de tous les autres , en les prenant de manière qu’il n’en entre jamais dans le même produit, deux qui aient le même sommet.

Soit ABCDF le polygone proposé (fig. 9,5), Ole point ou foyer d’où partent tous les rayons. Il faut donc démontrer qu’on ' aura

sin. ABG.sin. BCG .sin. CDG.sin. DKG.sin. EFG.sin. FAG = sin. CBG.sin. DCG.sin. EüG.sin. FEG.sin. AFG.sin. BAG.

Or les triangles ABG, BCG, CDG, &c. donnent

; sin. ABG :

sin. BAG