CG

; DG

: sin. CDG :

sin. DCG

Multipliant ensemble toutes ces proportions , les deux premiers termes seront identiques , donc les deux autres seront égaux ; ce qu’il falloit prouver.

La même démonstration a lieu évidemment lorsque ce foyer est pris iiors du plan du polygone , et lorsque ce polygone est gauche. Ainsi, par exemple, dans une pyramide triangulaire, des six angles formés par les trois arêtes parlant du sommet avec les côtés de la base , le produit des sinus de trois est égal au produit des sinus des trois autres, en prenant ces angles alternativement.

261. Tüule la trigonométrie se ramène facilement à un seul et môme principe, celui de la proportionnalité des côtés dans un triangle quelconque, avec les sinus des angles opposés. Car d’abord ce principe résout immédiatement tous les cas , excepté deux; celui où les trois côtés étant donnés, on demande l’un des angles, et celui où deux côtés et l’angle compris étant donnés, on demande le reste. Or ces deux cas se ramènent facilement aux autres. En effet, soit ABC (iig. g) le triangle à résoudre; du point

A, soit menée une perpendiculaire AD sur le côté opposé BC le principe de la proportionnalité des côtés avec les sinus des angles opposés appliqué au triangle rectangle ABD , donne

BD:ÂB:: sin.BAD : 1, ou BD =ÂB.sin.BAD;

/\ /\ mais l’angle B AD est complément de ABC; donc

BD = ÂB.cos.ABC.

Par la meme raison , on a CD = AC cos. ACD

ajoutant ces deux équations, on a BD + CD, ou

BC = AB.cos. ABC + AC.cos. ACB.

Une semblable équation devant avoir lieu pour chacun des deux

autres côtés AB, AC, il est clair que si l’on nomme A, B, C, les trois angles du triangle proposé, a , ô, c, les côtés respectivement opposés à CCS angles; on aura les trois équations suivantes,

a = ô.cos. C-l-c.cos. B 1 b ~ a.cos. C + c.cos. A > (A)

c = o.cos. B + ô.cos A )

Multipliant la première de ces équations par a , la seconde par b, là troisième par e,- puis retranchant la première de ces équations ainsi transformées de la somme des deux autres, et réduisant, on aurai* +c‘ — a'= aie. cos. A. Equation qui résout les deux cas qui échappoient à l’application immédiate du principe de la proportionnalité des côtés avec les sinus des angles opposés, mais qui s’en déduisent aisément, comme qn vient de le voir.

iSl. Les trois équations (A) trouvées ci-dessus nous apprennent que dans tout triangle, chacun des côtés est égal à la somme des deux autres, multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec le premier.

De ce principe seul on pourroit réciproquement tirer celui de la proportionnalité des côtés avec les sinus des angles opposés, et par conséquent toute la trigonométrie ; car nous venons d’en tirer l’équation ô'-t-c* — o* = sôc. cos. A. Mettant dans celle-ci pour cos. A sa valeur t/ 1 — sin. A*, et tirant ensuite la valeur de

sin. A, onaurasin. A = — aa'b'-tr'îa'c'+üb'c’ — fl oc

Représentons, pour abréger, la quantité radicale par K, nous aurons donc sin. A =

abc

par la même raison sin. B =

sac

et sin.C =

équations qui divisées les unes par les autres, donnent le principe de la proportionnalité des côtés avec les sinus des angles opposés.