On déduit avec la meme facilité de ce principe, celui

qui sert de base à la théorie des quantités linéo-angulaires. Ce

dernier consiste, comme on le sait, en ce que B et C étant deux

angles quelconques, on a

sin. (B + C) = sin . B cos. C -1- sin . C . cos. B.

Or, puisqu’on a, comme on l’a trouvé ci-dc.ssus, a = b cos. c+

c cos. B ; que de plus , par la proportionnalité des côtés avec les

, , , , sin. B sin.C

sinus des angles opposés, nous avons b — a , c = a — — r-,

sin. A sin. A

on aura, en substituant ces valeurs de ô et c dans l’équation précédente, et réduisant sin. A = sin. B. cos. C + sin.C. eus. B. Mais puisque dans tout triangle la somme des trois angles vaut deux droits, l’angle AestsupplémentdeB.-fCj donc sin.A=sin.(B-l-C)j

3oi GEOMETRIE

donc l’équation devient sin.(B+C) = sin.B.cos,C4-sIn.C.cos.B ;

ce qu’il falloit prouver.

Celle formule devant avoir lieu , quelque valeur qu’on attribue R B et à C, nous pouvons mettre à la place de l’un d’eux B, par exemple, son complément « — B, en nommant -» le quart de circonférence ; et alors celte formule devient cos. (B — C) = cos. B.cos. C+sin. B sin.C. Ces deux formules donnent le sinus de la somme et le cosinus de leur différence. En y supposante négatif, on trouve celles qui donnent le sinus de la différence, et le cosinus de la somme.

Mais ce principe que chacun des cotés est égal à la somme des autres, multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec le premier, ne s’applique pas seulement au triangle; il a lieu pour tous les polygones, soit plans, soit gauches, et même pour tous les polyèdres , et on peut le regarder comme le principe fondamental de toute leur théorie. Nous établirons donc d’abord celle proposition importante.

T H É O R K M n XIX.

254. l'. Dans tout polygone plan ou gauche , chacun des côtes est égal à la somme de tous les autres , multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec le premier.

2®. Dans tout polyèdre , chacune des faces est égale à la somme de toutes les autres multipliées chacune parle cosinus de l’angle qu’elle forme avec la première.

En effet , prenons pour système primitif un polygone ACDEGB (fig. 96), tel qu’en prenant l’un des côtés AB pour base , et abaissant de tous les autres angles C , U , F , G , des perpendiculaires Ce, Dd, Vf, Gg, sur celte base, toutes ces perpendiculaires tombent entre le point A et le point B ; je dis que

cette base AB sera égale à la somme des côtés AC , CD , DF , FG , GB , multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec cette même base AB , en les prolongeant, ainsi que la base, jusqu’à ce qu’elle soit coupée par eux tous.

DE POSITION. 3o5

Eu cfTct, on a évidemment AB = Ac-fcrf+c^V/^'+g-H.

Or le triangle CAc donne Ac = AC.cos. CAc.

Pareillement, en prolongeant CD jusqu’au point m de la base AB, on a, à cause des triangles semblables, tnCc , mDd,

cd=CD Or il est clair que =cos. C/wc. Donc

MC mC

crf = CD.cos. Cotc.

Le môme raisonnement ayant visiblement lieu pour tous les t

autres côtés DF, FG, GB , la proposition avancée, s’ensuit . nécessairement , pour le cas considéré , où toutes les perpendiculaires menées des angles sur la base AB, tombent entre les points A et B, quel que soit le nombre des côtés du polygone.

Concevons maintenant que ce système primitif vienne à se transformer d’une manière quelconque par degrés insensibles; tous les nouveaux polygones qui en résulteront seront autant de systèmes corrélatifs; et pour leur rendre immédiatement applicable la proposition que nous venons d’établir sur le système primitif, il sufTit de substituer à chacun des côtés et des angles dont il s’agit, sa valeur de corrélation.

Supposons donc que ACDFGB (Cg. 97) représente le système •

transformé, nous avons à comparer cette ligure avec la première; mais il est clair que cette transformation a pu s’opérer, sans qu’aucune des qu.antités dont il s’agit ait passé ni par o ni par CO , seulement les angles et les côtés qui sont les seules quan- ^ tités considérées dans la proposition, auront pu s’agrandir ou diminuer dans la mutation , mais non jusqu’à o ou à » : donc la proposition «st immédiatement applicable a tous les s)^stèmcs corrélatifs possibles , soit que tous les pointsA,C, D,F,G,B, restent ou non dans un même plan; donc la première partie de la proposition est vraie généralement; c’cst-à-diie, que le polygone soit plan ou gauche.

Pour démontrer la seconde partie, on se souviendra que la projection d’une surface plane sur une base avec laquelle elle

3o6 GEOMETRIE

fait un angle quelconque, est égale à cette surface multipliée par le cosinus de l’ungle d’inclinaison. Si donc dans un polyèdre quelconque on prend l’une des faces pour base; que de tous les angles de ce polyèdre on mène sur celle base des perpendiculaires, cl que CCS perpendiculaires tombent toutes sur l’uire de celle niéine base, il est clair'qu’elle sera égale à la somme des projeclioiis de toutes les autres faces ; donc chacune de ces projrctions partielles étant égale à la face correspondante, irtultiplicc par le cosinus de l’angle d’inclinaison, la ftice prise pour base sera égale à la somme de toutes les autres multipliées chacune par le cosinus de l’angle qu’elle forme avec cette base. Donc la propo.silion est démonlrce pour le cas où toutes les perpendiculaires abaissées des angles sur la base tombent elfcctiveijienl sur l’aire de celte base.

Supposons maintenant que ce système primitif se transforme d’une manière quelconque par degrés insensibles; tous les nouveaux polyèdres qui en résulteront seront des systèmes corrélatifs; soit que les perpendiculaires abaissées des angles sur la base continuent ou non à tomber sur l’aire même de celle base. Donc la proposition est vraie généralement pour les polyèdres, comme elle l’est pour les polygones (i).

(i) Cette partie de mon ouvrage éloit à l’iniprcMion , loraijne i’appris qu’il exisloit depuis lung-lemps, sur le même sujet, iiii Mémoire manuscrit de Simon Libiiilirr de Genève. Ce Mémoire , déposé au secrélarial de l’Instilut ualional , contiriil en effet te principe rundanieiilal énoncé ci-dessus , ain.si que diverses conséquences importintes que l'aulcnr en a déduites avec sa sagacité ordinaire. }l est de la iiaturedes vérités mathématiques d’etre souvent découvertes à peuprés en même temps, par différens moyens et par différentes personnes', et je ne puis qu’être flatté de m’être rencontré avec te cit. Lliujlier, justement célébré par un grand nombre d’cxccllciis ouvrages. Celui que je viens de citer est en quelque sorte la suite d’un autre, que le même auteur publia en 178g tous le nom de l’olygonomélrie. Plusieurs .Savans a’cloiciit déjà occupés de la Telragonoméliie rectiligne, ou Cilcol du quadrilatère. Le célèbre Lambert s'étoit atlacbé à en raire sentir l’importance , et en avoit donné le plan. Ce plan fut exécuté par Biorsen , bahite niatbcmaticicn danois. Mayer, à Gottinguc, a’tn occupa aussi avec succès ; et Lcxell approromlit cc même sujet, dans deux

DEPOSITION. 5o7

265. On peut évicleninient regarder le point qui forme sommet de chacun des angles d’un polygone comiur un côté infiniment petit. Un pentagone, par exemple, peut ôtre considéré comme on hexagone, dont Tun des côtés serait infiniment petit. On peut de plus attribuer à ce côté infiniment petit une direction quelconque ; et comme les angles , que d’après les notions données (87 et suiv.) formera cette direction avec tous les autres côtés du polygone, sont les mêmes que ceux que formerait avec ces mêmes côtés toute autre droite parallèle à la première, on pourra conclure la proposition suivante.

THÉORÊUn XX.

La somme des côtés d’un polygone quelconque , soit plan, soit gauche, multipliés chacun par le cosinus de l’angle que forme sa direction prise dans le sens du périmètre avec une droite quelconque tracée dans l’espace et dans un sens donné , est égale à zéro.

266. Pareillement on peut regarder chacun des sommets des angles solides du polyèdre, comme une face infiniment petite, et de plus, lui attribuer une direction quelconque. Donc la proposition énoncée (aâé) fuit voir que pour ce cas, la somme

excellenlei dissertations que t’on trouve dans les dix-nOnvième et vingtième volumes des Mémoires de l’Académie do Pétersbourg.

L’objet que je me suis proposé ici , est tout difTcrent de celui qu’ont on ces illustres Géomètres. II ne consiste pas à donner, comme eux, la résolution des polygones dans chaque cas particulier; 1a seule énumération de ces montre , comme je t’ai déjà observé, qu’il est presque impossible d’entrer danb ' ces détails , dès que le polygone surpasse le quadrilatère , et même pour le quadrilatère complet , avec ses trois diagonales indéfiniment prolongées. Mon but a donc été de suppléer à ces mêmes détails , tant pour les polygones rectilignes que pour les polygones sphériques et pour les polyèdres, par la Turmation d’un tableau général, tel que celui que j’ai donné (i46 et suiv.) pour la trigonométrie ordinaire. Je n’ai fait, au surplus, qu’indiquer ici cette formation , mes autres occupations ne me permettant pas, quant à présent, do l’exécuter.

5o8 GEOMETRIE

• des produits de toutes les faces du pojyèdre multipliées chacune par le cosinus de l’angle qu’elle forme avec celte face infiniment petite, est égale à zéro; et comme les angles formés par un plan quelconque avec deux niilres plans parallèles entre eux sont visiblement égaux, nous pouvons établir la proposition suivante. . ■*

THÉOnÈMEXXI.

La somme des faces d’un polyèdre multiplices chacune par le cosinus de l’angle qu’elle forme avec une surface queUonque plane donnée dans l’espace , est égale à o.

0,5''! . Soient a,h , c, d, &c. les entés d’un polygone qnel- ^ /\ /\ /s

conque; a b, a c,b c, &c. les angles formés par ces côtés deux B deux dans le sens du périmètre.

En prenant successivement pour bases ces côtés a, b, c, &c. nous aurons par le théorème

' a ~ A. cos. O ô+e.cos. a c+c?.cos. a </ + &c.

b = a. cos. a ô+c.cos. ô c + a. cos. ô d &c.

c = a. cos. a c + 3.cos. ô c + tZ.cos. c d+ &c.

Multipliant la première de ces équations par a , la seconde par b, la troisième par c, &c. Puis ajoutant ensemble toutes équations, on aura ;

o’+o* + c*+ &c. = 200. cos. a ô+ane.cos. a c+ Sac. donc nous pouvons établir la proposition suivante.