SECTION II

Mode proposé pour exprimer la corrélation, des figures différentes , et les positions respectives des diverses parties d*^une meme figure.

y 8. Ce que j’ai dit dans la section première regarde toutes les espèces de quantités : je vais maintenant essayer d’appliquer CCS principes généraux aux quantités géométriques en particulier.

Mon objet, dans cette section, est de chercher un modo propre à représenter , soit par les signes ordinaires de l’algèbre , soit par d’autres caractéristiques de convention , et l’arrangement systématique des lettres prises pour désigner les points remarquables d’une figure , tant la corrélation des fîgures différentes qui peuvent être rapportées à un même système primitif, que les positions respectives des points , des Iigne.s, des angles , des aires , &c. qui entrent dans la composition de chacune d’elles.

Concevons deux systèmes quelconques de points en nombres égaux, mais arrangés diversement. Comparons chacun à chacun , et dans quel ordre on voudra les points du premier système avec ceux du second, et nommons points correspondans , ceux qui sont ainsi comparés deux à deux , l’un dans le premier système , l’autre dans le second.

Supposons que dans chacun de ces systèmes , on trace un même nombre de lignes droites , on décrive un même nombre de circonférences , on fasse passer un même nombre de plans, eu menant toujours ces droites , ces circonférences, ces plans, par les points correspondans ; et qu’enfin tout ce qui est exécuté

d*un côté , le soit pareillement de l’autre. Il est clair que deux pareils systèmes sont de ceux que fai nommés systèmes corrélatifs , ou figures corrélatives ; les points , les droites, les arcs , les angles, les aires, les volumes qui en résultent, menés ou établis de la même manière dans ces deux systèmes , seront egalement dits corrélatifs chacun à chacun. Enfin , M’appellerai fonctions, formules, équations corrélatives, celles qui expriment leurs propriétés analogues. Toutes ces notions cadrent évidemment avec celles que nous avons déjà développées dans la première section.

Les figures corrélatives ne sont pas pour cela des figures semblables, car quoique composées d’un même nombre départies correspond.intcs , ces parties peuvent avoir des rapports dilTérens. En effet, les points dits corrélatifs ne sont pas des points semblablement placés dans les deux systèmes , puisqu’ils sont disposés arbitrairement. Lorsque ces points sont semblablement placés, ou peut dire qu’il y a entre les deux systèmes corrélation de similitude. On peut également distinguer la corrélation de symétrie, lorsque les figures comparées sont en effet asymétriques (i) j et enfin la corrélation d’identité ou de superposition, lorsque les deux figures sont absolument semblables et égales entre elles.

Puisque la base de chacun de ces systèmes est un assemblage de points qui sont en mêmes nombres dans l’on et dans l’autre , nous pouvons concevoir, que l’un de ces systèmes étant fixe et pris pour terme de comparaison, l’autre varie insensiblement, de manière que chacun de ses points approche graduellement du point corrélatif de l’autre système , et finisse par coïncider avec lui; alors ces deux systèmes se confondront et deviendront identiques. On peut également concevoir que deux systèmes étant d’abord identifiés, l’un des deux reftb fixe, et que l’autre s'en éloigne insensiblement , en changeant de forme par degrés.

(i) L> vraie notion des figures symitriiiaes ( èU donnée pu liCgendre. Voyez $a Géomélriê,

el chnquc point prenant une position plus ou moins disparate

avec celle qu’il avoit dans le système primitif.

Je suppose donc que l’on connoisse les propriétés d’une figure quelconque que je prends pour terme de comparaison , et je clierchc quelles modifications doivent éprouver les formules ou équations qui expriment ces propriétés connues', lorsqu’on veut les transférer, ou en faire l’application aux figures corrélatives.

En considérant toutes ces figures corrélatives comme les différens états du .système primitif qui varie par degrés insensibles, on pourra regarder les formules trouvées comme appartenant à toutes les autres , et il ne s’agir^ , pour l’application , que d’attribuer dans chaque cas particulier aux diverses variables , les valeurs absolues qui leur conviennent, et de faire les changeraens de signes qu’exigent les modifications éprouvées par le système.

Réciproquement , le système primitif étant donné ainsi que les formules qui s’y rapportent, on peut demander quel est le système corrélatif auquel se rapporte roient ces formules modifiées de telle ou telle manière.

Enfin , on peut demander quelles formules seroient en même temps applicables aux deux systèmes ; c’est-à-dire , quelles formules générales contiendroient en même temps les formules applicables à chacun des systèmes en particulier^

y Le marche que je suivrai pour établir la corrélation de deux figures , sera d’établir d’abord , la corrélation des points, puis celles des lignes, des angles, des area, des aires, &c.

Je distingue pour les points , deux sortes de corrélations ; savoir , la corrélation de construction , et la corrélation de position. La corrélation de construction est celle qu’on établit entre les points de deux figures considérées dans l’ordre de leurs constructions respectives ; la corrélation de position est celle qu’on établit entre ces mêmes points , en les considérant dans l’ordre suivant lequel Us se trouvent rangés sur les lignes corrélatives qui les contiennent.

Soient

DEPOSITION. 8i

Soiciil,par exemple (fig. 9 et 10); deux triangles AHC, A'P'C'jdanslesquclsjeprends Act A',BclB',CetC',pour respectivement corrélatifs. Abaissons des points corrélatifs A, A', les perpendiculaires AD, AD', sur les bases opposées : les points D et D' seront corrélatifs entre eux dans l’ordre de la construction. Mais supposons que dans le premier triangle ABC pris pour terme de comparaison, D tombe entre B etC, tandis que dans le second, Je point C' se trouve entre B' et D', correspondans de B et D : la corrélation de position consistera dans l’expression de celte différence.

Pour établir la corrélation de construction, je me contente d’écrire la série des points qui déterminent chaque figure, en les plaçant dans un meme ordre les uns sous les autre-s , chacun sous sou correspondant , comme il suit.

Corrélation de construction,

1" sj'stême A B C D

a" .système A'B'C'D',

par où je vois que dans l’ordre de la construction A' correspond à A; B'àBjC'àC; D' à D.

Etablissons maintenant la corrélation do position. Je vois que pour exprimer celte corrélation , il est nécessaire d’indiquer, que dans la première figure, D se trouve sur la droite BC entre les points B et C ; au lieu que dans la seconde , D' se trouve sur B'C', de manière que c’est C' qui ést placé entre B' et D'. Or il suffit pour indiquer celte modification d’écrire les deux séries des points correspondans , suivant l’ordre dans lequel ils se trouvent rangés sur les bases corrélatives BC, B'C', comme il suit.

i"syst B D C

a' sysL B' C' D'.

Les barres tirées au-dessus de ces séries de points servent à indiquer que ces points sont rangés sur des lignes droites.

8j GEOMETRIE

Texprime de la même manière la corrélation de position de deux séries de points placés sur des arcs corrélatifs de courbe , avec cette di&érence , qu’au lieu d’une barre droite tirée au-des> sus , ce sera une barre courbée : de manière , que si A , B , C , D , par exemple , sont quatre points placés sur un arc de cercle dans l’ordre ABCD, tandis que leurs correspondans A', C',B', D', sont placés sur l’arc de cercle corrélatif au premier dans l’ordre A' C' B' D', on établira ainsi les corrélations de construction et de position.

Corrélation de construction.

i" syst ABCD

2' syst A' B' C D'.

Corrélation de position.

i"syst a" B C D

a* syst A' C' B' D'.

80. En général , pour indiquer une ligne droite, je tirerai une barre droite au-dessus des lettres prises pour en désigner les points ; et pour indiquer un arc de courbe , je tirerai au-dessus des lettres prises pour en désigner les points , une barre courbée. Ainsi AB, CD, EE, Ific. signifient les droites A B, CD, EF, &c.,

et AB,"CDÊ, Bcl^lT, &c. signifient les arcs de courbe AB, CDE, BCDF,&c. Ces dernières expressions se rapporteront pour l’ordinaire à des arcs de cercle , comme étant la courbe la plus simple ; celle qu’on prend pour servir de terme de comparaison aux autres, eu l’employant comme une échelle pour mesurer leurs différentes courbures.

8 1 . Comme dans l’ordre de la construction, les points corrélatifs sont les intersections des lignes corrélatives, nous aurons souvent besoin de dire que tel point est l’intersection de telle et telle lignes ; ce que nous exprimons pour abréger comme il suit. Four exprimer , par exemple, le point de concours de deux

D E P O S I T I O isr. 83

ligncsdroilesABjCD, fécrirai AB CD; c’est-à-dire, les deux lignes droites AB, CD, avec un point placé entre les deux barres mises au-dessus. Ainsi cette expression signifie par abréviation, le point de concours des droites A.Ü, CO , prolongées s’il est nécessaire.

De mémo, pour exprimer le point de concours des deux arcs > de courbe AB, CD, j’écrirai AB’CD; pour exprimer le point

de concours d’une droite AB, avec un arc de courbe CD,

j’écrirai AB*CD, ou CD "AB. Si deux droites ou deux arcs, ou une droite et un arc étoient exprimés par de simples lettres a, b , on exprimeroit leur point de concours simplement de cette manière a'b.

On voit par-là que F AB CD, par exemple, signifie la droite menée du point F au point de concours de AB et CD;

que AB CD FG I^IK , signifie la droite menée du point de concours des droites AB , CD , au point où se croisent les deux

arcs de courbe fo , !îît. Que ÂB * CD fG ' fîîc LM , est le point où l’arc LM coupe la droite menée du point d’interscc-

tion des droites AB , CD, à celui où se coupent les arcs ,

JTK. Ainsi des autres. Cette espèce de notation très -simple, abrège considérablement le discoars.

82. Pour exprimer que deux points coïncident ou ne sont qu’un seul et même point considéré de deux manières , j’cii écrirai la double expression par le signe >#3, que j’appellerai signe d’équipollence. Par exemple, si les droites AB, CD, eoncourent au point E , j’écrirai AB ' CD#= E, Si deux droites AB, CD, concourent au même point que les deux arcs FG, HK ,

j’écrirai, AB* CD * HÎ^.

En général, je me servirai (lu signe d’équipollence #= pour

8 i GEOMETRIE*

exprimer l’idcnllté de deux objets Quelconques. Ainsi a^=B, signifier4 que la valeur de a est la même que celle de h. 11 exprimera donc dans ce cas la même chose que le signe = j mais le signe d’équipollciicc est en même temps applicable aux points et à tous les objets qui peuvent être substitués les uns aux autres.

83. J’ai dit comment je distingue les arcs des lignes droites

en écrivant AB pour droite AB, et AB pour arc AB. J’écrirai

de même par forme d’abréviation ABC pour angle ABC. Pour marquer l’angle formé par deux droites AB, CD, j’écrirai AB CD. Pareillement, pour exprimer l’angle formé par deux •arcs AB, CD, à leur intersection, j’écrirai AU CD.

Pour surface ou aire ABCD , j’écrirai ABCD. Pour exprimer l’angle formé par une droite AB, et une surface CDEI’G ,

j écrirai AB CDEFG. Pour exprimer l’angle que forment deux

surfaces, comme ABC , DEFG , j’écrirai ABC DEFG.

Si ces lignes ou ces surfaces sont désignées par des lettres simples , comme a, b,c,d, &c., je désignerai les angles qu’elles

formeront entre elles comme il suit a b, a c, b d, 8cc.

Je me bornerai à ce petit nombre d’abréviations , et ne les emploierai même qu’au besoin ; mais on verra que l’usage en est très-facile, qu’elles contribuent beaucoup à donner une idée nette des objets , et à rendre claire et sensible , par le moyen des tableaux de corrélation , la comparaison des objets tirés de systèmes diiférens.

84. Pour ce qui concerne les droites , les angles , les arcs, les aires, les volumes, et autres valeurs quelconques, on distinguera la corrélation des quantités ou valeurs absolues , et la corrélation des signes.

La corrélation des valeurs absolues s’établit , en écrivant

simplement l’une sous l’autre les quantités correspondantes. Ainsi , par exemple , si l’on a deux systèmes de quantités , l’un composé des quantités A, B, C, D, &c. ; l’autre, des quantités corrélatives a,b,c,d, &c. chacune à chacune; on établira la corrélation des valeurs absolues comme il suit.

Corrélation des valeurs absolues.

l'^syst A,B,C, D, &c.

a' syst. a, b, c ,d, &c.

Cette corrélation des quantités sera toujours très-facile à établir , dès qu’on aura la corrélation de construction expliquée ci- dessus , puisqu’il n’y aura qu’à prendre les points qui déterminent CCS quantités suivant le même ordre de construction dans les deux systèmes comparés.

Soient, par exemple, ABCD, A'B'C'D' les triangles (fig-9 et lo) déjà considérés ci-dessus ; puisque nous avons cette corrélation de construction entre les points :

i" syst ABCD

a' syst A' B' C' D'.

On conclura sans diOiculté qu’on a cette corrélation entre les valeurs absolues des lignes , des angles et des aires.

Corrélation des valeurs absolues.

i"syst....jAB, AC , BC , BD, CD , AD , BAC, 2' syst. . .lÂnâ'j Â^', B^, i?D', CD', Â^', B A C',

ABC , AC B , B AD , C A D, AB C , A BD , A'B'C', A' C'A', B'A'D', C'Â'D', ^Fc', A'B'D',