NP — Q

trouvée ci-dessus (288), on a x'+y'+z' = — — , équation

qui peut être considérée comme n’étant que du premier degré ; parce que les carrés x‘,y% z‘, et les autres carrés des distances des points du système considérés deux à deux, ne s’y trouvent point mêlés avec les autres puissances des mêmes quantités.

TnÉOR£ME XXIX.

Ss7

2 g O. Dans tout quadrilatère plan oit gauche, la somme des carrés des deux diagonales est double de la somme des carrés des deux droites qui joignent les points-milieux des côtés opposés.

Soit ABDC (fig. 107) le quadrilatère proposé; soient /n, n,p,

q , les points-milieux des côtés respectifs AB, CD, AC, BD ; il

— » - » / il — 1\

s’agit donc de prouver qu’on a, AD + B C = 3,\mn -{-pq ).

En effet, menons les quatre droites mp ,pn, nq , qm ; il est clair que ces quatre droites formeront un parallélogramme; que

de plus, les côtés mp , nq , seront p.^railèlcs à la diagonale BC, et'égaux chacun.à la moitié de cette diagonale; que pareillement

mq,np, seront parallèles et égales chacune à la moitié de la

diagonale AD. . ,

Donc on aura BC = 4 mp = 2 mp +anq •, et de même,

AD = ^mq -i-7pn .DoncBC 4- AD = 2^»»/) +nq +mq +pn), ou à cause de la propriété des parallélogrammes,

BC + AD = 2 {mn +pq ). Ce qu’il falloit démontrer.

Comme dans cette équation il. n'entre que des quantités élevées au carré, il suit qu’elle est applicable à tous les systèmes corrélatifs; c’est-à-dire, à toutes les formes de quadrilatères: donc elle a encore lieu en prenant pour côtés opposés ce que nous avons pris d’abord pour diagonales, et pour diagonales, ces côtésopposés. Donc le théorème peut également s’énoncer comme il suit.

Dans tout quadrilatère plan ou gauche , la somme des carrés de deux quelconques des côtés opposés est double du carré de la droite qui joint les points-milieux des deux autres côtés, et du carré de la droite qui joint les points- milieax des deux diagonales.

Donc si l’on nomme, par exemple, m , m\ deux quelconques des côfés opposés d’un quadrilatère plan ou gauche, et

Hé

•Ok

098 ■ G E O Aï E T R I K

d’uno forme quelconque ni' k droile qui joint leurs points^ milieux ‘,n, ri, n", les deux autres côtés opposés et la droite qui joint leurs points-milieux; p, p,p“, les deux diagonales et la

droite qui joint leurs points-milieux, on aura ces trois équa~ lions ,

wi*+/n'* = a(n"* +p"*)> (A)

Ajoutons ensemble ces trois équations, nous aurons

m* + /n'*-t-rt*-f- «'*+/>’ +p'* = ^ {tn ' + n ^-irp"'). C’est-à-dire, que dans tout quadrilatère plan ou gauche, la somme des carrés des quatre côtés et des deux diagonales est quadruple de la somme des cettrés des deux droites qui joignent deux à deux les points-milieux des côtés opposés , et de celle 'les points milieux des deux diagonales.

Si l'on ajoute ensemble les équations-^) et CB)> et retranche la troisième (C), on aura

+ «• + «'* = p^-^-p'^ + hp”’-, c’est-à-dire, que dans tout quadrilatère , la somme des carrés des quatre côtés , est égale à la somme des carrés des deux diagonales , plus le quadruple du carré de la droile, qui joint les peints, milieux de ces deux diagonales.

Cette proposition élégante a été donnée par Euler dans les Mémoires de l’Académie de Pétersbourg; mais il faut observer qu’ici elle est étendue aux quadrilatères plans ou gauches, cl à toutes les formes de quadrilatères dont il y a trois classes. Cela suit de ce que dans l’équation précédente, il n’entre que des quantités élevées au carré , et peut aussi se déduire immédiatement des trois équations (.A) , (B) , (C) ; en ajoutant , par exemple, la première avec la troisième, et retranchant la seconde; ou ajoutant les deux dernières, et retranchant la première. On peut doncégalcmenlénoncercommeil suit la proposition précédente. Dans tout quadrilatère , la somme des carrés de deux quelconques des côtés opposés , plus la somme des carrés des deux diagonales,est égale à la somme des carrés des deux aulnes côtés, plus

te

DEPOSITION. 3ag

le quadruple du carré de la droite qui joint les points-milieux de ces deux autres côtés.

f agi. Non-seulement la proposition dont nous venons de parler, s’applique aux quadrilatères de toutes les formes, et jmème aux quadrilatères gauches; mais ün petit l’étendre aux solides dont toutes les faces sont des quadrilatères quelconques plans ou gauches; par exemple , à une pyramide quadrangulaire tronquée parallèlement ou obliquement à sa base, ou en général à l’hexaèdre régulier, ou irrégulier, comme il suit;