THÉORÈME XXX

Dans tout hexaèdre régulier ou non , la somme des carrés des douze arêtes , plus la somme des carrés des douze diagonales^ des faces est égale à trois fois la somme des carrés des quatr^ diagonales qui traversent le solide, plus quatre fois la somme des carrés des six droites qui joignent deux à^eux les points-milieux de ces quatre dernières diagonales.

Lia somme des cangls des diigonales de chacune des facej étant égale (aqi), aÊn|Dublc de la somme des carrés des den^ droites qui joignent les côtés opposés deux à deux, il suit que la proposition précédente peut s’exprimer ainsi :

Dans tout hexaèdre régulier ou non , le triple de ta somme des carrés des quatre diagonales qui traversent le solii.e , plus quatre fois la somme des carrés des six droites qui joignent deux à deux les quatre points-milieux de ces diagonales , est égal à la somme des carrés des douze arêtes , plus deux fois la somme des carrés des douze droites qui joignent deux à deux les pointsmilieux des côtés opposés de chacune des faces.

Cette proposition est , comme il est aisé de le voir , une extension de celle qu’a donnée Legendre sur le parallélipipède , et que j’ai rapportée (n*. aSS), les parallélipipëdes n’étant autre chose que des hexaèdres dont les faces opposées sont parallèles et sont des parallélogrammes; telles, par conséquent, que les droites qui joignent dans diacune de ces faces les points-milieux •

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lies côtés oppdsés , sont égales à chacun des deux autres côtés de la même face.

2^2. Si l’on observe que dans les énoncés de ces proposi- ^ lions il n’est question que de quantités élevées ai^ carre, on conclura qu’elles sont applicables à tous les sy|lômes burrélatifs pos-\ siblcs ; c’est-à-dire , que ce qui vient d’être dit des arêtes et diagonales d’un hexaèdre quelconque , doit s’entendre des distances de huit points quelconques pris à volonté dans l’espace ; ou ce qui aevient au même , en prenant pour côtés ce que nous avons pris pour diagonales , et pour diagonales , ce que nous avons pris pour côtés j ce qui peut se faire de aSnQ manières différentes. Ainsi le seul ihéorênie ^kxx appliqué à un hexaèdre quciconqnc, donne aSao équations, toutes différentes les unes des autres.

^ Enf'Wrct , on peut appliquer aux polyèdres ce que; nous avons eitf des quadrilatères. Nous avons observé pour ceux-ci, que les quatre sommets étant jj^nnés, on peut former avec les lignes qui les joignent deux à deux, trois quadrilatères, en prenant cette •xpxession de quadrilatère daoHÉe sens 1q plus général. De ^me, «n prenant le nom de polyèdre dans le seîls le plus général; nous pouvons, avec un nombre n de points ou sommets, faire un

— polyèdrcs.^t par conséquent, si

(n — i) {n — a), nombre .

n = 8, le nombre de polyèdre^ qui iseront alors des licxaèdres, que l’on pourra former sera, 7.6.®,4.3 = aôao. Or à chacun de CCS polyèdres, on pourra appliquer le théorème ci-^dessus; ce théorème fournira donc seul aôoo équations difl’érentes entre les distances de ces huit points comparés deux à deux, et celles de leur.s points-milieux.

2(j3. Que les huit sommets proposés soient A, B, C, D,E, F, G, H; prenons pour terme de coiuparaûfon^’hexaèdre qui auroit, par exemple (fig. io8), ABCD pour l’une desea làcc.s,

EFGH , pour la base opposée, et AE , BF, CG , DH, pour les ’ quatre arêtes qui séparent ces deux bases opposées. Les quatre

DE ÎP O S I T I O N.

diagonales qui traversent le solide seront donc AG, B H, CE, DF, ^

Donc en représentant , pour abrège^ par ^ AG , par

exemple, la droite qui joint les points milieux de AG, GH, et par une semblable notation toutes les droites du même genre , le théorème xxx pourra s’exprimer pi\r l’éqqallon suivante.